Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1791.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.83 Mб

Скачать

☆

1 / 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования «Сибирская государственная автомобильно-дорожная

академия (СибАДИ)»

Кафедра «Высшая математика»

С.В. Матвеева

МАТЕМАТИКА:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧ СЛЕН Е ФУНКЦИЙ

НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧ СЛЕН Е.
				И
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
			Д
	Уче ное пособие
		А
	б
и
С

Омск ♦ 2016

УДК 512	Согласно 436-ФЗ от 29.12.2010 «О защите детей от информации,
	причиняющей вред их здоровью и развитию» данная продукция
ББК 22.14	маркировке не подлежит.

М33

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук, доц. Ю.Б. Никитин (ФГБОУ ВПО ОмГМУ); канд. техн. наук, доц. А.С. Котюргина (ФГБОУ ВПО ОмГТУ)

Работа утверждена редакционно-издательским советом СибАДИ в качестве учебного пособия.

Матвеева, Светлана Владимировна.

М33 Математика: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. ИнтегральноеСибАДИисчисление. Дифференциальные уравнения. Комплексные чис-

ла [Электронный ресурс] : учебное пособие / С.В. Матвеева. – Электрон. дан. − Омск :

СибАДИ, 2016. – URL: http://bek.sibadi.org/cgi-bin/irbis64r plus/cgiirbis_64_ft.exe. -

Режим доступа: для авторизованных пользователей.

ISBN 978-5-93204-955-6.

Является руководством к решению задач по некоторым разделам математики: «Функции нескольких переменных», «Интегральное исчисление», «Кратные интегралы», «Комплексные числа», которые служат фундаментальной базой инженерного образования. Во всех разделах посо ия приводится необходимый теоретический материал, детально разобраны типовые задачи. В конце каждого раздела содержится достаточное количество методически подо ранных задач для самостоятельного решения с ответами к ним, приведены вопросы для самопроверки и контрольная работа.

Имеет интеракт вное оглавлен е в виде закладок.

Предназначено для обучающ хся по техническим направлениям дневной и заочной форм обучения, а также аспирантам, изучающих курс математики.

Текстовое (символьное) издание (2,0 МБ)

Системные требования : Intel, 3,4 GHz ; 150 МБ ; Windows XP/Vista/7 ; DVD-ROM ;

1 ГБ свободного места на жестком диске ; программа для чтения pdf-файлов Adobe Acrobat Reader ; Google Chrome

Редактор И.Г. Кузнецова

Техническая подготовка − Т.И. Кукина Издание первое. Дата подписания к использованию 28.09.2016

Издательско-полиграфический центр СибАДИ. 644080, г. Омск, пр. Мира, 5 РИО ИПЦ СибАДИ. 644080, г. Омск, ул. 2-я Поселковая, 1

ВВЕДЕНИЕ

Пособие, состоящее из шести глав, разбитых на параграфы,

содержит сведения по математическому анализу,		фундаменту
базовой подготовки инженера.
Каждая глава	это отдельная тема, которую	изучают в

соответствии с рабочей программой дисциплины «Математика» во втором семестре студенты технических и строительных направлений бакалавриата и специалитета. В пособии рассматриваются основные понятия теории функций нескольких переменных, интегрального исчисления, теории дифференциальных уравнений и комплексные числа.

По каждой теме приводится необходимый теоретический материал. Основные положения тем иллюстрируютсяИ решёнными

примерами, рисунками и таблицами. В каждом параграфе есть задачи для самостоятельного решения, снабжённые ответами, вопросы для самопроверки и контрольные работы.Д

Изучение представленного в пособии материала будет способствовать приобретению Аобщекультурных и профессиональных компетенций, предусмотренных ФГОС, согласно которым обучающийся должен знатьбосновы математики, необходимые для решения прикладных задач, уметь применять математические методы и строить модели, ивладеть навыками применения математического инструментария для решен я практических задач.

В конце пособСя пр веден библиографический список, который может использоваться для более глубокого изучения материала.

1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§1. Основные понятия теории функции нескольких переменных

Если каждой паре независимых друг от друга чисел (x, y) из

некоторого множества по какому-либо правилу ставится в соответствие одно значение z , то переменная z называется

функцией двух переменных и обозначается z = f (x, y)[3].

Определение функции двух переменных легко обобщить на случай трёх или более переменных.

Совокупность пар (x, y) значений x и y, при которых функция

z = f (x, y) существует, называется	областью определения этой
функции.	И
Область определения функции	двух переменных наглядно

иллюстрируется геометрически. Если каждую пару значений x и y мы будем изображать точкой M (x, y) в плоскости Oxy, то область

определения функции изобразится в виде некоторой совокупности
точек на плоскости.				А

	Графиком функции двух переменных является поверхность,
проектирующаяся на плоскость OxyДв область определения этой
функции.			и
	Функцию трёх или олее переменных изобразить с помощью
графика в пространстве невозможно.
	В отличие от функцбодной действительной переменной
функция z = f (x, y)			меет три вида приращений:
	∆x z = f (x + ∆x, y) − f (x, y) − частное приращение z				по x;
	∆y z = f (x, y) − f (x, y + ∆y) − частное приращение z				по y ;
	∆z = f (x +С∆x, y + ∆y) − f (x, y)− полное приращение функции z .
	Окрестностью радиуса r точки M0 (x0 , y0 ) называется
совокупность		всех	точек	(x, y) , удовлетворяющих	неравенству

	(x − x )2 +(y − y )2		< r .
0		0		пределом функции z = f (x, y) при
	Число A	называется

стремлении точки M (x, y) к точке M0 (x0 , y0 ), если для каждого числа ε > 0 найдётся такое число r > 0 , что для всех точек M (x, y) ,

удовлетворяющих неравенству (x − x0 )2 +(y − y0 )2 < r , имеет место

неравенство	f (x, y) − A	<ε .
неравенство	f (x, y) − A	<ε .
Если число A является пределом			функции	z = f (x, y) при
стремлении	точки M (x, y) к точке		M0 (x0 , y0 ),	то записывают
lim f (x, y) = A.
x→x0
y→y0
Пусть точка M0 (x0 , y0 ) принадлежит области определения
функции z = f (x, y). Функция z = f (x, y)			называется непрерывной в

точке M0 (x0 , y0 ), если имеет место равенство xlimx f (x, y) = f (x0 , y0 ) ,

→ 0 y→y0

причём точка M (x, y) стремится к точке M0 (x0 , y0 ) произвольным образом, оставаясь в области определения функции [5].

Если в	некоторой			точке		N0	(x0 , y0 )			не выполняются	условия
								Д
непрерывности, то точка N0 (x0 , y0 )									называется точкой разрыва
функции z = f (x, y).						А
Пример	1.		Вычислить					частноеИзначение			функции
f (x, y) = x2 − y2 при x = 5;					y = −3.
Решение. Подставляя					значения аргументов x = 5 и						y = −3 в
		и
						52 −(−3)2			= 4.
функцию, получим f			(5;	−3) =
Пример	2.		Найти			о ласть				определения	функции
	С			б
f (x, y) = 1− x2 − y2 .
Решение. Для того чтобы функция существовала, нужно, чтобы
под корнем	стояло		неотрицательное число, т. е. x и y должны
удовлетворять неравенству 1− x2 − y2 ≥ 0,										или x2 + y2 ≤1. Все точки

M (x, y) , координаты которых удовлетворяют указанному

неравенству, лежат в круге радиуса 1 с центром в начале координат и на границе этого круга.

Пример 3. Найти предел lim					tg(xy) .
				x→3	y
				y→0
Решение. Убедившись, что функция не определена в предельной
точке N0 (3;0), делаем преобразования:
lim	tg(xy)	= lim x lim tg(xy)			= 3 1	= 3, так как lim tg x		=1.
x→3	y	x→3	x→3	xy		x→0	x
y→0		y→0	y→0

Пример 4.	Указать точки разрыва функции			f (x, y) =	x + y	.
					x2 +3y2
			x + y
Решение.	Функция	f (x, y) =		определена на всей
			x2 +3y2

плоскости Oxy, но не существует в точке M0 (0;0), поэтому в этой

точке функция терпит разрыв. Во всех других точках числовой плоскости она непрерывна.

Задачи для самостоятельного решения

f (x, y) =

2x − y

; вычислить f (1;2) ,

f (3;1),

f (a;2a) ,

x −2y

2. Найти область определения функций:

а) z = x2 + xy2 − y3 −1; б) f (x, y) = 2 − x2 −2y2 ;

в)

z =

;

г) z =

−

;

x2 − y2

д) z =

ln(x2 y)

;

е) z = arccos(x

+ y

) .

y − x

Найти пределы функций:

a −

− xy

Аxy

2xy xy );

а)

lim

;

) lim

; в) lim (1+

sin(xy)

x→0

y→0

бy→1

y→0

г) lim arctg2x3 yи.

x→2

ln(1 + xy)

y→0

Указать точки или линии разрыва функций:

а)

z =

; б)

z =

x + y

; в) z =

(x −1)2 −(y −1)2

2x − y

x2 −2y2 −4

Ответы

f (2b;−b) .

1.0; 5; 0; 54 . 2. а) вся числовая плоскость; б) точки, лежащие внутри эллипса x2 + 2y2 = 2 и на этом эллипсе; в) вся плоскость Oxy, кроме прямых y = ±x ; г) x ≥ 0; y > 0 ; д) y > x ; y > 0 ;

1 / 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20211.81 Mб421787.pdf
#
07.01.20211.82 Mб11788.pdf
#
07.01.20211.82 Mб51789.pdf
#
07.01.2021329.44 Кб4179.pdf
#
07.01.20211.82 Mб171790.pdf
#
07.01.20211.83 Mб81791.pdf
#
07.01.20211.83 Mб31792.pdf
#
07.01.20211.83 Mб71793.pdf
#
07.01.20211.83 Mб21794.pdf
#
07.01.20211.83 Mб21795.pdf
#
07.01.20211.83 Mб21796.pdf