Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1692

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Функцию у = F(x) представим в виде полинома степени п:
Ln(х) = а0 + а 1х + а2х2 +... + апхn.	(2)

Воспользуемся для этого полиномами, каждый из которых в точке х = хi (i = 0,1…) принимает значение у=1, а во всех остальных узлах x=x0,, x=x1,… , x=xi-1, x=xi+1,…, x=xn обращает y в ноль y=y0=y1=…=yi-1, yi+1=…=yn=0.

Рис. 1

P		1,i		j;
	i	( x )	0 ,i	j.

На рис. 1 изображен полином. Так как искомый полином обраща-

ется	в 0	в точках, x0, x1...xi 1, xi 1, xn , то он	имеет	вид
Pi x Ci	x x0	x x1 x xi 1 x xi 1 x xn	,	(3)

где Ci− постоянный коэффициент.

Значение этого коэффициента может быть найдено при x=xi, так

как	Pi xi 1,
C i	x x0 x x1 x xi 1 x xi 1 x xn 1, (4)

откуда

Ci x x0 x x1 x xi 1 x xi 1 x xn .

Подставляя (5) в (3), получим

Pi x	x x0 x x1 x xi 1 x xi 1 x xn
							.
	x x x x x x				x x	x x
	i	0	1	i 1	i 1	i n

(5)

(6)

Степень полинома равна п. Нумерация точек начинается с 0 и заканчивается п, при этом i-я точка выпадает. Полученный полином

представляет исходную функцию у = F(x) только в одной точке. Для представления всей таблично заданной функции таких полиномов потребуется п.

n
Ln x Pi x yi .	(7)

i 0

2. Частные случаи полинома Лагранжа

Рассмотрим частные случаи полинома Лагранжа при п=1; п=2;

п=3.

Для п=1 исходная таблица функции будет выглядеть следующим образом:

											x			0	x
														0			1						,
											y			0	y								,
														0			1
тогда по формуле (7) имеем																					x x1										x x0
				L x P x y							P x y										x x1							y			x x0			y
				L x P x y							P x y																	y						y
				1		0				0	1			1							x			0		x			0		x x		1.
Для случая п = 2:																								0			1			1			0
Для случая п = 2:											x			x x
											x		0	x x					2
													0		1				2
											y		0	y y						2				.
													0		1					2
L x P x y					0	P x y P x y							2						x x1 x x2													y
L x P x y						P x y P x y																										y
2			0			1		1			2						x x										x x 0
		x x0 x x2							x x0 x x1													0				1		0		2
		x x0 x x2					y		x x0 x x1															y
							y		x x x x															y	2
	x x x x 1								x x x x																2
		1	0	1		2		2			0		2					1
Для случая п=3:
											x	0	x x			2		x				3
												0		1		2						3
											y	0	y y				2		y					.
												0		1			2						3
L3 x P0 x y0								P1 x y1						P2 x y2																P3 x y3
		x x1 x x2 x x3																					x x0 x x2 x x3
												y0																								y1
		x0	x1 x0			x2 x0					x3	y0								x1						x1 x1 x2 x1									x3	y1

	x x0 x x1 x x3					x x0 x x1 x x2
					y2					y3 .
	x2 x0 x2	x1 x2	x3		y2	x3 x0 x3		x1 x3 x2		y3 .
	Рассмотрим конкретный пример. Функция задана таблицей своих
значений. Вычислить значение функции в точке 2,5.
		Значения функции y= lnx

	х	2		3			4		5
	y= lnx	0,6931		1,0986			1,3863		1,6094

Используем первые три значения в качестве узлов интерполирования, получим:

L2(x)=((x-3)(x-4)/(2-3)(2-4)) 0,6931+((x-2)(x-4)/(3-2)(3-4)) 1,0986+ + ((x-2)(x-3)/(4-2)(4-3)).1,3863=-0,0589 x+0,7000 x-0,4713;

L2 (2,5)=0,9103.

Полином третьей степени строим по четырём узлам:

L x			x 3 x 4 x 5		0,6931		x 2 x 4 x 5		1,0986

	3		2 3 2 4 2 5				3 2 3 4 3 5

		x 2 x 3 x 5				x 2 x 3 x 4
				1,3863				1,6094 0,0089x3
		4 2 4 3 4 5				5 2 5 3 5 4

0,1390x2 0,9214x 0,6849;L3 x 0,9139.

Для сравнения укажем, что в четырёхзначных таблицах значение ln2,5 = 0,9139.

3. Оценка погрешностей

Построенный полином Лагранжа совпадает с исходной функцией F(x) в узловых точках, во всех остальных точках Ln(x) представляет функцию F(x) на отрезке [a,b] приближенно. Без вывода запишем формулу, используемую для оценки погрешностей:

R x

f (x) Ln(x)

f n 1

(8)

n 1!

n 1

где R x

остаточный член или погрешность;

f n 1

(n+1)–я

производная от исходной функции, при этом будем предполагать,

что F(x) на отрезке a ≤ x ≤ b изменений х будет иметь	все про-
изводные до (n+1)-го порядка включительно; точка	a,b ,

Рис. 2

она придаёт максимальное значение функции f n 1 ; n – степень полинома,

n 1 x x0 x x1 x xn .

Оценим погрешность функции, заданной таблицей, выберем степень полинома п = 2, заданная функция y= lnx. Найдем производную третьего порядка y'=1/x; y''= –1/x2, y'''=1/x3. Очевидно, что максимальное значение y''' получим при x=2: y'''=2/23=1/4.

R x	1	(2,5 2)(2,5 3)(2,5 4) 0,0156.

3	4 1 2 3

Алгоритм выполнения задания по лабораторной работе представлен на рис. 2.

4. Контрольные задания

Используя интерполяционную формулу Лагранжа, вычислить значения функции в указанных точках. В таблично заданных функциях шаг таблиц постоянный.

	№ 1		№ 2		№ 3		№ 4

X	У	X	У	X	У	X	У
3,50	33,1154	0,115	8,65729	0,15	0,860708	0,45	20,1946
3,55	34,8133	0,120	8,29329	0,20	0,818731	0,46	19,6133
3,60	36,5982	0,125	7,95829	0,25	0,778801	0,47	18,9425
3,65	38,4747	0,130	7,64893	0,30	0,740818	0,48	18,1746
3,70	40,4473	0,135	7,36235	0,35	0,704688	0,49	17,3010
3,75	42,5211	0,140	7,09613	0,40	0,670320	0,50	16,3123
3,80	44,7012	0,145	6,84815	0,45	0,637628	0,51	15,1984
3,85	46,9931	0,150	6,61659	0,50	0,606531	0,52	13,9484
3,90	49,4024	0,155	6,39986	0,55	0,576950	0,53	12,5508
3,95	51,9354	0,160	6,19658	0,60	0,548812	0,54	10,9937
	x= 3,52		x = 0,121		x = 0,17		x = 0,455
	x = 3,93		x = 0,161		x = 0,58		x = 0,535

		№ 5		№ 6		№ 7		№ 8
X		У	X	У	X	У	X	У
0,34		-0,14476	1,340	4,25562	0,15	4,4817	0,01	0,991824
0,35		-0,15970	1,345	4,35325	0,16	4,9530	0,06	0,951935
0,36		-0,17446	1,350	4,45522	0,17	5,4739	0,11	0,913650
0,37		-0,18906	1,355	4,56184	0,18	6,0496	0,16	0,876905
0,38		-0,20350	1,360	4,67344	0,19	6,6859	0,21	0,841638
0,39		-0,21779	1,365	4,79038	0,20	7,3891	0,26	0,807789
0,40		-0,23195	1,370	4,91306	0,21	8,1662	0,31	0,775301
0,41		-0,24598	1,375	5,04192	0,22	9,0250	0,36	0,744120
0,42		-0,25991	1,380	5,17744	0,23	9,9742	0,41	0,714193
0,43		-0,27371	1,385	5,32016	0,24	11,0232	0,46	0,685470
x = 0,345			x = 1,361		x = 0,155		x = 0,027
x = 0,427			x = 1,384		x = 0,238		x = 0,451

		№ 9		№ 10		№ 11		№ 12
X		У	X	У	X	У	X	У
0,180		5,61543	0,101	1,26183	1,415	0,888551	1,215	0,106044
0,185		5,46693	0,106	1,27644	1,420	0,889599	1,220	0,113276
0,190		5,32634	0,111	1,29122	1,425	0,890637	1,225	0,119671
0,195		5,19304	0,116	1,30617	1,430	0,891667	1,230	0,125324
0,200		5,06649	0,121	1,32130	1,435	0,892687	1,235	0,130328
0,205		4,94619	0,126	1,33660	1,440	0,893698	1,240	0,134776
0,210		4,83170	0,131	1,35207	1,445	0,894700	1,245	0,138759
0,215		4,72261	0,136	1,36773	1,450	0,895693	1,250	0,142367
0,220		4,61855	0,141	1,38357	1,455	0,896677	1,255	0,145688
0,225		4,51919	0,146	1,39959	1,460	0,897653	1,260	0,148809
x = 0,181			x = 0,102		x = 1,416		x = 1,227
x = 0,217			x = 0,151		x = 1,457		x = 1,253

		№ 13		№ 14		№ 15	№ 16
	X	У	X	У	X	У	X	У
	1,5	0,35620	3,5	1,25276	1,234	-6,94647	3	1,211023
	1,7	0,44990	3,6	1,28093	1,244	-7,08945	5	1,816535
	1,9	0,52912	3,7	1,30833	1,254	-7,23617	7	2,170736
	2,1	0,59774	3,8	1,33500	1,264	-7,38678	9	2,422046
	2,3	0,65827	3,9	1,36097	1,274	-7,54145	1	2,616977
	2,5	0,71241	4	1,38629	1,284	-7,70035	1	2,776248
	2,7	0,76139	4,1	1,41098	1,294	-7,86366	1	2,910909
	2,9	0,80610	4,2	1,43508	1,304	-8,03156	1	3,027558
	3,1	0,84724	4,3	1,45861	1,314	-8,20426	1	3,130449
	3,3	0,88532	4,4	1,48160	1,324	-8,38198	2	3,222489
	x = 1,48		x = 3,68		x = 1,246		x = 2,7
	х = 2,87		x = 4,23		x = 1,315		x = 19,5
					46

№ 17		№ 18				№ 19		№ 20
X	Y	X	Y		X	Y	X	Y
0,15	-0,68424	1,90	1,584241	1,47		-0,30788	0,05	-1,0804
0,21	-0,56288	1,95	1,607884	1,48		-0,30111	0,08	-0,9109
0,27	-0,47224	2,00	1,63093	1,49		-0,29437	0,11	-0,7961
0,33	-0,39987	2,05	1,653406	1,5		-0,28768	0,14	-0,7091
0,39	-0-,33961	2,10	1,67534	1,51		-0,28104	0,17	-0,6391
0,45	-0,288	2,15	1,696759	1,52		-0,27444	0,2	-0,5804
0,51	-0,24286	2,20	1,717685	1,53		-0,26788	0,23	-0,5300
,57	-0,20274	2,25	1,73814	1,54		-0,26136	0,26	-0,4858
0,63	-0,16664	2,30	1,758147	1,55		-0,25489	0,29	-0,4464
0,69	-0,13383	2,35	1,777722	1,56		-0,24846	0,32	-0,4109
х = 0,16		х = 1,92			х = 1,475		х = 0,064
х = 0,66		х = 2,33			х = 1,559		х = 0,30

№ 21		№ 22			№ 23			№ 24
X	У	X	У		X	У	X	У
0,007	-1,78961	5,05	0,926241	0,34		-1,07881	0,789	-2,9018
0,008	-1,74145	5,10	0,936093	0,35		-1,04982	0,79	-2,9078
0,009	-1,69896	5,15	0,94585	0,36		-1,02165	0,791	-2,9138
0,010	-1,66096	5,20	0,955511	0,37		-0,99425	0,792	-2,9197
0,011	-1,62659	5,25	0,965081	0,38		-0,96758	0,793	-2,9257
0,012	-1,59521	5,30	0,97456	0,39		-0,94161	0,794	-2,9317
0,013	-1,56634	5,35	0,983949	0,4		-0,91629	0,795	-2,9377
0,014	-1,53961	5,40	0,993252	0,41		-0,8916	0,796	-2,9437
0,015	-1,51472	5,45	1,002468	0,42		-0,8675	0,797	-2,9497
0,016	-1,49145	5,50	1,011601	0,43		-0,84397	0,798	-2,9557
x = 0,0079		х = 5,16			х = 0,387		х = 0,780
х = 0,0151		х = 5,48			х = 0,424		х = 0,793

№ 25		№ 26			№ 27			№ 28
X	У	X	У		X	У	X	У
3,75	42,5211	0,135	7,36235	0,30		0,740818	0,190	5,3263
3,80	44,7012	0,140	7,09613	0,35		0,704688	0,195	5,1930
3,85	46,9931	0,145	6,84815	0,40		0,670320	0,200	5,0664
3,90	49,4024	0,150	6,61659	0,45		0,637628	0,205	4,9461
3,95	51,9354	0,155	6,39986	0,50		0,606531	0,210	4,8317
4,00	54,5982	0,160	6,19658	0,55		0,576950	0,215	4,7226
4,05	57,3975	0,165	6,00551	0,60		0,548812	0,220	4,6185
4,10	60,3403	0,170	5,82558	0,65		0,522046	0,225	4,5191
4,15	63,4340	0,175	5,65583	0,70		0,496585	0,230	4,4242
4,20	66,6863	0,180	5,49543	0,75		0,472236	0,235	4,3333
x = 3,76		x = 0,136			x = 0,32		х = 0,198
x = 4,17		х = 0,172			х = 0,74		х = 0,237
				47

		№ 29	№ 30		№ 31		№ 32
X		У	X	У	X	У	X	У
0,17		5,4739	1,420	0,88959	0,106	1,27644	3,60	36,598
0,18		6,0496	1,425	0,89063	0,111	1,29122	3,65	38,474
0,19		6,6859	1,430	0,89166	0,116	1,30617	3,70	40,447
0,20		7,3891	1,435	0,89268	0,121	1,32130	3,75	42,521
0,21		8,1662	1,440	0,89369	0,126	1,33660	3,80	44,701
0,22		9,0250	1,445	0,89470	0,131	1,35207	3,85	46,993
0,23		9,9742	1,450	0,89569	0,136	1,36773	3,90	49,402
0,24		11,0232	1,455	0,89667	0,141	1,38357	3,95	51,935
0,25		12,1825	1,460	0,89765	0,146	1,39959	4,00	54,598
0,26		13,4637	1,465	0,89861	0,151	1,41579	4,05	57,397
x= 0,174			х = 1,426		х = 0,108		х = 3,62
x= 0,230			х = 1,463		х = 0,1500		х = 4,02

		№ 33	№ 34		№ 35		№ 36
	X	У	X	У	X	У	X	У
	0,125	7,95829	0,25	0,77880	0,47	18,9425	2, 0	0,9093
	0,130	7,64893	0,30	0,74081	0,48	18,1746	2,2	0,8085
	0,135	7,36235	0,35	0,70468	0,49	17,3010	2,4	0,6755
	0,140	7,09613	0,40	0,67032	0,50	16,3123	2,6	0,5155
	0,145	6,84815	0,45	0,63762	0,51	15,1984	2,8	0,3350
	0,150	6,61659	0,50	0,60653	0,52	13,9484	3,0	0,1411
	0,155	6,39986	0,55	0,57695	0,53	12,5508	3,2	-0,0584
	0,160	6,19658	0,60	0,54881	0,54	10,9937	3,4	-0,2555
	0,165	6,00551	0,65	0,52204	0,55	9,2647	3,6-	-0,4425
	0,170	5,82558	0,70	0,49658	0,56	7,3510	3,8	-0,6119
	x = 0,126		х = 0,27		х = 0,465		х = 2,01
	x = 0,167		х = 0,67		х = 0,557		х = 3,71

		№ 37	№ 38		№ 39		№ 40
	X	У	X	У	X	У	X	У
	0,1	0,9093	2,0	-0,4161	6,3	0,0168	0,72	0,486:8
	0,3	0,8085	2,2	-0,5885	6,5	0,2151	0,92	0,3985
	0,5	0,6755	2,4	-0,7374	6,7	0,4048	1,12	0,3269
	0,7	0,5155	2,6	-0,8569	6,9	0,5784	1,32	0,2671
	0,9	0,3350	2,8	-0,9422	7,1	0,7290	1,52	0,2187
	1,1	0,1411	3,0	-0,9900	7,3	0,8504	1,72	0,1791
	1,3	-0,0584	3,2	-0,9983	7,5	0,9380	1,92	0,1466
	1,5	-0,2555	3,4	-1,0245	7,7	0,9882	2,12	0,1200
	1,7	-0,4425	3,6	-1,1489	7,9	0,9989	2,32	0,0983
	1,9	-0,6119	3,8	-1,2051	8,1	1,0152	2,52	0,0805
	х = 0,17		х = 2,1		х = 6,2		х = 0,75
	x = 1,81		x = 3,7		x = 7,6		x = 2,43

					48

№ 41		№ 42		№ 43		№ 44

X	Y	X	Y	X	Y	X	Y
0,45	0,483	0,47	0,5080	0,48	0,5206	0,49	0,5334
0,50	0,5463	0,52	0,5726	0,53	0,5859	0,54	0,5994
0,55	0,6131	0,57	0,6410	0,58	0,6552	0,59	0,6696
0,60	0,6841	0,62	0,7139	0,63	0,7291	0,64	0,7445
0,65	0,7602	0,67	0,7922	0,68	0,8087	0,69	0,8253
0,70	0,8423	0,72	0,8770	0,73	0,3949	0,74	0,9131
0,75	0,9316	0,77	0,9696	0,78	0,9893	0,79	1,0412
0,80	1,0296	0,82	1,0717	0,83	1,0934	0,84	1,1156
0,85	1,1383	0,87	1,1853	0,88	1,2097	0,89	1,2346
0,90	1,2602	0,92	1,3133	0,93	1,3409	0,94	1,3692
х = 0,48		х = 0,48		х = 0,50		х = 0,50
х = 0,87		х = 0,91		х = 0,90		х = 0,93

№ 45		№ 46		№ 47		№ 48
X	У	X	У	X	У	X	У
0,50	0,5463	0,53	0,5859	0,71	2,0340	0,73	2,0751
0,55	0,6131	0,58	0,6552	0,81	2,2479	0,83	2,2033
0,60	0,6841	0,63	0,7291	0,91	2,4843	0,93	2,5345
0,65	0,7602	0,68	0,8087	1,01	2,7456	1,03	2,8011
0,70	0,8423	0,73	0,8949	1,11	3,0344	1,13	3,0 957
0,75	0,9316	0,78	0,9893	1,21	3,3535	1,23	3,4212
0,80	1,0296	0,83	1,0934	1,31	3,7052	1,33	3,7810
0,85	1,1383	0,88	1,2097	1,41	4,0960	1,43	4,1787
0,90	1,2602	0,93	1,3409	1,51	4,5267	1,53	4,6182
0,95	1,3984	0,98	1,4910	1,61	5,0028	1,63	5,1039
х = 0,49		х = 0,51		х = 0,75		х = 0,70
х = 0,92		х = 0,95		х = 1,60		х = 1,64

х = 2,12№ 49		х = 2,0№ 50		х = 1,38№ 51		х = 1,38№ 52
X	У	X	У	X	У	X	У
1,8	2,9422	0,1	0,0998	0,52	0,5438	0,53	0,5558
1,9	3,2682	0,3	0,2955	0,62	0,6605	0,63	0,6725
2,0	3,6269	0,5	0,4794	0,72	0,7638	0,73	0,7966
2,1	4,0219	0,7	0,6442	0,82	0,9150	0,83	0,9286
2,2	4,4571	0,9	0,7833	0,92	1,0554	0,93	1,0700
2,3	4,9370	1,1	0,8912	1,02	1,2063	1,03	1,2220
2,4	5,4662	1,3	0,9636	1,12	1,3693	1,13	3,3863
2,5	6,0502	1,5	0,9975	1,22	1,5460	1,23	1,5645
2,6	6,6947	1,7	1,0321	1,32	1,7381	1,33	1,7583
2,7	7,4063	1,9	1,1623	1,42	1,9477	1,43	1,9697
х = 1,83		х = 0,2		х = 0,59		х = 0,55
				49

	№ 53	№ 54		№ 55		№ 56
X	Y	X	Y	X	Y	X	Y
0,0	1,000	8,2	0,9407	1,3	2,1970	0,75	0,4724
0,2	0,9801	8,4	0,8546	1,4	2,7440	0,95	0,3867
0,4	0,9211	8,6	0,7344	1,5	3,3750	1,15	0,3166
0,6	0,8253	8,8	0,5849	1,6	4,0960	1,35	0,2592
0,8	0,6967	9,0	0,4121	1,7	4,9130	1,55	0,2122
1,0	0,5405	9,2	0,2229	1,8	5,8320	1,75	0,1738
1,2	0,3624	9,4	0,0248	1,9	6,8590	1,95	0,1423
1,4	0,1699	9,6	-0,1743	2,0	8,0000	2,15	0,1165
1,6	-0,0292	9,8	-0,3665	2,1	9,2610	2,35	0,0954
1,8	-0,2272	10,0	-0,5440	2,2	10,6480	2,55	0,0781
х =0,1		х =8,25		х = 1,35		х = 0,78
x = 1,66		x = 9,90		x = 2,14		x = 2,45

	№ 57	№ 58		№ 59		№ 60
X	Y	X	Y	X	Y	X	Y
0,7	2,0138	0,5	0,5211	4,0	-0,7568	0,51	0,53 84
0,8	2,2255	0,6	0,6366	4,2	-0,8716	0,61	0,6485
0,9	2,4596	0,7	0,7586	4,4	-0,9516	0,71	0,7712
1,0	2,7183	0,8	0,8881	4,6	-0,9937	0,81	0,9615
1,1	3,0642	0,9	1,0265	4,8	-0,9962	0,91	1,0409
1,2	3,3201	1,0	1,1752	5,0	-1,0628	1,01	1,1907
1,3	3,6693	1,1	1,3356	5,2	-1,1325	1,11	1,3524
1,4	4,0552	1,2	1,5095	5,4	-1,2672	1,21	1,5276
1,5	4,4817	1,3	1,6984	5,6	-1,3542	1,31	1,7182
1,6	4,9530	1,4	1,9043	5,8	-1,4321	1,41	1,9259
х = 0,75		х = 0,54		х = 4,1		х = 0,52
x = 1,55		x = 1,35		x = 5,7		x = 1,37

	№ 61	№ 62		№ 63		№ 64
X	Y	X	Y	X	Y	X	Y
0,54	0,5666	0,40	0,9211	3,65	38,4747	0,120	8,29329
0,64	0,6846	0,42	0,9131	3,70	40,4473	0,125	7,95829
0,74	0,8094	0,44	0,9047	3,75	42,5211	0,130	7,64893
0,84	0,9423	0,46	0,8960	3,80	44,7012	0,135	7,36235
0,94	1,0847	0,48	0,8870	3,85	46,9931	0,140	7,09613
1,04	1,2379	0,50	0,8776	3,90	49,4024	0,145	6,84815
1,14	1,4035	0,52	0,8678	3,95	51,9354	0,150	6,61659
1,24	1,5851	0,54	0,8577	4,00	54,5982	0,155	6,39986
1,34	1,7786	0,56	0,8473	4,05	57,3975	0,160	6,19658
1,44	1,9919	0,58	0,8365	4,10	60,3403	0,165	6,00551
х = 0,55		х = 0,41		х = 3,655		х = 0,136
x = 1,46		x = 0,57		x = 4,137		x = 0,1637

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20211.57 Mб21688.pdf
#
07.01.20211.57 Mб441689.pdf
#
07.01.2021323.29 Кб1169.pdf
#
07.01.20211.57 Mб31690.pdf
#
07.01.20211.57 Mб61691.pdf
#
07.01.20211.57 Mб61692.pdf
#
07.01.20211.57 Mб41693.pdf
#
07.01.20211.58 Mб71694.pdf
#
07.01.20211.58 Mб01695.pdf
#
07.01.20211.58 Mб121696.pdf
#
07.01.20211.58 Mб121697.pdf