2.5. Сравнение двух рядов наблюдений
При анализе результатов экспериментальных исследований часто приходится сравнивать две партии изделий, показания двух или нескольких приборов, анализировать результаты работы однотипных агрегатов, сравнивать результаты исследований двух проб материалов и т.д. Решение подобных задач осуществляется также с использованием аппарата проверки статистических гипотез.
Гипотеза о равенстве средних выдвигается, когда необходимо определить, существенно ли расхождение между двумя выборочными средними. Для проверки этой гипотезы определяют среднюю (стандартную) случайную ошибку разности двух выборочных средних S . Для двух независимых выборок она определяется по формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 |
|
|
S2 |
|
|
|||
|
|
S |
|
|
1 |
|
2 |
, |
|
(2.10) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
n2 |
|
|
|||
где S2 |
и S2 |
– выборочные дисперсии соответственно в первой и вто- |
||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
рой выборках. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Фактическое значение критерия |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
1 |
x |
2 |
|
Д |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
(2.11) |
|||||||
|
|
|
S |
. |
|
|
|
|||||||||
Критическое значение t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
определяют по таблице распределения |
|||||||||||||||
|
|
T |
А |
|
|
|||||||||||
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Стьюдента для заданного уровня значимости и числа степеней свободы d.f n1 nС2 2. Если t tT , нулевая гипотеза принимается. Следовательно, можно считать, что математические ожидания в двух подгруппах одинаковы, эти подгруппы можно объединить в одну группу и характеризовать последнюю общим средним.
2.6. Сравнение двух дисперсий
При выполнении измерений в различных условиях часто возникает задача сравнения степени разброса (дисперсий) исследуемых параметров (случайных величин).
Проверка гипотезы о равенстве дисперсий имеет большое значение, так как измеряемая дисперсией величина рассеяния характеризует такие важные показатели, как точность машин, приборов, стабильность технологических процессов, качество готовой продукции и т.д. Поэтому, например, о преимуществах той или иной технологии
25
или о качестве выпускаемой продукции вывод можно сделать в результате сравнения дисперсий тех параметров, которые их характеризуют.
Таким образом, требуется установить, являются ли выборочные дисперсии S12 S22 со степенями свободы d.f1 и d.f2 значимо отличающимися или же они характеризуют выборки, взятые из одной и той же генеральной совокупности или из генеральных совокупностей с равными дисперсиями 12 22 2 . В этом случае нулевая гипо-
теза формулируется в виде Н0: 12 22 2 , т.е. при заданном уровне значимости между двумя генеральными дисперсиями нет различия.
Для проверки этой гипотезы используется критерий, основанный на распределении Фишера, зависящий только от числа степеней свободы d.f1 и d.f2. Аналитическое выражение критерия Фишера имеет
вид |
2 S |
|
|
|
S2 |
S2 |
2 2 . |
|
||||||||
F S2 |
2 |
2 |
(2.12) |
|||||||||||||
1 |
|
1 |
2 |
2 |
|
|
1 |
2 |
2 |
|
1 |
|
||||
Плотность распределения |
вероятностей |
р(F) |
представлена на |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
||||
рис. 2.2.Значения F всегда больше единицыИ. |
|
|
||||||||||||||
p F |
|
|
б |
10,Д |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
и |
|
|
10,50 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
10,10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,6 |
|
|
|
|
|
|
10,4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
С0 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
3 |
4 |
|
F |
|
||||||||
Рис. 2.2. F-распределение для различных d. f1 и d. f2 |
||||||||||||||||
Поскольку по условию основной гипотезы 12 |
22 |
2 , то вы- |
||||||||||||||
ражение для F-критерия имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
F S2 |
S2 |
, |
|
|
|
|
(2.13) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где S12 S22 .
При проверке расчётное значение сравнивают с табличным, если F FТ , то нулевая гипотеза принимается.
26
Следовательно, по двум выборочным дисперсиям можно найти оценку общей генеральной дисперсии
S2 |
|
n 1 S2 |
n |
2 |
1 S2 |
|
||
|
1 |
1 |
|
2 |
. |
(2.14) |
||
|
|
|
|
|
||||
n1 n2 2
2.7. Проверка гипотезы о законе распределения
2.7.1. Общие сведения
Гипотезы о распределениях заключаются в том, что выдвигается предположение о том, что распределение в генеральной совокупности подчиняется какому-то определенному закону. При планировании эксперимента важно, чтобы наблюдаемые значения физических величин подчинялись нормальному закону распределения. Поэтому нулевая гипотеза H0: результаты наблюдений подчиняются нормальному
закону распределения; альтернативная H1: результаты наблюдений
не подчиняются нормальному закону распределения. |
|
|||
|
|
|
И |
|
В качестве статистических характеристик гипотезы о законе |
||||
распределения принимаются оценки параметров распределения. |
|
|||
Если число наблюдений |
|
Д |
|
|
n 20, строится интервальный вариа- |
||||
|
б |
|
|
|
ционный ряд. При его построении в первой графе отдельные значения |
||||
|
и |
|
|
|
признака указываются в нтервалахА«от – до», во второй графе – чис- |
||||
ленность единиц, входящ х в |
нтервал. Величина интервала опреде- |
|||
ляется по формуле |
|
i R m, |
(2.15) |
|
|
|
|||
где R –размах варьирования |
признака, R xmax xmin ; m – |
число |
||
групп, которое приближенно определяется по формуле Стерджесса |
|
С m 1 3,32lgn. |
(2.16) |
Полученную по этой формуле величину округляют до целого большего числа. Нижнюю границу первого интервала определяют, вычитая из xmin половину последнего разряда.
Оценка математического ожидания в этом случае вычисляется по формуле
m |
* |
xj fj |
x |
|
j 1 |
|
, |
(2.17) |
m |
* |
||||
|
|
fj |
|
|
j
27
где xj – середина интервала; |
fj* – частота попадания результатов на- |
|||||||
блюдения xi в заданный интервал; j – номер интервала. |
|
|||||||
Оценка СКО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
xj |
x |
2 f j* |
|
|||
S |
|
j 1 |
|
|
. |
(2.18) |
||
|
|
m |
* |
|||||
|
|
|
f j |
|
|
|
||
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
Выбирается приемлемый уровень значимости, обычно 0,05. Проверка гипотезы состоит в том, чтобы на основании сравнения эмпирических (фактических) частот с предполагаемыми (теоретическими) сделать вывод о соответствии эмпирического распределения гипотетическому. Для проверки близости теоретического и эмпирического распределений используются специальные показатели, называемые критериями согласия. Наиболее распространенным является
|
j |
|
|
|
Дj |
|
|
критерий Пирсона 2, вычисляемый по формуле |
|
||||||
|
|
2 |
|
fj* |
fj 2 |
И, |
(2.19) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
А |
|
|||
|
|
|
j |
fj |
|
||
где |
|
б |
|
|
|
||
f * – эмпирические частоты в интервале; f – теоретические час- |
|||||||
тоты в интервале.
ли расхождение несущественнои , то 2 должно быть малым. Теоретическая частота в данной группе вычисляется как произ-
Если все эмпирические частоты равны соответствующим теоре-
тическим частотам, то 2 |
равно нулю. Очевидно, что чем больше от- |
С |
теоретические частоты, тем 2 больше; ес- |
личаются эмпирическ е |
ведение объема совокупности (числа наблюдений) на вероятность попадания в данный интервал. Теоретические частоты нормального распределения определяются по формуле
fj |
|
n i |
exp t2j |
2 , |
(2.20) |
||||||||
S |
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
где tj – нормированное отклонение |
|
|
|||||||||||
|
tj |
|
xj |
x |
. |
|
(2.21) |
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|||
Величина p t |
|
|
|
1 |
exp t2 |
/2 – табличное |
значение |
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
||||||||||||
(прил. 1), поэтому формулу (2.20) можно переписать в виде
28