Средняя квадратическая ошибка коэффициента корреляции

утверждать существенность коэффициента корреляции.

Определение модели линейной связи. Проверяем возможность использования линейной функции.

y0 367,920 18,4 млн руб.; S2y 3,32 млн руб.2; Sy2 4,26 млн руб.2;

Полученное отношение меньше 10 %, поэтому полученная модель достаточно хорошо отображает взаимосвязь двух признаков и может быть использована в практической работе.

3.8. Линейная множественная регрессия

При изучении множественной регрессии не существует графической интерпретации многофакторного пространства. При проведении экспериментов в такой ситуации исследователь записывает показания приборов о состоянии функции отклика у и всех факторов xi, от

50

которых она зависит. Результат исследований – это матрица наблюдений.

где n – число опытов; k – число факторов; xij – значение j-го фактора в i-м опыте; yi – значение выходного параметра для i-го опыта.

Задача линейной множественной регрессии состоит в построении гиперплоскости в (k+1)-мерном пространстве, отклонения результатов наблюдений yi от которой были бы минимальными при ис-

Процедура определения коэффициентов не отличается от одномерного случая. Для оценки тесноты связи между функцией отклика

циент множественной корреляции R, который всегда положителен и изменяется в Спределах от 0 до 1. Чем больше R, тем качественнее предсказания данной моделью опытных данных с точки зрения близости ее к функциональной.

Расчёты обычно начинают с вычисления парных коэффициентов корреляции:

1) ryxj – коэффициенты, определяющие тесноту связи между функцией отклика ~y и одним из факторов xj ;

2) rxjxu – коэффициенты, показывающие тесноту связи между одним из факторов x j и фактором xu.

Если один из коэффициентов rxjxu окажется равным 1, то это означает, что факторы xj и xu функционально связаны между собой.

Тогда целесообразно один из них исключить из рассмотрения, причём оставляют тот фактор, у которого коэффициент ryxj больше.

51

После вычисления всех парных коэффициентов корреляции можно построить матрицу коэффициентов следующего вида:

Однако парные коэффициенты корреляции не характеризуют

лее случайных величин может не дать правильногоИпредставления о степени связи между всеми случайными величинами. Это объясняется тем, что на закон распределения вероятностей исследуемой пары случайных величин могут оказывать влияние и другие рассматриваемые случайные величины.

тесноту связи, так как они вычисляются при случайно изменяющихся

значениях других факторов. Действительно, рассмотрение трёх и бо-

ного из факторов xj на функцию отклика ~y при условии, что осталь-

ные факторы остаются на постоянном уровне.

где D1j – определительСматрицы, образованной из матрицы (3.29) вы-

Формула для выч слен я частных коэффициентов корреляции

чёркиванием 1-й строки и j-го столбца. Определители D11 и Djj вы-

числяют аналогично. Как и парные коэффициенты, частные коэффициенты корреляции изменяются от -1 до +1.

Значимость и доверительный интервал для коэффициентов частой корреляции определяются так же, как для коэффициентов парной корреляции, только число степеней свободы вычисляют по формуле

где (k-1) – порядок частного коэффициента парной корреляции.

Для вычисления коэффициента множественной корреляции используют матрицу (3.29)

52

где D – определитель матрицы (3.29).

Если число опытов n сравнимо с числом коэффициентов l=k+1, связи оказываются преувеличенными. Поэтому следует исключить систематическую погрешность, физический смысл которой состоит в следующем. Если разность n и l будет уменьшаться, то коэффициент множественной корреляции R будет возрастать и при n-l=0 окажется равным R=1, а уравнение регрессии превратится в функциональное уравнение гиперплоскости, которая пройдёт через все n экспериментальных точек.

Значимость коэффициента множественной корреляции проверяется по критерию Стьюдента

связь, то возможнымиипрбч нами такого явления могут быть следующие:

1) ряд существенных факторов не учтён, и следует включить в рассмотрение дополнительно эти существенные входные параметры; 2) линейное уравнение плохо аппроксимирует в действительности нелинейную зависимость y f x1,....,xk , и следует определить

коэффициенты уже нелинейного уравнения регрессии методами регрессионного анализа;

3) рабочий диапазон рассматриваемых факторов находится в районе экстремума функции отклика – в этом случае следует расширить диапазон изменения входных переменных, а также перейти к нелинейной математической модели объекта.

53