1692

у = (x) с прямой у = x. Взяв в качестве начальной произвольную точку x0 [a, b], строим ломаную линию. Абсциссы вершин этой ломаной представляют собой последовательные приближения корня . Из рисунков видно, что если '(x)<0 на отрезке [a, b], то последовательные приближения xn = (xn-1), колеблются около корня , если же производная '(x)>0, то последовательные приближения сходятся к кор-

Рис. 10

При использовании метода простых итераций основным моментом является выбор функции у = (x), эквивалентной исходной.

На рис. 11 рассмотрен пример, когда условие окончания ите-

рационного процесса y xn 1 выполняется на первом шаге

итерационного процесса, т.е. x1 x0 , из этого следует, что х0 является приближенным значением искомого корня. Однако из рис. 11 видно, что это неверно, т.к. решением задачи является .

Для метода итераций следует подбирать функцию (x) так, чтобы | '(x)| δ <1, в противном случае процесс итерации расходящийся. При этом следует помнить, что скорость сходимости последовательности {xn} к корню тем выше, чем меньше число δ.

Ключевой момент в применении метода простой итерации – эквивалентное преобразование уравнения F(x)=0 к виду (2). Конечно,

31

Рис. 11

такое преобразование имеет смысл только тогда, когда оказывается

самая простая и напрашивающаяся) попытка представления уравнения в требуемом виде оказалась неудачной, отчаиваться не следует. В ряде случаев можно использовать специальные приемы. Рассмотрим некоторые из них [2,5].

Способ 1. Если f (x) содержит в себе выражение некоторой об-

[c; d], то следует попытаться заменить уравнение на равносильное с использованием обратной для функции : x (y). Этот способ основан на известном соотношении между производными взаимообратных функций (y) 1/ (y) и следствии изнего:

условие сходимости не выполняется.

Другой вариант уравнения: x x3 1. Проверим условие сходи- 3

мости:

32

(x) 1 x3 1 (x) x2 ;

33

(2) 4 1 при х [0,8; 2],

условие сходимости не выполняется.

Так как ни одно из приведенных нами уравнений не удовлетворяет условию сходимости, то применим описанный способ:

x3 3x 1 x 33x 1;

условие сходимости выполняется. Таким образом, для уточнения нужного нам корня методом простой итерации можно использовать уравнение x 33x 1.

Способ 2. В случае, когда способ 1 применить трудно или он не даст нужного результата, можно использовать следующий прием.

Пусть дано уравнение с единственным корнем в [a; b]. Предположим, что на отрезке [с; d] производная f функции F непрерывна, не равна константе и принимает значения одного и того же знака.

xx k f (x)

ипокажем, что для функции g(x) x k f (x) на [c; d] имеет место ус-

ловиесходимости.

Для x [c, d] справедливы неравенства: 0 m f (x) M . Разделим их почленно на число М и для разностей между единицей и полученными дробями получимнеравенство:

0 1 f (x) 1 m q,

M M

откуда ивытекает, что

0 g (x) 1 k f (x) q

при всех x [c, d].

33

для решения методом простой итерации на интервале [1,4; 1,7].

Так как условие сходимости не выполняется, то применим второй способ приведения уравнения:

q 1 m 1 0,99 0,31 1. M 1,44

Таким образом, для уточнения нужного нам корня методом простой итерации можно использовать уравнение

для решения методом простой итерации на интервале [1,7; 2,1].

Так как условие сходимости не выполняется, то применим второй способ приведения уравнения:

34

q 1 m 1 0,42 0,36 1. M 0,66

Таким образом, для уточнения нужного нам корня методом простой итерации можно использовать уравнение

му для решения методом простой итерации на интервале [0,3;0,7]. Так как условие сходимости не выполняется, то применим вто-

рой способ приведения уравнения:

q 1 m 1 30,73 0,9 1. M 315,52

Таким образом, для уточнения нужного нам корня методом простой итерации можно использовать уравнение

35

Контрольные вопросы

1.Метод половинного деления. Почему этот метод считается надежным методом решения нелинейных уравнений? В чем состоит недостаток этого метода?

2.Всегда ли нужно проверять условия сходимости для рассмотренных методов?

3.Чем объясняется целесообразность применения комбинированных методов, в частности метода хорд и касательных?

4.Условия сходимости метода простых итераций.

5.Условия окончания итерационного процесса, используемые в программе.

6.Назовите этапы приближенного определения корней.

7.Что является корнем или решением нелинейного уравнения?

8.Приведите геометрическую интерпретацию метода половинного деления.

9.Какой конец хорды неподвижен при реализации метода хорд?

10.Как выбирается в методе Ньютона первое приближение?

11.Запишите алгоритм решения задачи методом хорд.

12.Метод половинного деления. Почему этот метод считается надежным методом решения нелинейных уравнений? В чем состоит недостаток этого метода?

13.Всегда ли нужно проверять условия сходимости для рассмотренных методов?

14.Чем объясняется целесообразность применения комбинированных методов, в частности метода хорд и касательных?

15.Условия сходимости метода простых итераций?

16.Условия окончания итерационного процесса, используемые в программе?

17.Назовите этапы приближенного определения корней.

18.Что является корнем или решением нелинейного уравнения?

19.Приведите геометрическую интерпретацию метода половинного деления.

20.Какой конец хорды неподвижен при реализации метода хорд?

21.Как выбирается в методе Ньютона первое приближение?

22.Запишите алгоритм решения задачи методом хорд.

39

Лабораторная работа №3

ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА

Введение

Частным случаем задачи приближения одной функции к другой является интерполяция. Речь пойдет о приближении функции одной переменной. Задачи интерполяции возникают в практике инженера в случае:

−интерполирования табличных данных;

−получения аналитической зависимости по экспериментальным данным;

−замены сложной с вычислительной точки зрения функции более простой зависимостью;

−приближенного дифференцирования и интегрирования;

−численного решения дифференциальных уравнений.

Цель работы: вычислить значение функции, заданной таблично, в точках, не совпадающих с узлами, используя интерполяционную формулу Лагранжа.

Порядок выполнения работы

1.Изучить теоретический материал.

2.Составить программу для решения задачи, отладить её.

3.Решить заданный вариант контрольного задания.

4.Составить отчет, содержащий задание, листинг программы, вычисленные значения функции.

5.Защитить лабораторную работу.

1.Постановка задачи

Исходная функция у = F(x) задана на отрезке [a, b] в виде таблицы с неравноотстоящими узлами (хi+1 – хi ≠ const). Для аналитической записи этой функции с помощью интерполяционной формулы необходимо выполнение условия, состоящего в том, что исходная функция и заменяющая её функция φn(х) должны совпадать в узлах, то есть необходимо выполнение условия