fj |
|
n i |
p tj . |
(2.22) |
|
||||
|
|
S |
|
|
При расчете критерия Пирсона необходимо соблюдать условия:
число наблюдений должно быть достаточно велико n 50 ;
теоретические частоты в интервале должны быть больше 5. Если теоретические частоты в некоторых интервалах меньше 5, то соседние интервалы объединяют.
Критическое значение Т2 определяется по таблице распределения Пирсона (прил. 2) в соответствии с числом степеней свободыd.f и уровнем значимости . Число степеней свободы рассчитывается
так: если эмпирический ряд распределения имеет k |
категорий (число |
|||
интервалов |
с учетом |
объединения), |
то k эмпирических частот |
|
f1*, f2*, , fk* |
должны |
быть связаны |
И |
соотношением: |
следующим |
||||
k |
|
fj* n. Если параметры теоретического распределения известны, то |
|
j 1 |
Д |
|
|
только (k 1) частот могут принимать произвольные значения, а последняя частота может быть найдена из указанного соотношения. Поэтому говорят, что система из k частот благодаря наличию одной связи теряет одну степень свободы и имеет только (k 1) степеней свободы. Кроме того, если при нахождении теоретических частот p па-
раметров теоретического распределения неизвестны, то они должны |
|||||
|
|
А |
|
||
быть найдены по данным эмпирического ряда. Это накладывает на |
|||||
эмпирические частоты еще |
p связей, благодаря чему система теряет |
||||
|
б |
|
|
||
еще p степеней свободы. Так м образом, число свободно варьируе- |
|||||
мых частот (а значити, и число степеней свободы) становится равным |
|||||
С |
d.f |
k p 1 . |
(2.23) |
||
|
|||||
Если 2 2 , то гипотеза H |
0 |
о нормальном законе распределе- |
|||
T |
|
|
|
|
|
ния эмпирических данных принимается.
2.7.2.Пример проверки гипотезы о нормальном законе распределения экспериментальных данных
Втабл. 2.3 приведены данные о затратах времени на производство единицы продукции. Установить, можно ли с вероятностью P 0,95 считать закон распределения экспериментальных данных
нормальным.
29
Таблица 2.3
Затраты времени на производство единицы продукции
Номер |
|
|
|
Операционное время, мин |
|
|
|
|||
изделия |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1-10 |
9 |
9 |
11 |
9 |
9 |
11 |
9 |
7 |
9 |
6 |
11-20 |
9 |
6 |
9 |
11 |
9 |
7 |
9 |
7 |
10 |
7 |
21-30 |
9 |
10 |
6 |
10 |
8 |
6 |
9 |
8 |
8 |
8 |
31-40 |
8 |
7 |
8 |
7 |
9 |
8 |
9 |
11 |
9 |
9 |
41-50 |
8 |
10 |
9 |
8 |
10 |
8 |
8 |
9 |
11 |
9 |
Основная гипотеза H0: результаты наблюдений подчиняются нормальному закону распределения.
Определим числовые оценки параметров нормального распределения x, S . Обобщим данные в виде вариационного ряда (табл.
2.4).
Число интервалов m 1 3,32lgnД1 3,32lg50И6.
Размах R xmax xmin 11 6 5 (мин).
Величина интервала i R
m 5
6 0,8 мин. Примем i 1 мин. Среднее значение определяем по формуле (2.17): x 8,6 мин. Оценку СКО вычисляем по формуле (2.18): S 1,3 мин.
|
Ряд эмп |
|
А |
|
|
Таблица 2.4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
р ческого распределения |
|
|
|
||||||
|
|
б |
|
|
|
|
|
|||
Интервал |
5,5 – |
|
6,5 – |
|
|
7,5 – |
8,5 – |
9,5 – |
|
10,5 – |
группировки |
6,5 |
|
7,5 |
|
|
8,5 |
9,5 |
10,5 |
|
11,5 |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
||
Середина |
6 |
|
7 |
|
|
8 |
9 |
10 |
|
11 |
интервала xj |
|
|
|
|
||||||
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частота f j* |
4 |
|
6 |
|
|
11 |
19 |
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определяем теоретические частоты распределения (табл. 2.5) по
формуле (2.22): |
n i |
|
50 1 |
|
38,5; |
tj |
|
xj 8,6 |
; |
f j 38,5 ptj ; величи- |
S |
1,3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1,3 |
|
|
|||
ну ptj определяем по прил. 1.
Так как для использования критерия Пирсона теоретическая частота должна быть больше 5, объединяем первый и второй, пятый и шестой интервалы (табл. 2.6).
30
Таблица 2.5
Вспомогательная таблица для расчета теоретических частот нормального распределения
Интервал |
|
|
5,5 – |
|
|
|
6,5 – |
|
|
7,5 – |
|
|
8,5 – |
|
|
9,5 – |
|
10,5 – |
||||
группировки |
|
6,5 |
|
|
|
7,5 |
|
|
8,5 |
|
|
9,5 |
|
|
10,5 |
|
|
11,5 |
||||
Середина |
|
|
6 |
|
|
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
|
10 |
|
|
11 |
|
интервала xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Нормированное |
|
-2,00 |
|
|
|
-1,23 |
|
|
-0,46 |
|
|
0,31 |
|
|
1,08 |
|
|
1,85 |
||||
отклонение tj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
p tj |
|
|
0,0540 |
|
|
|
0,1874 |
|
0,3588 |
|
|
0,3802 |
|
|
0,2227 |
|
|
0,0721 |
||||
Частота |
теоре- |
|
2,08 |
|
|
|
7,21 |
|
|
13,81 |
|
|
14,64 |
|
|
8,57 |
|
|
2,78 |
|||
тическая |
f j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Частота |
эмпи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|||
рическая |
f j* |
|
4 |
|
|
|
|
6 |
|
|
11 |
|
|
19 |
|
|
5 |
|
|
5 |
||
|
Вариационный ряд с учетом объединения интервалов |
Таблица 2.6 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интервал группировки |
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
8,5 – 9,5 |
|
9,5 – 11,5 |
|||||||||
|
|
|
|
5,5 – 7,5 |
|
7,5 – 8,5 |
|
|
||||||||||||||
Частота теоретическая |
f j |
|
|
б |
|
Д13,81 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
9,29 |
|
|
|
14,64 |
|
11,35 |
|||||||||||||
Частота эмпирическая |
f j* |
|
|
10 |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
19 |
|
10 |
|||||||
|
|
С |
|
|
тер й (2.19): 2 |
2,08. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Рассчитываем |
2 |
-кр |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Определяем ч сло степеней свободы по формуле (2.23): k 4 – |
||||||||||||||||||||||
число интервалов, оставшихсяи |
после объединения; p 2, т.к. среднее |
|||||||||||||||||||||
значение и |
|
КО |
найдены |
по |
|
данным эмпирического ряда; |
||||||||||||||||
d.f = 4–(1+2)=1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Табличное значение критерия для d.f |
1 и уровня значимости |
|||||||||||||||||||||
0,05; Т2 3,841. 2 T2 . Следовательно, гипотеза о нормальном законе распределения эмпирических данных принимается.
Вопросы и задания для самоподготовки
1.Что называют функцией и плотностью распределения случайной величины?
2.Дайте определение математического ожидания и дисперсии случайной величины.
31
3.Основные законы распределения случайной величины, применяемые при планировании эксперимента. Числовые характеристики этих законов.
4.Дайте определения генеральной совокупности, выборки.
5.Характеристики точечной оценки и критерии ее качества.
6.Интервальная оценка и доверительный интервал.
7.Что называют статистической гипотезой? Параметрические и непараметрические гипотезы.
8.Почему основную гипотезу называют нулевой?
9.Что называют уровнем значимости и областью принятия ги-
потезы?
10.Дайте определение статистического критерия. Что называют мощностью критерия?
11.Перечислите этапы проверки гипотезыИ.
12.Что относят к ошибкам первого и второго рода и какова вероятность их совершить? Д
13.Задача, решаемая при проверке гипотезы о законе распреде-
ления.
14.Роль критерия ПирсонаАпри проверке гипотезы о законе распределения.
15.Какие статистическиебкритерии применяются при проверке параметрических гипотез?
16.Основные гипотезы о вы орочных средних, порядок их про-
верки.
17.ВыявленСе грубых погрешностей с использованием параметрических гипотез.
32