ния моделируемым объектом с целью поиска оптимальных условий, а такжеанализироватьипроектировать системы.

В зависимости от источника информации, используемого при построении математической модели, различают физические (аналитические)истатистические(эмпирические)модели.

Физические модели представляют в виде сложных систем уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных или диффе- ренциально-интегральных), позволяющих очень точно описать процессы, протекающие в объекте, и допускающих экстраполяцию в точки факторного пространства, в которых невозможно непосредственное наблюдениеэтихпроцессов.

Статистические модели получают в результате статистической

обработки экспериментальной информации, собранной об исследуемом

эксперименты. Во многих случаях построениеИтаких моделей можно выполнитьприсравнительнонебольшихзатратахвремениисредств.

объекте. Эти модели имеют относительно простую структуру и часто

представляются в виде полиномов. Область их применения ограничива-

ется ближайшей окрестностью рабочих точек, в которых проводятся

Принято также различать стационарные и динамические модели.

гут быть измерены, называют факторами. Так, например, при исследовании измерительного преобразователя с целью получения его математической модели в качестве факторов могут выступать измеряемая величина, температура окружающей среды, напряжение питания и т.п. Очевидно, что при планировании активного эксперимента факторы должны быть управляемыми и независимыми.

Каждый фактор имеет область определения, которая должна быть установлена до проведения эксперимента. Она может быть непрерывной или дискретной, причем при непрерывной области обычно производят ее искусственную дискретизацию. Cчитают, что каждый из параметров можетизменятьсяв некоторыхпределах:

7

zgH zg zgB g 1,2, ,h .

Выход хотя бы одного параметра за эти пределы приводит к нарушению нормальной работы устройства (или нормального протекания процесса). Задача исследователя заключается в том, чтобы при фиксированных параметрах zg const и uj const выбрать такие значения

xi var (такую рабочую точку в области работоспособности), при которых выходной (или оптимизируемый) параметр объекта y достигает оптимальной величины. Другими словами, необходимо оптимизировать функцию y f xi var; uj const; zg const в области определения xi .

Фактор считается заданным, если вместе с его названием указывается область его определения. Под областью определения понимается совокупность всех значений, которые может принимать данный фактор. Область определения может быть непрерывной и дискретной. При планировании эксперимента значения факторов принимаются дискретными. В практических задачах области определения факторов имеют ограничения, которые носят либо принципиальный, либо тех-

ность придавать фактору любой уровень в области его определения и поддерживать этот уровень постоянным в течение всего опыта;

При планировании эксперимента обычно одновременно изменяются несколько факторов. Поэтому существуют требования, предъявляемые к совокупности факторов:

совместность. Каждый фактор может быть установлен на любом уровне вне зависимости от значений уровней других факторов;

независимость. Отсутствие корреляции между факторами (т.е. связь между факторами не должна быть линейной);

точность. Степень точности определяется диапазоном изменения факторов.

8

При выборе области определения необходимо учитывать следующие ограничения:

o принципиальные ограничения для значений факторов, которые не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах (например, минимальное температурное значение – абсолютный ноль);

o технико-экономические ограничения (например, стоимость сырья);

o ограничения, определяемые конкретными условиями проведения процесса (например, возможности средств измерения).

Процедура выбора области эксперимента включает два этапа:

выбор основного (нулевого) уровня;

выбор интервала варьирования.

Выбранные для эксперимента количественные или качествен-

нию с его состоянием в нулевой точке. ЕслиИпроведению эксперимента предшествовали другие исследования в этой же области, то за ну-

ные состояния фактора называются уровнями фактора.

В качестве нулевой точки выбирают такое состояние объекта

левую принимается точка, в которойДпараметр оптимизации имеет наилучшее значение, установленное в результате формализации ап-

исследований, которое принимается за исходное при поиске оптиму-

ма. Оптимизация связана с улучшением состояния объекта по сравне-

риорной информации. В этомАслучае нулевыми уровнями факторов являются те значен я, сочетан я которых соответствуют координатам

число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание – нижний уровни факторов. Другими словами, интервал варьирования – это расстояние на координатной оси между основным (нулевым) и верхним уровнями или между основным и нижним уровнями.

На выбор интервала варьирования накладываются ограничения:

снизу он не может быть меньше ошибки фиксирования уровня фактора;

сверху верхний или нижний уровень не должен выходить за область определения.

Кроме того, чрезмерное увеличение величины интервалов варьирования нежелательно, т.к. это может привести к снижению эффективности поиска оптимума. Очень малый интервал варьирования уменьшает область эксперимента, что замедляет поиск оптимума.

9

При выборе интервала варьирования целесообразно учитывать, если это возможно, число уровней варьирования факторов в области эксперимента. От числа уровней зависят объем эксперимента и эффективность оптимизации.

Зависимость числа опытов от числа уровней факторов имеет вид

N pk , (1.3)

где N – число опытов; p – число уровней факторов; k – число факторов.

Пространство, в котором строится поверхность отклика, называется факторным пространством. Оно задается координатными осями, по которым откладываются значения факторов и параметров оптимизации.

Каждую конкретную комбинацию факторов можно рассматривать как точку в многомерном факторном пространстве. Область возможных комбинаций факторов, построенную в многомерном фактор-

10