jV( )

А

сти системы. А При проект рован АСР рекомендуется обеспечить следую-

анализ устойчивости линейных систем. Устойчивость АСР является

необходимым, но не достаточным условием практической пригодно-

щие запасы устойч вости: L 6дБ и 30 .

Одним изСважнейших д намических свойств АСР является ее поведение в переходном режиме при изменении внешних управляющих или возмущающих воздействий. В связи с этим существенным требованием для А Р является качество переходных процессов, которое оценивается показателями качества.

3.9. Управляемость и наблюдаемость линейных систем

При анализе линейных систем одним из важнейших свойств, наряду с устойчивостью и качеством регулирования, является управ-

ляемость и наблюдаемость системы.

Понятия управляемости и наблюдаемости важны, например, тогда, когда алгоритм управления формируется не в зависимости от ошибки регулирования системы (см. п. 1.2), а в функции переменных состояния (см. п. 2.6):

72

x x1, x2 ... xn T . (3.33)

Таким образом, управляемость и наблюдаемость – это свойство не физического объекта (или системы), а его математической модели в виде уравнений состояния (2.41 или 2.42).

Управляемость системы – свойство системы управления и объекта управления, описывающее возможность перевести систему из одного состояния в другое. Исследование системы управления на управляемость является одним из важных шагов в синтезе управляющих контроллеров.

Система называется полностью управляемой, если существует такое управляющее воздействие u(t), которое переводит её из любого начального состояния x(t0) в одно единственное заданное конечное состояние x(tK) за конечный интервал времени (t0 – tK). Очевидно, чтобы осуществить такой перевод, управляющее воздействие u(t) должно прямо или косвенно влиять на все переменные состояния xi(t).

Для оценки управляемости и наблюдаемости линейных систем,

Формулировка кр тер я управляемости Калмана

Система является полностью управляемой, если матрица

управляемости KУ является невырожденной, т. е. ранг матрицы управляемости равен n.

Матрица управляемости KУ составляется из матрицы состояния

А размерности пхп и матрицы управления В размерности пхт:

Системы, в которых матрица управления В = 0, с очевидностью являются неуправляемыми, так как воздействие u(t) не оказывает никакого влияния на управляемую величину y(t). В более общем случае основная модель объекта может быть представлена в виде двух подсистем, на одну из которых не поступает управление, что свидетельствует о частичной управляемости системы.

73

Наблюдаемость системы – свойство системы управления и объекта управления, позволяющее по выходу системы судить о процессах, происходящих внутри неё. Ввиду того, что состояния системы играют важную роль в управлении с помощью обратных связей, важно, чтобы они были наблюдаемыми.

Система называется полностью наблюдаемой, если по выходу системы y(tK) в конце интервала времени (t0 – tK) при известном управляющем воздействии u(t) можно определить все единственные начальные компоненты вектора состояния x(t0), т. е. все переменные состояния системы xi(t) входят в выражение для управляемой величи-

ны y(t).

Соответственно наблюдаемыми состояниями системы xi(t) являются те компоненты вектора состояния x, которые можно восстановить по условиям, приведённым выше.

Формулировка критерия наблюдаемости Калмана

Система является полностью наблюдаемой, если матрица на-

Система,Сдля которой матрица выхода С = 0, с очевидностью

является ненаблюдаемой, так как переменные состояния не оказывают влияния на управляемую величину y(t). В более общем случае система может быть представлена в виде двух подсистем, одна из которых не влияет на выходную переменную, и поэтому ее переменные состояния не могут быть восстановлены, а система в целом является лишь частично (не полностью) наблюдаемой.

Для примера анализа управляемости рассмотрим систему, структурная схема модели которой представлена на рис. 3.8.

74

Рис. 3.9. Структурная схема модели состояний

При равенстве постоянных времени T3 и T1 переменная х2 не участвует в формировании управляемой величины y(t), т. е. система становится частично наблюдаемой. Свойство наблюдаемости также связано с вопросом сократимости (вырожденности) передаточной функции системы, на схемах видно, что при равенстве постоянных времени T3 и T1 передаточная функция системы сокращается.

75