−x

2

2

3

e

(2

x

+1)

x

1)

2

−

; 2)

∫e

2

∫

2

dx;

∫

+

7

x2 − 2

dx

3 +

cos

x

dx ; 3)

x

x

x4

+ 2х3

+ 2х

dx

4) ∫

; 5) ∫

4x −3dx; 6) ∫sin(1−5x)dx;

(x2 +

1)

dx

7) ∫

(

2

+6x −

1

)dx; 8) ∫53x−2 dx ; 9) ∫

.

x

2 −9

7x −3

3 − x2

Ответы

2

x

+C . 2. 3ex + tgx +C .

1.

arctg

−3ln

x +

x2 −2

7

7

3. 4ln x −

8

− 1

+C

. 4.

1 x3 + x2 − x +arctgx +C .

x

x

3

1

+ C . 6. 1 cos(1−5x) + C .

5.

(4x −3)3

6

x

5

3x−2

x −3

6

x

И

7.

1 ln

+

−arcsin

+C . 8.

5

+C .

x +3

ln 6

3ln 5

3

3

9.

1 ln(7x −3) + C .

Д

А

7

§ 2. Замена переменной в неопределенном интеграле

б

Замена переменной

нтегрирования является одним из самых

и

С

Теорема.

Пусть

функция

x =ϕ(t)

определена

и

дифференцируема

на некотором промежутке T , а

X − некоторое

Пример 1. Найти ∫

sin x dx

.

cos2 x

t = cos x.

Решение.

Введём

новую

переменную

Тогда

dt = −sin xdx

или

sin x dx = −dt .

В результате подстановки исходный

интеграл преобразуется к табличному виду

∫sin x2dx

= −∫dt2 = −∫t

−2 dt = −

t −2+1

+C

= −t −1

+C =

1

+C.

− 2 +1

cos x

cos x

t

−1

Пример 2. Найти ∫ x

dx.

x −3

Решение.

С

целью

упрощения

подынтегрального

выражения

положим

x −3 = t 2 .

Отсюда

выразим

И

и

найдём

x

= t2

+3

dx = d(t

2

+3) =

(t

2

+3)

′

Заменим

под

знаком

интеграла x ,

dt = 2tdt .

x −3

и

dx

на

соответствующие

выражения,

затем

выполним

преобразования и получим

∫x(

)dx = ∫(t 2 + 3)

2t dt = ∫(2t 4

6t 2 )dt

2∫t4dt + 6∫t2dt =

t 2

+

=

x −3

t

4+1

t

2+1

Д

5

= 2∫t4dt + 6∫t2dt = 2

+ 6

+ C

=

2 t

5

+ 2t3 + C

=

2

(

) +

x − 3

+1

5

4 +1

2

5

+ 2(

)3 + C.

А

x − 3

С

3e2xdx

б.

Пример 3. Найти

∫

e4x +C

Решение.

и

e

4x

= (e

2x

2

Целесообразно

ввести

Заметим,

что

) .

переменную

e

2x

= t .

Тогда

de

2x

= dt ;

(e

2x

′

e

2x

2dx = dt .

)dx = dt ;

Заменив всюду под интегралом e2xdх

на

dt

, а e2x на t , получим

3dt

dt

2

3

3 ln

+C = 3 ln

e2x +

+C.

∫

=

∫

=

t +

t 2 +5

e4x +5

2

t 2 +5

2

t 2 +5

2

2

Пример 4. Найти ∫

2sin x dx

.

3 + cos2 x

t = cos x.

Решение.

Введём

новую

переменную

Тогда

dt = −sin xdx. Заменив всюду под интегралом sin x dx на − dt ,

cos x на

2sin x

dt

∫

= −2∫

= −2ln

t +

3 +t2

+C =

3 +cos2 x

3 +t2

Пример 5. Найти ∫

(arcsin x +5)3 dx

.

1− x2

Решение.

Введём

новую

переменную

t = arcsin x +5. Тогда

dt =

dx

. В результате подстановки получим

1− x2

x +5)3 dx = ∫t3dt = t4

(arcsin x +5)4

∫ (arcsin

+C =

+C .

1− x2

4

И

4

Пример 6. Найти ∫

(

ln x

−3)dx .

x

Д

Решение.

Разложим

интеграл

на

два

интеграла

А

∫ (

ln x

−3)dx

= ∫

ln x

dx −3∫ dx .

Введём

новую

переменную

x

x

x

t = ln x; dt = dx и после замены получим

2

x

и

3

ln x

dx

t 2

С3

б= tdt −

x

x

+C =

∫

dx −3

∫

3ln

=

−3ln

x

x

3