Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1692

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Вариант № 64		Вариант № 65		Вариант № 66
xi	yi	xi	yi	xi	yi
0,1	1,29	0,1	-0,64	0,1	-6,10
0,2	1,57	0,2	-0,63	0,2	-5,94
0,3	1,82	0,3	-0,62	0,3	-5,71
0,4	2,05	0,4	-0,58	0,4	-5,56
0,5	2,22	0,5	-0,52	0,5	-5,33
0,6	2,35	0,6	-0,42	0,6	-5,07
0,7	2,38	0,7	-0,28	0,7	-4,75
0,8	2,34	0,8	-0,09	0,8	-4,39
0,9	2,21	0,9	0,16	0,9	-3,97
1,0	1,97	1,0	0,47	1,0	-3,48
1,1	1,61	1,1	0,86	1,1	-2,92
1,2	1,13	1,2	0,91	1,2	-2,28
1,3	0,49	1,3	1,88	1,3	-1,55
1,4	-0,29	1,4	2,52	1,4	-0,73
1,5	-1,24	1,5	3,27	1,5	0,20
1,6	-2,38	1,6	4,13	1,6	1,24
1,7	-3,70	1,7	5,11	1,7	2,39
1,8	-5,22	1,8	7,24	1,8	3,67
1,9	-6,96	1,9	7,44	1,9	5,07
2,0	-8,93	2,0	8,82	2,0	6,62

Вариант № 67		Вариант № 68			Вариант № 69
xi	yi	xi		yi	xi	yi
0,1	6,05	0,1		3,00
					0,1	6,94
0,2	5,88	0,2		2,98
					0,2	6,69
0,3	5,68	0,3		2,91
					0,3	6,41
0,4	5,44	0,4		2,87
					0,4	6,39
0,5	5,17	0,5		2,81
					0,5	5,73
0,6	4,85	0,6		2,76
					0,6	5,34
0,7	4,49	0,7		2,72
					0,7	4,92
0,8	4,07	0,8		2,71
					0,8	4,45
0,9	3,60	0,9		2,74
					0,9	3,95
1,0	3,07	1,0		2,81
					1,0	3,41
1,1	2,47	1,1		2,95
					1,1	2,83
1,2	1,80	1,2		3,14
					1,2	2,21
1,3	1,06	1,3		3,41
					1,3	1,55
1,4	0,24	1,4		3,77
					1,4	0,84
1,5	-0,66	1,5		4,22
					1,5	0,10
1,6	-1,65	1,6		4,77
					1,6	-0,69
1,7	-2,74	1,7		5,44
					1,7	-1,51
1,8	-3,91	1,8		6,23
					1,8	-2,39
1,9	-5,20	1,9		7,15
					1,9	-3,30
2,0	-6,58	2,0		8,22
					2,0	-4,26
			71

Вариант № 70		Вариант № 71		Вариант № 72
xi	yi	xi	yi	xi	yi
0,1	-0,27	0,1	2,20	0,1	-1,95
0,2	-0,30	0,2	2,18	0,2	-1,80
0,3	-0,37	0,3	2,13	0,3	-1,64
0,4	-0,46	0,4	2,05	0,4	-1,47
0,5	-0,59	0,5	1,89	0,5	-1,28
0,6	-0,75	0,6	1,83	0,6	-1,06
0,7	-0,97	0,7	1,69	0,7	-0,81
0,8	-1,23	0,8	1,52	0,8	-0,52
0,9	-1,56	0,9	1,33	0,9	-0,19
1,0	-1,94	1,0	1,11	1,0	0,19
1,1	-1,86	1,1	0,87	1,1	0,63
1,2	-2,92	1,2	0,60	1,2	1,13
1,3	-3,52	1,3	0,32	1,3	1,69
1,4	-4,20	1,4	0,00	1,4	2,32
1,5	-4,98	1,5	-0,33	1,5	2,74
1,6	-5,84	1,6	-0,70	1,6	3,24
1,7	-6,81	1,7	-1,08	1,7	3,84
1,8	-7,88	1,8	-1,49	1,8	4,52
1,9	-9,06	1,9	-1,92	1,9	5,33
2,0	-10,35	2,0	-2,38	2,0	6,24

Вариант № 73		Вариант № 74			Вариант № 75
xi	yi	xi		yi	xi	yi
0,1	2,44	0,1		-6,05
					0,1	2,00
0,2	2,12	0,2		-5,86
					0,2	1,86
0,3	1,84	0,3		-5,64
					0,3	1,70
0,4	1,60	0,4		-5,38
					0,4	1,51
0,5	1,40	0,5		-5,12
					0,5	1,28
0,6	1,23	0,6		-4,68
					0,6	1,02
0,7	1,12	0,7		-4,22
					0,7	0,71
0,8	1,06	0,8		-3,84
					0,8	0,36
0,9	1,06	0,9		-2,94
					0,9	-0,03
1,0	1,12	1,0		-2,34
					1,0	-0,47
1,1	1,67	1,1		-1,50
					1,1	-0,97
1,2	1,44	12		-0,55
					1,2	-1,52
1,3	1,70	1,3		0,53
					1,3	-2,14
1,4	2,04	1,4		1,74
					1,4	-2,81
1,5	2,47	1,5		3,09
					1,5	-3,55
1,6	2,97	1,6		4,60
					1,6	-4,36
1,7	3,57	1,7		6,28
					1,7	-5,24
1,8	4,26	1,8		8,12
					1,8	-6,20
1,9	5,05	1,9		10,14
					1,9	-7,24
2,0	5,94	2,0		12,36
					2,0	-8,35
			72

Вариант № 76		Вариант № 77		Вариант № 78
xi	yi	xi	yi	xi	yi
0,1	-10,67	0,1	5,27	0,1	-3,39
0,2	-10,66	0,2	5,19	0,2	-3,16
0,3	-10,62	0,3	5,13	0,3	-2,87
0,4	-10,55	0,4	5,06	0,4	-2,54
0,5	-10,42	0,5	4,99	0,5	-2,15
0,6	-10,25	0,6	4,91	0,6	-1,71
0,7	-10,03	0,7	4,81	0,7	-1,22
0,8	-9,74	0,8	4,69	0,8	-0,68
0,9	-9,38	0,9	4,54	0,9	-0,08
1,0	-8,95	1,0	4,36	1,0	0,57
1,1	-8,44	1,1	4,14	1,1	1,27
1,2	-7,84	1,2	3,87	1,2	2,02
1,3	-7,15	1,3	3,56	1,3	2,83
1,4	-6,36	1,4	3,18	1,4	3,69
1,5	-5,47	1,5	2,74	1,5	4,60
1,6	-4,47	1,6	2,23	1,6	5,56
1,7	-3,35	1,7	1,64	1,7	6,57
1,8	-2,11	1,8	0,97	1,8	7,64
1,9	-0,74	1,9	0,21	1,9	8,76
2,0	-0,76	2,0	-0,64	2,0	9,23

Вариант № 79		Вариант № 80			Вариант № 81
xi	yi	xi		yi	xi	yi
0,1	2,44	0,1		-6,05
					0,1	2,00
0,2	2,12	0,2		-5,86
					0,2	1,86
0,3	1,84	0,3		-5,64
					0,3	1,70
0,4	1,60	0,4		-5,38
					0,4	1,51
0,5	1,40	0,5		-5,12
					0,5	1,28
0,6	1,23	0,6		-4,68
					0,6	1,02
0,7	1,12	0,7		-4,22
					0,7	0,71
0,8	1,06	0,8		-3,84
					0,8	0,36
0,9	1,06	0,9		-2,94
					0,9	-0,03
1,0	1,12	1,0		-2,34
					1,0	-0,47
1,1	1,67	1,1		-1,50
					1,1	-0,97
1,2	1,44	1,2		-0,55
					1,2	-1,52
1,3	1,70	1,3		0,53
					1,3	-2,14
1,4	2,04	1,4		1,74
					1,4	-2,81
1,5	2,47	1,5		3,09
					1,5	-3,55
1,6	2,97	1,6		4,60
					1,6	-4,36
1,7	3,57	1,7		6,28
					1,7	-5,24
1,8	4,26	1,8		8,12
					1,8	-6,20
1,9	5,05	1,9		10,14
					1,9	-7,24
2,0	5,94	2,0		12,36
					2,0	-8,35
			73

Контрольные вопросы

1.Можно ли при аппроксимации полиномом таблично заданной функции обеспечить прохождение аппроксимирующей функции через все точки?

2.Какая мера близости (отклонения) используется в методе наименьших квадратов?

3.Какие меры близости двух функций Вам известны?

4.Можно ли с помощью метода наименьших квадратов найти параметры неполиноминальной аппроксимирующей функции?

5.Какая мера близости используется в методе средних?

6.В каком случае система нормальных уравнений получается линейной относительно искомых коэффициентов?

7.Можно ли обеспечить требование, чтобы аппроксимирующая функция практически точно проходила через отдельные выбранные точки?

8.Можно ли при аппроксимации произвольно задавать степень аппроксимирующего полинома?

9.Может ли быть степень аппроксимирующего полинома больше числа узлов интерполяции?

10.Назовите этапы, которые нужно пройти, при создании эмпирической формулы

Библиографический список

1.Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: учебное пособие. – 2-е изд., испр. и доп. –

М.: Изд-во МЭИ, 2003. – 596 c.

2.Вержбицкий В.М. Основы численных методов: учебник для вузов.

–М.: Высшая школа, 2002. – 848 с.

3.Воробьёва Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. – М.: Высшая школа, 1990. – 208 с.

4.Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: учебное пособие.– М.: Финансы и статистика, 1999. – 256 с.

5.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики.

–5-е изд. – СПб.: Лань, 2006. – 664 с.

6.Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – 2-е изд. – СПб.: Лань, 2008. – 367 с.

7.Кузнецова Л.Г. Прикладная математика: учебное пособие. – Омск, 2002.

8.Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математике: учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 1994.– 416 с.

9.Ракитин В.И., Первушин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров: учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1998. – 383 с.

10.Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: учебное пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – СПб.: Лань, 2008. – 367 с.

11.Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. – М.: Изд-во «Наука», 1967. – 368 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Общая характеристика методов решения систем линейных алгебраических уравнений

Все системы линейных уравнений подразделяются на несколько групп:

система, имеющая хотя бы одно решение, называется совме-

стной;

система, не имеющая ни одного решения, называется несовме-

стной;

система, имеющая единственное решение, называется опреде-

ленной;

система, имеющая более одного решения, называется неопре-

деленной.

Поэтому прежде чем переходить к решению системы, мы должны определить, к какому виду относится система.

Таким образом, решить систему - это значит выяснить, совместна она или нет, и в случае совместности найти все ее решения (множество решений).

Рассмотрим несколько примеров. Пример № 1. Данная система

x1 4x2 1,2x1 3

имеет единственное решение (3/2; − 1/8) и, следовательно, она является совместной и определенной.

Пример № 2. Данная система, состоящая из одного уравнения

2x1 3x2 x3 4,

является совместной, но неопределенной. Так как положив, например, x1 = c1, х2 = с2, где c1 и с2 − произвольные числа, из данного уравнения находим, что х3 = 4 − 2c1 + 3с2. Таким образом, множество решений данной системы бесконечно и имеет вид: {(с1; с2; 4−2с1 +3с2) | с1, с2

R}.

Пример № 3. Данная система

x1 x2 0,x1 x2 0

является несовместной, так как не имеет решения.

В качестве критерия для определения совместности системы, нужно использовать теорему Кронекера-Капелли.

Теорема 1. Для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной мат-

рицы (т.е. если r r , то система несовместна).

A A

Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Если все миноры матрицы равны нулю, то ранг матрицы считается равным нулю. Ранг матрицы будем обозначать r.

Необходимы также следующие теоремы:

Теорема 2. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение (т.е.

rA rA r n).

Теорема 3. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то множество решений системы бесконечно (т.е.

rA rA r n).

Хорошо и плохо обусловленные системы

Существующие системы бывают плохо обусловленными и хорошо обусловленными.

Следует учитывать, как сильно могут повлиять погрешности округления на погрешность результата, какие свойства матрицы определяют ее «чувствительность» к погрешностям округления.

Существуют системы очень чувствительные к изменениям, проведенным в правой части уравнения системы. Рассмотрим два примера Пример № 4 . Имеем систему

x1 x2 2,

x1 1,0001x2 2,0001.

Решением системы является вектор x = (1,1).

Пример № 5. Имеем систему, отличную от системы примера № 4 изменением в правой части пятой значащей цифры:

x1 x2 2,

x1 1,0001x2 2,0002.

Решением этой системы является вектор x = (0,2).

Из этих примеров можно сделать вывод, что изменение в правой

части пятой значащей цифры повлекло изменение решения. Заметим, что в обоих примерах определитель матрицы системы

мал, и, по-видимому, система почти вырождена.

Таким образом, можно сделать вывод, что если Ах=b − совместная система с detA 0 и матрица А почти вырождена, то малые изменения элементов системы могут привести к новой системе Ax b

с detA = 0, которая может оказаться несовместной, т.е. не иметь ни одного решения или иметь бесчисленное множество решений. Этот общеизвестный факт и рассмотренные примеры позволяют сделать вывод, что если матрица системы «почти вырождена», то ошибки округления могут привести к неверному результату. В таком случае нужно уметь заранее определить меру «близости» матрицы системы к множеству вырожденных матриц.

Мерой близости матрицы А к вырожденной является величина cond(A) − число обусловленности, которое вычисляется по формуле

cond(A)=AA 1, где A− норма матрицы А, а A 1− норма обрат-

ной матрицы. (Порядок нахождения нормы матрицы приведен в [6].

Причем, чем больше величина cond(A), тем ближе матрица А к вырожденной.

Системы с большим числом обусловленности называют плохо обусловленными. Не существует численного метода, с помощью которого можно было бы устранить чувствительность плохо обусловленной системы к возмущениям элементов матрицы и правой части. Решение линейных систем с плохо обусловленными матрицами может оказаться некорректной задачей.

Проверить чувствительность решения системы к погрешностям можно и экспериментально. Для этого достаточно решить задачу несколько раз с несколькими близкими к bi правыми частями [3].

Содержание

Лабораторная работа №1.....................................................................................................		3
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ..............................................................		3
1.	Постановка задачи........................................................................................................	3
2.	Классификация методов решения систем линейных алгебраических
	уравнений......................................................................................................................	4
3.	Метод простой итерации (метод Якоби).....................................................................	5
4.	Условия сходимости и элементарные преобразования матрицы.............................	10
5.	Метод Зейделя (метод Гаусса-Зейделя,.....................................................................11
метод последовательных замещений) ...........................................................................		11
6.	Контрольные задания.................................................................................................	13
Контрольные вопросы....................................................................................................		19
Лабораторная работа №2 .....................................................................................................		20
МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ

УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ ………………………………………………20

1.	Постановка задачи.....................................................................................................					20
2.	Методы решения нелинейных уравнений			................................................................		21
	2.1. Метод деления пополам (метод бисекций)........................................................					21
	2.2. Метод хорд	..........................................................................................................				22
	2.3. Метод Ньютона (метод касательных)................................................................					24
	2.4. Комбинированный метод хорд и касательных..................................................					27
	2.5. Метод простой итерации (метод последовательных ................приближений)					29
3.	Контрольные задания................................................................................................					36
Контрольные вопросы ................................................................................................						39
Лабораторная работа №3			40
ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА					40
Введение ........................................................................................................................						40
1.	Постановка задачи.....................................................................................................					40
2.	Частные случаи полинома Лагранжа........................................................................					42
3.	Оценка погрешностей................................................................................................					43
4.	Контрольные задания..............................................................................................					452
Контрольные вопросы...................................................................................................						52
Лабораторная работа № 4			54
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ……				54
1.	Описание метода........................................................................................................					54
2.	Линейная функция.....................................................................................................					56
3.	Квадратичная функция..............................................................................................					57
4.	Степенная функция....................................................................................................					57
5.	Логарифмическая функция .......................................................................................					58
6.	Контрольные задания 60
Контрольные вопросы			74
Библиографический список...........................................................................................						75
ПРИЛОЖЕНИЕ		76
Общая характеристика методов решения систем.........................................................						76
линейных алгебраических уравнений...........................................................................						76
1.	Хорошо и плохо обусловленные системы................................................................					77
Содержание....................................................................................................................						79
			79

Учебное издание

Епифанцева Маргарита Ярополковна

ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ

«ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»

для студентов факультета ИСУ

** *

Редактор Т.И. Калинина

** *

Подписано к печати 04.12.09 Формат 60 90 1/16. Бумага писчая Оперативный способ печати Гарнитура Times New Roman Усл. п. л. 5,0, уч.-изд. л. 3,63 Тираж 100 экз. Заказ №___

Цена договорная

* * *

Издательство СибАДИ 644099, г. Омск, ул. Некрасова, 10

________________________________________________

Отпечатано в подразделении ОП издательства СибАДИ 644099, г. Омск, ул. П. Некрасова, 10

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20211.57 Mб21688.pdf
#
07.01.20211.57 Mб441689.pdf
#
07.01.2021323.29 Кб1169.pdf
#
07.01.20211.57 Mб31690.pdf
#
07.01.20211.57 Mб61691.pdf
#
07.01.20211.57 Mб61692.pdf
#
07.01.20211.57 Mб41693.pdf
#
07.01.20211.58 Mб71694.pdf
#
07.01.20211.58 Mб01695.pdf
#
07.01.20211.58 Mб121696.pdf
#
07.01.20211.58 Mб121697.pdf