как разность между числом экспериментальных точек n и числом связей, ограничивающих свободу изменения случайной величины.

Так, при вычислении выборочно дисперсии по формуле (2.3) наблюдается одна связь, определяемая уровнем выборочного среднего, поэтому число степеней свободы выборочной дисперсии d.f n 1, а для дисперсии, найденной из соотношения (2.2), число степеней свободы равно числу испытаний, так как m1 определено независимым способом.

2.2. Статистические гипотезы

Статистической гипотезой H называется предположение о свойстве генеральной совокупности, которое можно проверить, опираясь на данные выборки. Гипотезы о параметрах генеральной совокупности называются параметрическими, о распределениях – непараметрическими.

Любая гипотеза формулируется до опыта и проверяется на ос-

сказывается в форме, отрицающей наличие каких-либо видимых отличий, поэтому гипотезабH0 называется нулевой. Одновременно формулируется альтернативная гипотеза H1.

Проверка гипотезыиосуществляется на основе выявления согласованности эмпир ческ х (экспериментальных) данных с гипотетическими (теоретическСми). Если расхождение между сравниваемыми величинами не выход т за пределы случайных ошибок, гипотезу принимают. При этом не делается никаких заключений о правильности самой гипотезы, речь идет лишь о согласованности сравниваемых данных. Нулевая гипотеза отвергается тогда, когда по выборке получается результат, который при истинности выдвинутой нулевой гипотезы маловероятен. Границей невозможного или маловероятного обычно считают 0,05, или 0,01, или 0,001 и называют уровнем значимости.

Процедура проверки гипотезы производится при помощи статистического критерия – правила, определяющего условия, при котором проверяемую нулевую гипотезу следует либо принять, либо отклонить. Критерий представляет собой случайную функцию результатов наблюдения с известным законом распределения (t-, F-, 2- критерий). В соответствии с характером распределения одни значения

20

критерия являются более вероятными, другие – менее. Таким образом, область возможных значений делится на две части. Одна называется областью принятия гипотезы, другая (где гипотеза должна быть отвергнута) – критической областью. Чтобы проверить гипотезу, необходимо вычислить критерий и посмотреть, в какую область попадает вычисленное значение.

Проверка статистических гипотез складывается из следующих этапов:

первого рода равна уровню значимости . Вероятность не совершить ошибку второго рода 1 называют мощностью критерия. Обычно задают и пытаются сделать возможно малым.

21

2.3. Определение необходимого количества опытов при построении интервальной оценки

для математического ожидания

Увеличение количества измерений даже при неизменной их точности ( const) может увеличить доверительную вероятность Р или сузить доверительный интервал для определения действительного значения измеряемой величины (математического ожидания).

Необходимое количество измерений n для достижения требуемой точности при заданной доверительной вероятности Р можно определить заранее в том случае, когда известно действительное значение среднеквадратического отклонения (СКО) , а экспериментальные данные подчиняются нормальному закону распределения.

Действительно, при этих допущениях число измерений можно

где t – критерий для нормального законаДраспределения вероятностей. Таким образом, число измерений n определяется требуемой до-

определить

(по отношению к среднеквадратичномуАотклонению) значением половины ширины довер тельного интервала , т.е. требуемой точно-

верительной вероятностью (уровнем значимости) и относительным

сужении доверительногоС интервала до величины /2, необходи-

мое число измерений составит n =16. Нетрудно заметить, что необходимое число измерений с увеличением точности возрастает в квадратичной зависимости.

Как правило, действительное значение среднеквадратической ошибки неизвестно, а имеется только её оценка Sx . Тогда

где t-критерий Стьюдента.

Значение критерия Стьюдента зависит не только от выбранного уровня значимости , но и от числа степеней свободы d.f, которое

22

определяется числом измерений. В связи с этим последнее уравнение следует решать методом последовательных приближений. В качестве начального приближения можно задать, в частности, число измерений, рассчитанных по формуле для нормального закона распределения. Далее решая уравнения методом последовательных приближений при 0,05, Sx , для определения доверительного интервала требуется 7 измерений, при 0,5Sx n = 19. С повышением необходимой точности различие в числе измерений, рассчитанных при нормальном законе распределения и распределении Стьюдента, уменьшается и при 0,2Sx практически совпадает.

Необходимое количество измерений при построении доверительного интервала для математического ожидания приведено в табл. 2.2. В скобках приведены данные для нормального закона распределения.

Даже тщательно поставленные эксперименты могут давать неоднородные данные, поскольку в процессе эксперимента могут измениться условия проведения опытов. Если в полученной группе результатов наблюдений одно или два существенно отличаются от остальных, а наличия ошибки в снятии показаний, описки и других промахов не обнаружено, то необходимо проверить, не являются ли они грубыми погрешностями, подлежащими исключению. Решение этой задачи выполняется общими методами проверки статистических гипотез в предположении нормального распределения результатов наблюдений. Проверяемая гипотеза состоит в утверждении, что результат i-го наблюдения xi не содержит грубой погрешности, т.е. яв-

ляется одним из значений измеряемой величины. Пользуясь опреде-

23

ленными статистическими критериями, пытаются опровергнуть выдвинутую гипотезу. Если это удается, то результат наблюдения рассматривают как грубую погрешность и его исключают.

Критерий оценки анормальности результатов наблюдений при неизвестном СКО (критерий Н.В. Смирнова). При исключении по этому критерию грубых погрешностей из результатов наблюдений проводят следующие операции:

результаты группы из n наблюдений упорядочивают по возрастанию x1 x2 ... xn . Выделяют предполагаемые промахи, обычно ими могут оказаться результаты x1 и xn;

вычисляют оценки математического ожидания x и СКО S . Значения x и S вычисляют без учета экстремальных значений xi ;

для предполагаемых промахов проводятИрасчет коэффициен-

тов -(2.9)Д

ключают из результатов наблюдений. Процедуру проверки повторяют для x2, xn 1 и т.д., пока все промахи не будут исключены из выборки.

Критерий «трех сигм». Данный критерий применяется для результатов измерений, распределенных по нормальному закону, одним из граничных параметров служит оценка СКО измерений S . По этому критерию считается, что результат, полученный с вероятностью0,003, маловероятен, и его можно считать промахом, если xi x 3S . Данный критерий достаточно хорошо работает при числе

измерений n 20...50.

24