2.6. Линейные непрерывные модели вход-состояние-выход

В этом подразделе рассматриваются непрерывные линейные модели, описывающие связи входов и выходов управляемого объекта (динамической системы) в виде системы дифференциальных уравне-

уравнения получаются путём введения в исходное уравнение системы новых переменных xi(t) вместо (i–1) производных выходной величины y(t). Такой способ описания является ключевой особенностью

метода пространства состояний.

ределённое состоян е рассматриваемой динамической системы в не-

которых обобщённыхСкоорд натах. Каждому процессу изменения со-

стояния системы (её дв жен ю в этих координатах) соответствует определённая траектория перемещения изображающей точки в пространстве.

Переменными состояния неуправляемой динамической системы (системы без входных воздействий) с выходом y называются независимые переменные xi(t) такие, что значение выходной переменной y(t) в произвольный момент времени t = t1 > t0 однозначно определяется числами xi0 = xi(t0).

Связь между входным воздействием управляемой динамической системы и ее выходной переменной неоднозначна, т. е. одному и тому же входному сигналу u(t) может соответствовать множество выходных сигналов y(t). Введение в рассмотрение переменных состояния xi позволяет устранить указанную неоднозначность – выход системы в произвольный момент времени t1 > t0 единственным образом опреде-

24

ляется начальными значениями переменных состояния xi0 и заданным на интервале времени [t0; t1] входным воздействием u = u[t0; t1].

В пространстве состояний многомерная динамическая система (рис. 2.3) в общем виде характеризуется:

вектором переменных состояния

РисС. 2.3. труктурная схема модели управляемой динамической системы с переменными состояния

Величины вектора x образуют минимальную совокупность координат, задание которых полностью определяет текущее состояние системы. Состояние системы может быть отождествлено с положением изображающей точки в n-мерном пространстве.

В общем случае линейная управляемая динамическая система с m входами, l возмущениями, k выходами и n переменными состояния описывается системой линейных дифференциальных уравнений состояния и выхода 1-го порядка в форме Коши:

25

f

образована, причиной чему обычно является изменения базиса (координат состояния) пространства состояний. При замене вектора состояния х другим вектором z, связанным со старым линейным невы-

C CP 1.

При этом исходное пространство состояний заменяется пространством состояний той же размерности. Введение новых коорди-

нат состояния приводит к эквивалентному преобразованию модели вход-состояние-выход. Выходной сигнал системы y как и структурная схема модели при переходе от одних координат состояния к другим при одинаковых управляющих воздействиях u остается неизменным.

27

Для примера представления моделей вход-состояние-выход рассмотрим модель одноканальной невозмущенной системы, описываемой дифференциальным уравнением 2-го порядка:

где u – входное воздействие, y – входное воздействие, ai, b – постоянные коэффициенты модели.

Используя формулу (2.36), определим переменные состояния модели системы, заменив (n–1) производные выходной величины y(i–1) новыми переменными xi:

Структурная математическая схема модели системы (2.52), описанной в виде переменных состояния, представлена на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Структурная схема математической модели системы

28

Для примера эквивалентного преобразования моделей вход- состояние-выход рассмотрим модель одноканальной невозмущенной системы, описываемой системой линейных дифференциальных уравнений состояния и выхода 1-го порядка в форме Коши:

Матричная модель вход-состояние-выход системы из (2.54):

Расчет матр ц преобразованной модели можно провести в программе MS Excel посредством ввода в свободные ячейки следующих функций:

(A) "=МУМНОЖ(МУМНОЖ(A16:C18;A3:C5);(МОБР(A16:C18)))"

(B) "=МУМНОЖ(A16:C18;A8:A10)"

(C) "=МУМНОЖ(A13:C13;МОБР(A16:C18))"

где исходные матрицы заранее задаются в ячейках листа:

(А) = {A3:C5}, (B) = {A8:A10}, (C) = {A13:C13}, (P) = {A16:C18}.

После ввода функций, массив данных хранится в одной ячейке, чтобы вывести полную матрицу необходимо выделить нужный диапазон ячеек вместе с введенной функцией (размер преобразованной матрицы определяется по размеру исходной), нажать F2, а затем

Ctrl+Shift+Enter.

29