4.3. Дробный факторный эксперимент

В случае двухуровневого k-факторного эксперимента на основе опытов в N точках факторного пространства можно найти N 2k коэффициентов уравнения регрессии. Если число факторов k 4, эффекты взаимодействия высокого порядка становятся статистически незначимыми, т.е. влияние сомножителей X1X2 Xk на отклик y взаимно компенсируется. Практика эксперимента позволяет априорно считать, что в уравнении регрессии с большим числом факторов коэффициенты высоких порядков взаимодействия равны нулю. Следовательно, при большом числе факторов можно строить такие планы эксперимента, которые позволяют определять линейные эффекты факторов, эффекты их парных и иногда тройных взаимодействий. Уменьшение количества определяемых коэффициентов регрессии позволяет сократить затраты времени и средств на проведение эксперимента и обработку его данных. Количество опытных точек в таких экспериментах должно быть чуть больше или равно количеству под-

ДФЭ называют также дробными репликами полного факторного

ется ПФЭ 22 , на основе которого можно построить уравнение регрес-

сии ~y b0X0 b1X1 b2X2 b12X1X2 .

Если взаимодействие факторов X1X2 статистически незначимо,

то нет необходимости определять коэффициент b12 и в матрице ПФЭ

22 столбец произведения X1X2 окажется лишним. Этот столбец ис-

пользуют для построения плана ДФЭ 23 1, заменяя X3 X1X2 , т.е. в

процессе эксперимента варьируют X3 по закону изменения произве-

дения X1X2 (табл. 4.13).

72

вий испытаний выбирают одинАиз этих планов, так как каждый из них соответствует разл чным точкам факторного пространства, в которых

ные планы характерныСтем, что в них содержится наибольшее возможное количество факторов. На основе плана, содержащего четыре строки, нельзя определить больше четырех коэффициентов – свободный член b0 и три линейных коэффициента регрессии b1,b2,b3.

План, в котором количество переменных на единицу меньше количества строк или опытных точек, называется насыщенным.

Рассмотрим построение дробных реплик на основе ПФЭ 23. Планы, ядром которых является ПФЭ 23, содержат восемь строк или восемь наборов переменных, при которых определяются значения отклика. На основе ПФЭ 23 могут быть построены следующие дробные реплики: ДФЭ 24 1 – полуреплика ПФЭ 24 ; ДФЭ 25 2 – 1 4 реплика

73

ПФЭ 25; ДФЭ 26 3 – 18 реплика ПФЭ 26 ; ДФЭ 27 4 – 116 реплика ПФЭ 27 . План ДФЭ 27 4 является насыщенным, так как число факторов на единицу меньше числа строк.

На основе плана ПФЭ 23 можно построить уравнение регрессии

~y b0 b1X1 b2X2 b3X3 b12X1X2 b13X1X3

которое содержит три парных (первого порядка) и одно тройное (второго порядка) взаимодействий. Если какое-либо взаимодействие является статистически незначимым, можно построить полуреплику ДФЭ 24 1. Если незначимы два взаимодействия, можно построить 14 реплику ПФЭ 25 или ДФЭ 25 2 и т.д.

которые называются генер рующими соотношениями или генера-

пространстве выделяетСвосемь точек, в которых должен измеряться отклик.

Дробные факторные эксперименты позволяют экономить время, но при таком планировании имеет место нежелательный эффект смешивания оценок -коэффициентов.

При вычислении b-коэффициентов по данным многофакторного эксперимента иногда получают не оценки отдельных коэффициентов, а оценки различных их комбинаций. Например, величина b0 является

оценкой не только 0 модели (4.1), но и коэффициентов при квадратах факторов 11, 22, , kk , которые в уравнение (4.1) не входят, но в действительности могут иметь место. Если все коэффициенты

74

жение записывается символом b0 0 .

Таблица 4.15

Матрица планирования ДФЭ 25 2

ния (4.26) представляют оценки разности коэффициентов регрессии:

Рассмотренная процедура анализа смешивания оценок при большом числе факторов (k 3) оказывается слишком громоздкой.

75

Анализ смешивания значительно облегчается, если использовать генерирующее соотношение и ввести понятие определяющего контра-

ста.

жения (4.32). Аналогично проводится анализ смешивания оценок и в общих случаях. Рассмотрим смешивание оценок в ДФЭ 25 2, где ис-

нежелательныхСсмешиваний. В частности, к большим искажениям может привести смешивание линейных эффектов и парных взаимодействий, так как эти коэффициенты во многих случаях имеют один и тот же порядок. Желательно выбирать такие генераторы, в которых линейные эффекты смешиваются со взаимодействиями высоких порядков. Задача выбора подходящих генераторов не формализована и обычно решается перебором различных вариантов.

Обработка результатов ДФЭ аналогична обработке результатов ПФЭ.

76