3.АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

3.1.Элементы дисперсионного анализа

3.1.1. Общие сведения

Дисперсионный анализ является одним из методов изучения влияния одного или нескольких факторов на результат наблюдений (отклик). Если результаты наблюдения зависят от некоторых независимых факторов, то возможно разделить вклады этих факторов, анализируя соотношения между их дисперсиями. Таким образом, общая дисперсия отклика раскладывается на независимые случайные сла-

щественности влияния некоторого фактора на исход эксперимента за-

гаемые, обусловленные действием независимых факторов, и остаточную дисперсию, связанную с ошибками экспериментаИ. Решение о су-

висит от того, насколько значимой являетсяДсоставляющая дисперсии,

обусловленная этим фактором, по сравнению с дисперсией, обусловленной ошибкой эксперимента. В зависимости от количества факторов выделяют однофакторный и многофакторный дисперсионный анализ.

только одного фактора. Для Аподтверждения наличия связи между признаком, положеннымив основу группировки, и результативным

признаком необход мо проверитьбгипотезу о существенности расхождения нескольких средн х величин.

Наиболее простым является случай, когда проверяется действие

Пусть все n наблюден й разбиты на k групп. Вариацию, обу-

словленную влиянием фактора, положенного в основу группировки,

где f j – число единиц в j-й группе; xj – частное среднее по j-й груп-

пе; x0 – общее среднее по совокупности единиц.

Вариацию, обусловленную влиянием прочих факторов, характеризует в каждой группе внутригрупповая дисперсия 2j , ее оценка

33

Если фактор, положенный в основу группировкиИ , не оказывает влияния на вариацию изучаемого признакаД, то дисперсия групповых

средних будет отражать влияние прочих факторов, которые определяют вариацию внутри групп, а поэтому отношение дисперсий будет близко к единице или отличаться от нее в силу присутствия случай-

Если верна нулевая гипотеза (равенство средних в двух выборках), то можно ожидать сравнительно небольшое различие выборочных средних из-за чисто случайной изменчивости. Поэтому при нулевой гипотезе внутригрупповая дисперсия будет практически совпадать с общей дисперсией, подсчитанной без учета групповой принадлежности.

Для проверки значимости результата (т.е. случайности или неслучайности отклонения двух дисперсий) учитывается число степеней свободы. Для расчета межгрупповой дисперсии число степеней свободы равно d.f1 k 1, а для расчета внутригрупповой дисперсии d.f2 n k. Предельный размер отклонений внутригрупповой дисперсии от общей устанавливают по таблицам F-распределения Фише-

34

ра (прил. 5). Числа в таблице Фишера больше 1, поэтому критическая область всегда правосторонняя, и при вычислении экспериментального значения F большую дисперсию делят на меньшую, чтобы получить значение больше 1.

Если F FT , то с заданной вероятностью можно утверждать, что между факторным и результативным признаком существует взаимосвязь.

3.1.2. Пример применения однофакторного дисперсионного анализа

Известны результаты выборочного обследования пробега автомобильных шин нового типа в различных условиях эксплуатации (табл. 3.1). Установить, существует ли зависимость между условиями эксплуатации и величиной пробега шин, гарантируя результат с вероятностью 0,95.

35

Полученные средние величины пробега шин для разных условий эксплуатации отличаются друг от друга. Для того чтобы установить, является ли это различие существенным и вызвано различными условиями эксплуатации, определяется дисперсионное отношение

(3.6).

следовательно, условия эксплуатации оказывают существенное влия-

функциональной связи y f x1,x2,x3... . Связи в общем случае являются достаточноСмногообразными и сложными. Обычно выделяют следующие виды связей: функциональную и статистическую.

Если с изменением значения одной из переменных вторая изменяется строго определенным образом, т.е. значению одной переменной обязательно соответствует одно или несколько точно заданных значений другой переменной, связь между ними является функцио-

нальной.

Если с изменением значения одной из переменных вторая может в определенных пределах принимать любые значения с некоторыми вероятностями, но ее среднее значение или иные статистические характеристики изменяются по определенному закону, связь является

статистической.

Корреляционной связью называют частный случай статистической связи, состоящий в том, что разным значениям одной переменной соответствуют различные средние значения другой. С изменением значения признака x закономерным образом изменяется сред-

36

нее значение признака y; в то время как в каждом отдельном случае значение признака y (с различными вероятностями) может принимать множество значений.

Причинами возникновения корреляционной связи между признаками могут быть:

зависимость результативного признака (отклика) или его вариации от вариации факторного признака;

связь между двумя следствиями общей причины;

взаимосвязь признаков, каждый из которых и причина и следствие.

По характеру корреляционные связи могут быть прямолинейными и криволинейными. Прямолинейной называется такая корреляционная связь, когда равным изменениям однойИпеременной соответствуют равные изменения другой переменной (рис. 3.1, а, б). В случае

криволинейной корреляции равным изменениям одной переменной могут соответствовать любые измененияДдругой переменной (рис. 3.1, в). На рис. 3.1, г представлен случай, когда между переменными отсутствует связь (нет корреляции). Аб

уравнение связи линейное, то получаем линейную многомерную регрессию, уравнение которой имеет вид

j 1

где b0,b1,bk – коэффициенты уравнения.

В общем случае виды функциональных зависимостей в технике

достаточно многообразны: показательные ~y b0xb1 , логарифмические

~y b0 lg x и т.д.

37

Задача выбора функциональной зависимости неформализуемая, т.к. одна и та же кривая на данном участке примерно с одинаковой точностью может быть описана самыми различными аналитическими выражениями. Принятие решения о выборе той или иной математической модели остаётся за исследователем. Желательно при обработке результатов эксперимента вид функции ~y f x1,x2,x3... выбирать, исходя из условия соответствия физической природе изучаемых явлений или представлений об особенностях поведения исследуемой ве-

Существует два основных подхода к нахождению bj.

Первый подход – интерполирование. Базируется на удовлетворении условию, чтобы функция ~y f X,b совпадала с экспериментальными значениями в некоторых точках, выбранных в качестве опорных. В этом случае для определения к+1 неизвестных значений параметров bj используется система уравнений

Число независимых уравнений системы равно числу опорных точек, в пределе – n поставленных опытов. С другой стороны, для определения к+1 коэффициентов требуется к+1 независимых уравнений. В предельном случае, когда число коэффициентов уравнения равно числу экспериментальных точек n=k+1, все экспериментальные точки будут совпадать с их расчётными значениями. Добиваться такого

38