1692

Контрольные вопросы

1.Что обозначают термины: аппроксимация, интерполяция, экстраполяция?

2.Меры близости (отклонения) двух функций.

3.Запишите интерполяционные формулы для таблиц:

a)с переменным шагом;

b)с постоянным шагом.

4.Конечные разности, как их вычислить?

5.Разделенные разности, как они вычисляются?

6.Запишите функцию, заданную таблично в аналитическом виде, используя интерполяционные формулы.

7.Запишите частные случаи формулы Ньютона для п=1, п=2.

8.Запишите частные случаи формулы Лагранжа для п=1, п=2, п=3.

9.Как оценить погрешность интерполяционной формулы?

10.Единственность полинома Лагранжа.

11.Вычислить конечные разности различных порядков:

12.Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для таблично заданной функции у = 1пх:

52

13.Записать функцию в аналитическом виде, используя для этого разделенные разности:

14.Каким образом можно определить наилучшую степень аппроксимируемого полинома?

15.Можно ли при аппроксимации произвольно задавать степень аппроксимирующего полинома?

16.Найти многочлен наименьшей степени, принимающий в данных точках заданные значения.

x y

1,45 3,14

1,36 4,15

1,14 5,65

17. Записать в аналитическом виде, таблично заданную функцию.

x y

10

24

36

53

Лабораторная работа № 4

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Цель работы: выбрать вид зависимости и определить неизвестные параметры таблично заданной функции, используя метод наименьших квадратов.

Порядок выполнения работы

1.Познакомиться с описанием лабораторной работы.

2.Для заданного варианта определить:

а) вид зависимости; б) неизвестные параметры.

3.Составить отчет.

4.Ответить на контрольные вопросы.

5.Защитить лабораторную работу.

1. Описание метода

Пусть в результате эксперимента получена таблица некоторой функции

Требуется найти функцию вида y = F(x), которая в точках x1,x2,…,xn принимает значения, наиболее близкие к табличным значениям y1,y2,…,yn. Такую формулу называют эмпирической формулой или уравнением регрессии y на x, саму функцию называют приближающей функцией или аппроксимирующей.

На практике эту приближающую функцию находят следующим образом. По таблице строят точечный график функции F, по которому устанавливают вид приближающей функции. В качестве приближающей функции y = F(x) в зависимости от характера точечного графика часто используют следующие функции:

y=ax+b; y=b ax;

y=1/(ax+b); y=a emx;

где a,b,c,m – константы.

Отметим, что из нескольких приближений для одной и той же табличной функции лучшим является то, для которого имеет наименьшее значение. В нашем случае приближающая функция зависела от трех параметров, однако изменение количества параметров повлияет только на изменение количества уравнений системы (2), а суть метода останется прежней. Рассмотрим частные случаи нахождения аппроксимирующих функций.

2. Линейная функция

Пусть требуется найти приближающую функцию в виде линей-

ной:

n yi axi b xi 0,i 1

n

yi axi b 1 0.i 1

После несложных преобразований её можно привести к виду:

Решив систему, получим значения параметров a и b, следовательно, и конкретный вид приближающей функции F(x,a,b) = ax+b.

Пример № 1. Найти аппроксимирующую функцию в виде линей-

ного полинома F(x,a,b) = ax+b.

Составим систему уравнений, точнее, воспользуемся системой (2а). Используя имеющиеся данные, получим n = 9; ∑xi = 0; ∑yi= =811,3; ∑yi xi = 3534,8; ∑x2i = 4060. Решим систему линейных алгебраических уравнений относительно а и b, получим а = 0,87; b = 90,1.

Аппроксимирующая функция имеет вид F(x,a,b) = 0,87x+90,1.

56

3. Квадратичная функция

Пусть требуется найти аппроксимирующую функцию в виде квадратичной:

F(x,a,b,c) = ax2+bx+c.

Так как её частные производные по параметрам a, b и c соответственно равны:

Fa x,a,b,c x2, Fb x,a,b,c x, Fc x,a,b,c 1,

то система (2) примет вид:

n

yi axi2 bxi c xi2 0,i 1

n yi axi2 bxi c xi 0,i 1

n yi axi2 bxi c 1 0.i 1

Решив систему, получим значения параметров a, b и с, следовательно, и конкретный вид аппроксимирующей функции

F(x,a,b,c)=ax2+bx+c.

4. Степенная функция

Пусть требуется найти аппроксимирующую функцию в виде степенной:

При условии, что a>0 и в заданной таблице значения аргумента и значения функции положительны, прологарифмируем равенство (3):

lnF = lna+mlnx.

Введем следующие обозначения u = lnx; A= m; B= lna, тогда lnF будет функцией от u: Ф(u,A,B) = Au+B. Таким образом, нахождение параметров степенной функции мы свели к нахождению параметров линейной функции. Поэтому дальнейшее решение поставленной задачи будет аналогично первому случаю.

Так как частные производные функции Ф(u,A,B) по параметрам

Так как частные производные функции F(x,a,b) по параметрам a

и b равны: Fa x,a,b ln x; Fb x,a,b 1, то система (2) примет вид:

n yi aln xi b ln xi 0,i 1

n

yi aln xi b 1 0.i 1

После элементарных преобразований найдем требуемые параметры.

Пример № 3. Имеем функцию заданную, таблично.

Представим функцию графически, чтобы выбрать вид аппроксимирующей функции (рис. 2).

59