1692

5. Метод Зейделя (метод Гаусса-Зейделя, метод последовательных замещений)

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода простой итерации. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k+1) – е приближения неизвестных x1, х2, ...,

хi-l [2, 5].

В этом методе, как и в методе простой итерации, необходимо привести систему к виду (3), чтобы диагональные коэффициенты были максимальными по модулю, и проверить условия сходимости. Если условия сходимости не выполняются, то нужно произвести элементарные преобразования (см. п. 4). Пусть дана система из трех линейных уравнений. Приведем ее к виду (3). Выберем произвольно начальные приближения корней: х1(0), х2(0), х3(0), стараясь, чтобы они в какой-то мере соответствовали искомым неизвестным. За нулевое

приближение можно принять столбец свободных членов, т.е. х(0) = (т.е. x1(0)= 1, x2(0)= 2, x3(0)= 3). Найдем первое приближение х(1) по формулам:

x1(1) 12x2(0) 13x3(0) 1,x2(1) 21x1(1) 23x3(0) 2,

Следует обратить внимание на особенность метода Зейделя, которая состоит в том, что полученное в первом уравнении значение х1(l) сразу же используется во втором уравнении, а значения х1(1), х2(1) – в

третьем уравнении и т.д. То есть все найденные значения х1(1) подставляются в уравнения для нахождения хi+1(1) [6, 8].

Рабочие формулы для метода Зейделя для системы трех уравнений имеют следующий вид:

Запишем в общем виде для системы n-уравнений рабочие форму-

лы:

11

Заметим, что теорема сходимости для метода простой итерации справедлива и для метода Зейделя.

Зададим определенную точность решения , по достижении которой итерационный процесс завершается, т.е. решение продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие для всех уравнений:

Пример №2. Методом Зейделя решить систему с точностью = 10-3:

Решение.

1. Приведем систему к виду:

x1 1/20,9(21,70 1,2x2 2,1x3 0,9x4),

x2 1/21,2(27,46 1,2x1 1,5x3 2,5x4),

x3 1/19,8(28,76 2,1x1 1,5x2 1,3x4),

x4 1/32,1(49,72 0,9x1 2,5x2 1,3x3).

2. В качестве начального вектора х(0) возьмем элементы столбца свободных членов, округлив их значения до двух знаков после запятой:

3. Проведем итерации методом Зейделя. При k = 1

x1(1) 1/20,9(21,70 1,2 1,30 2,1 1,45 0,9 1,55) 0,7512.

При вычислении х2(1) используем уже полученное значение х1(1) = = 0,7512:

12

x2(1) 1/21,2(27,46 1,2 0,7512 1,5 1,45 2,5 1,55) 0,9674.

При вычислении х3(1) используем значения х1(1) и х2(1):

x3(1) 1/19,8(28,76 2,1 0,7512 1,5 0,9674 1,3 1,55) 1,1977.

Наконец, используя значения х1(1), х2(1), х3(1), получаем:

x4(1) 1/32,1(49,72 0,9 0,7512 2,5 0,9674 1,3 1,1977) 1,4037.

Аналогичным образом ведем вычисления при k=2 и k=3. При k= 2:

x1(2) 16,76062/20,9 0,8019,

x2(2) 21,19202/21,2 0,9996,

x3(2) 23,75180/19,8 1,1996,

x4(2) 44,93981/32,1 1,4000.

При k= 3:

x1(3) 16,72132/20,9 0,80006,

x2(3) 21,200528/21,2 1,00002,

x3(3) 23,759844/19,8 1,19999,

x4(3) 44,939909/32,1 1,40000.

Они меньше заданного числа , поэтому в качестве решения возь-

мем: x1 = 0,80006, x2 = 1,00002, x3 = 1,19999, x4 = 1,40000.

6. Контрольные задания

Решить заданную систему линейных алгебраических уравнений методами простой итерации и Зейделя. Точность решения = 0,001.

13

Контрольные вопросы

1.Что называется решением системы линейных алгебраических уравнений?

2.Какие существуют методы решения систем линейных алгебраических уравнений?

3.В каких случаях целесообразно применять итерационные мето-

ды?

4.К точным или приближенным методам относится метод Краме-

ра?

5.Запишите рабочие формулы метода итераций.

6.Приведите примеры итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений.

7.В чем состоит отличие метода Зейделя от метода простой итера-

ции?

8. Как классифицируются методы решения систем линейных алгебраических уравнений?

9.Каким методом лучше решать систему уравнений невысокого порядка, например третьего?

10.От чего зависит скорость сходимости метода итераций?

11.При каком условии будет сходиться метод простой итерации?

12.Запишите рабочие формулы метода Зейделя для системы 3-х линейных алгебраических уравнений.

13.В чем основное отличие точных и приближенных методов решения систем линейных алгебраических уравнений?

19

Лабораторная работа №2

МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Цель работы: решить нелинейное уравнение с заданной точностью .

Порядок выполнения работы

1.Познакомиться с описанием лабораторной работы.

2.Решить заданный вариант (см. п. 4):

а) отделение корня, б) уточнение значения корня.

3.Составить отчет.

4.Ответить на контрольные вопросы.

5.Защитить лабораторную работу.

1. Постановка задачи

Задача нахождения корней нелинейного уравнения встречается в различных областях научных исследований и актуальна в наши дни. Она часто является элементарным шагом при решении научных и технических задач. Аналитические методы для нахождения корней нелинейных уравнений существуют лишь для отдельных уравнений,

например, ax2 bx c 0. Как правило, для нахождения корней используются приближенные методы. Нелинейные уравнения могут быть двух типов: алгебраические и трансцендентные. Уравнения вида

дентные функции. К ним относят тригонометрические функции sin(x),cos(x), tg(x),ctg(x), экспоненциальную функцию ех, логарифмические функции lg(x),ln(x).

В общем случае нелинейные уравнения с одним неизвестным

20