9. С какой

наибольшей скоростью может убывать функция

u = ln(x2 − y2 + z2 )

при

переходе

точки

M (x, y, z)

через

точку

M0 (1;1;1) ?

Ответы

1. x2 + 2y = 3

парабола.

2. 3.

3.

grad z(M )

= 1 .

4. 0.

5. 12 .

5 + 4

.

7. 3

2

5

6. −

2

. 8. (−3;1) и (1;−1).

9. 2

.

3

2

5

§4. Экстремум функции двух переменных

И

M0 называется

Значение

функции

z = f (x, y)

в

точке

максимумом

(минимумом),

Д

является

наибольшим

если

оно

близких точках.

А

Необходимые условия существования экстремума функции двух

переменных. Функция z = f (x, y) может иметь экстремум только в тех

б

точках, лежащих внутри о ласти определения функции, в которых

∂f = 0

и

∂f

= 0. Эти точки называются стационарными.

∂x

∂y

Достаточные услов я существования экстремума функции двух

переменных.

Обознач м через

A,

B

и

C значения частных

и

∂2 f

∂2 f

∂2 f

производных второго порядка

∂x2 ,

∂x∂y

и

∂y2

в стационарной

точке M

0

(x , y ) .

0

С0

Тогда, если

1)

A B

> 0,

то функция имеет экстремум в стационарной точке,

BC

f (x , y ) = z

при A < 0;

причём

0

0

max

f (x0 , y0 ) = zmin при A > 0;

2)

A B

< 0,

то экстремума нет;

BC

лежат

внутри

области

определения

функции:

z′x = 3x2 −6y ;

z′

= 0;

z′y = 24y2 −6x .

Решая систему уравнений вида

x

найдём две

= 0,

z′y

1

точки

M1(0;0)

Обе

точки

являются

стационарными.

и M 2 1;

2

.

Далее

исследуем

точки

по

знаку

определителя

∆ =

AB

,

BC

составленного

из

частных

производных

второго

порядка:

′′

= 6x

;

′′

′′

И

zxx = A

zxy = B = −6;

zyy = C = 48y .

Для

точки

M1

получим

A = 0;

B = −6 ;

C = 0

и

∆(M1) = AC − B

2

= −36 < 0 .

Д

в

точке

M1

нет

Следовательно,

экстремума.

А

C = 24 и ∆(M 2 ) =108 > 0.

Для точки M 2

меем

A

= 6

;

B = −6 ;

Согласно достаточному услов ю существования экстремума, M 2

есть

б

точка минимума. zmin = z(M

2 )

= 4.

Пример

2.

иИсследовать

на

экстремум

функцию

С

неравенств

−∞ < x < +∞; 0 ≤ y < +∞.

Найдём

частные производные

первого порядка

∂z = 3x2 −3;

∂z

= 2y + 2

систему

y3 . Решая

∂x

∂y

z′ = 0;

уравнений

x

найдём две точки

M1(1;0)

и M2 (−1;0),

которые

z′y = 0,

5. z = x2 + xy + y2 +

1 +

1

.

И

y

x

6. z = x3 + y3 −3xy .

7. z = (x2 + y) ey .

Ответы

1.

z

б

9

. 3. z

= z(4;4) =15.

min

min

Д

max

4. zmax

= z(3;2) =108. 5.

zmin = z(

1

;

1

) =

9

. 6.

zmin = z(1;1) = −1.

и

А3 3

3

9

3

3

7. zmin

= z(0;−2) = −

2 .

С

e

Вопросы и задания для самопроверки

1. Сформулируйте понятие функции нескольких переменных и

её предела.

2.

Какая

функция

нескольких

переменных называется

непрерывной?

Контрольная работа по разделу «Функции нескольких

переменных»

И

Д

Вариант 1

1.

Найти область определения функции z = y +

x

.

А

1

3y

2.

Найти частные производные функции z =

arctg

.

du

2

4x3

3.

Найти

,

если

дана

сложная

функция

u = e

z2 −y2

, где

dx

и

z = cos x;

б

y = sin x.

4.

Найти

∂z

и

∂z ,

если

дана

неявная

функция

(

)

∂x

∂y

2

2

С2

2

sin

x + y

−sin

2 z

+cos

2y = 0.

z =

x

1

5.

Найти градиент функции

в точке

M0 1; 2;

.

x2 + y2

5

6.

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к

поверхности z = x2 + y2 в точке B(1; 2; 5).

7.

Найти частные производные второго порядка функции

9.

Найти

наибольшее

и наименьшее

значения

функции

z = −x2 + xy − y2 −9y +6x

в замкнутой области, ограниченной линиями

y = −x; x = −2; y = −6 .

Вариант 2

1.

Найти область определения функции z =

x2 −4 +

4 − y2 .

2.

Найти частные производные функции

z =

5x2 −2y .

x +3y

3.

Найти

∂z

и

∂z

,

если

z = uv ,

где

u = sin x;

∂u

∂v

ν = cos x.

x

∂z

∂z

И

4.

Найти

∂x

и

∂y

, если дана неявная функция y3 − x2 = arctg

.

z

5.

Найти

градиент

функции

z = 3x2 y −3xy2 + y4

в точке

M (1; 2; 0).

6.

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к

A(3; 4; 2).

поверхности z =

x2 + y2

− x в точке

7.

Найти

частные

б

порядка

функции

производныеДвторого

z = xy (1−

).

А

xy

2

+ 2xy + 4x

− y

2

.

8.

Исследовать на экстремум функцию z = x

9.

Найти

на большее и наименьшее значения функции

С

z = x2 + y2 +6x

+

2y

в замкнутой области, ограниченной линиями

x = −5; y = x; y = 0.

и

Вариант 3

1.

Найти область определения функции z =

.

y sin x

2.

Найти частные производные функции

z =

2xy

.

sin x

3.

Найти

dz

,

если

z = arcsin(x − y),

где

x = 3t;

dt

y = 4t3.

4.

Найти

dy , если дана неявная фунция y3 − xy = ln

x

.

dx

y

5.

Найти градиент функции z = 3

в точке M (1;1; 3

).

x2 + y2

2

6.

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к

поверхности z =

x2

− y2 в точке

N (2; −1; 1).

7.

2

Найти частные производные второго порядка функции

8.

Исследовать на экстремум функцию

z = x2 + xy + y2 + x − y +1.

9.

Найти

наибольшее и

наименьшее

значения

функции

z = x2 +3xy + y2 −3x −2y

в замкнутой области,

ограниченной линиями

y = −x; y = 2; x =1.

И

Вариант 4

Д

1

1.

Найти область определения функции

z =

y −

.

А

2.

Найти частные производные функции z = 3

1+ 4xy + x2 +3y3

.

б

t

;

3.

Найти

dz

,

если

z =

x

,

где x = e

dt

y

y = lnt.

4.

Найти

∂z

∂z ,

если

неявная

функция

∂x

∂y

С

ln

(

x2

+ y2 + z2

)

+ arctg

y2

= 0.

иx

A(1; 2; 4).

5.

Найти градиент функции z = 2x2 + xy

в точке

6.

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к

поверхности z = xy

в точке

(−1; −1; 1).

7.

Найти

частные производные второго

порядка

функции

8. Исследовать на экстремум функцию

z = x2 + y2 −12x +16y .

9. Найти

наибольшее и

наименьшее значения

функции

z = 27x −6y − x3 + y2

в замкнутой

области,

ограниченной

линиями