2.13.Структурные модели систем
Вданном вопросе рассматривается аналитическая форма представления динамической системы в виде дифференциального уравнения и реализация данного уравнения в виде структурной схемы.
Допустим, что система содержит один вход x, один выход y, и имеет передаточную функцию вида
W(p) |
|
|
|
b0 p b1 |
|
|
|
|
. |
(2.140) |
||
a |
|
pn a pn 1 |
a |
|
pn 2 |
... a |
|
p a |
|
|||
|
0 |
2 |
n 1 |
n |
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
Запишем уравнение в операторном виде, связывающее входные и выходные сигналы и соответствующее заданной передаточной
функции: |
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
||||||
a |
|
|
a0 |
|
|
|
pn 2 y ... a |
|
|
p y a |
|
|
|
(2.141) |
||||
|
0 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
n 1 |
|
n |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Выразим уравнение (2.137) относительно старшей степени p: |
||||||||||||||||
pn y |
1 |
|
b |
p b x a pn 1y a |
2 |
pn 2 y ... a |
n 1 |
p y a |
n |
y . |
(2.142) |
|||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Полученное выражение представляетДстаршую производную выходной величины pny как разность выражения (β0p + β1)x и суммы
выходных сигналов интеграторов, умноженных на коэффициенты α1, |
|||||||||||||||||||||
α2, ..., αn-1, αn: |
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
b0 |
|
|
b1 |
|
|
a1 |
|
a2 |
|
|
an 1 |
|
|
|
an |
|
||
|
|
|
|
, |
|
|
, |
|
|
,б |
,…., |
n 1 |
|
|
, |
n |
|
|
. (2.143) |
||
|
0 |
|
a |
1 |
|
a |
1 |
|
a |
2 |
a |
0 |
|
|
a |
|
|
a |
|
||
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
||||
|
|
|
Выходной сигналиy можно получить путем последовательного |
||||||||||||||||||
интегрирования его старшей производной pny. Для этого потребуется
n последовательно включенных интеграторов, входные сигналы кото- |
||||||||||||||
|
С |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||
рых представляют собой производные от p y до p∙y (рис. 2.24). |
||||||||||||||
pn y |
|
|
|
|
pn 1y |
|
|
|
pn 2 y |
p y |
|
|
|
y |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
p |
|
|
p |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Рис. 2.24. Структурная схема последовательного интегрирования
Тогда согласно уравнению (2.142) получим структурную схему дифференциального уравнения, представленную на рис. 2.25.
55
0 p
|
+ pn y |
|
|
|
|
pn 1y |
|
|
|
|
pn 2 y |
|
|
p y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
1 |
|
|
… |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
p |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|||||
x |
- |
|
|
|
α1 |
|
|
α2 |
αn-1 |
|
αn |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Рис. 2.25. Структурная математическая схема модели системы, |
|
||||||||||||||||||
|
составленная по дифференциальному уравнению |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Контрольные вопросы и задания |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Что такое математическая модель? Какие типы моделей ис- |
||||||||||||||||||||
пользуются в теории автоматическогоДуправления? |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2. |
Что понимают под дифференциальным уравнением? Как оп- |
|||||||||||||||||||
ределяется его порядок? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
Что представляет со ой линеаризация дифференциального |
|||||||||||||||||||
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
уравнения и уравнен е в прбращениях? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. |
Что такое преобразование Лапласа? В чем его суть? |
|
||||||||||||||||||
5. |
Что понимаютипод представлением дифференциальных |
|||||||||||||||||||
уравнений в нормальной форме Коши? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6. |
Как описать математическую модель системы с использова- |
|||||||||||||||||||
нием переменных состояния? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. |
Какими способами можно представить динамическую систе- |
|||||||||||||||||||
му в пространстве состояний? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8. |
Как построить структурную схему модели по матрицам сис- |
|||||||||||||||||||
темы в пространстве состояний? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9. |
Как производится смена координат состояния? Изменится ли |
|||||||||||||||||||
передаточная функция системы с заменой координат состояния? |
|
|||||||||||||||||||
10. |
Какие режимы работы системы существуют? В чем особен- |
|||||||||||||||||||
ность данных режимов? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
56
11.Что такое статическая характеристика системы? Как её получить?
12.Какие переходные характеристики существуют? Какие типовые воздействия используются для их получения?
13.Что представляют собой частотные характеристики системы? Какие они бывают?
14.Построение АЧХ и ФЧХ в логарифмическом масштабе.
15.Назовите определения децибела и декады.
16.В чем суть асимптотических логарифмических характери-
стик?
17.Как находятся частота сопряжения и частота среза?
18.Что такое передаточная функция системы?
19.Что представляет собой звено направленного действия?
20.Классификация и примеры типовыхИдинамических звеньев.
21.Что такое структурная схема модели системы?
22.Каким образом изображаютсяДпараметрические связи в структурной схеме модели системы?
23.Чем можно заменить несколько последовательно соединенных звеньев? А
24.Чем можно заменить несколько параллельно соединенных звеньев? б
25.Чем можно заменить звено, охваченное обратной связью?
26.По каким каналамиможно получить передаточные функции одноконтурной возмущенной системы автоматического регулирования? С
57
3. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
3.1. Основные понятия устойчивости системы
Понятие устойчивости является важнейшей качественной оценкой динамических свойств АСР. Устойчивость АСР связана с характером её поведения после прекращения внешнего воздействия. Это поведение описывается свободной составляющей дифференциального уравнения, которое описывает систему. Для уравнения (2.137) свободная составляющая
a |
0 |
pn a pn 1 |
... a |
n |
y. |
(3.1) |
|
1 |
|
|
|
Устойчивость системы – это свойство системы возвращаться в исходный стационарный режим при прекращении внешних воздействий на систему. В АСР это происходит за счет изменения внутрен-
них переменных параметров системы.
после прекращения внешнего воздействияДстремится к нулю, то такая
Оценка устойчивости представляет собой решение однородного
дифференциального уравнения при заданных начальных условиях
a |
|
pn |
a pn 1 |
А |
Иприt . |
(3.2) |
|
|
0 |
|
1 |
|
n |
|
|
Если свободная составляющая выходного параметра системы |
|||||||
|
|
|
б |
|
|
|
|
система является устойчивой. Другими словами, устойчивость системы это есть затуханиеиее переходных процессов.
Если свободная составляющая системы имеет вид гармонических колебанийСс постоянной амплитудой, то система считается ней-
тральной (наход тся на гран це устойчивости).
В том случае, если свободная составляющая неограниченно возрастает или имеет вид гармонических колебаний с возрастающей амплитудой, то система считается неустойчивой.
С целью упрощения анализа устойчивости систем разработан ряд специальных методов, которые получили название критерии устойчивости, позволяющих оценить влияние параметров системы на её устойчивость.
Критерии устойчивости делятся на две разновидности: алгеб-
раические и частотные.
Алгебраические критерии являются аналитическими (Корневой критерий, критерий Стодолы, критерий Гурвица, критерий Рауса). Первые два критерия являются необходимыми критериями устойчивости отдельных звеньев и разомкнутых систем. Критерий Гурвица является алгебраическим и разработан для определения устойчивости замкнутых систем без запаздывания.
58