Вопросы и задания для самоподготовки

1.Задачи, решаемые в дисперсионном анализе.

2.Дайте характеристику межгрупповой и внутригрупповой дисперсии.

3.Чем обусловлена вариация групповых средних вокруг общего среднего?

4.Какая параметрическая гипотеза принимается в качестве нулевой при дисперсионном анализе? Порядок проверки этой гипотезы.

5.Что называют дисперсионным отношением?

6.Какое вероятностное распределение применяют для проверки гипотезы в дисперсионном анализе? Перечислите его числовые характеристики.

7.Дайте определение статистическойИи функциональной связи.

8.Что называют корреляционной связью?

9.Перечислите причины возникновенияДкорреляционной связи между признаками.

10.Какие задачи решает корреляционно-регрессионный анализ?

11.В чем заключается сутьАметода наименьших квадратов?

12.Практическое значение парной линейной корреляции.

13.Что называют уравнениембрегрессии?

14.Дайте определение коэффициента корреляции.

15.Перечисл теиосновные этапы изучения корреляционной зависимости. Какие задачи решаются на каждом этапе?

16.ЗадачаСлинейной множественной регрессии.

17.Определен е коэфф циентов множественной корреляции.

18.Подход к задаче регрессии с позиций матричной алгебры. Матрицы планирования, наблюдений, коэффициентов.

19.Характеристики и область применения информационной матрицы.

4.МНОГОФАКТОРНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ

4.1.Общие сведения

Впрактике научных исследований параметр оптимизации обычно зависит от нескольких факторов. Многофакторные эксперименты проводятся для построения линейных полиномиальных моделей. Вид полинома задается заранее, а его параметры определяются

54

по экспериментальным данным. Широкое распространение полиномиальных моделей объясняется тем, что исследуемую функцию многих переменных f x1,x2, ,xk в ограниченной области эксперимента обычно можно разложить в ряд Тейлора.

Для математического описания поверхности отклика используют уравнение

линейное влияние на отклик, взаимодействия факторов первого, второго и т.д. порядков. Последнее слагаемое учитывает влияние на отклик произведения всех факторов.

В практических задачах всегда можно ограничиться полиномами, включающими первые степени переменных xu и их различные произведения или первые и вторые степени переменных и крайне редко – более высокие степени. Если переменная в модели имеет сте-

няется планирование эксперимента. При планировании экспериментов обычно требуется с наименьшими затратами и с необходимой точностью либо построить регрессионную модель процесса, либо определить его оптимальные условия;

2) осуществляется реализация опытов по заранее составленному исследователем плану, т.е. осуществляется сам эксперимент;

3) выполняется обработка результатов измерений, их анализ и принятие решений.

Использование теории планирования эксперимента обеспечи-

вает:

1) минимизацию, т.е. предельное сокращение необходимого числа опытов;

2) одновременное варьирование всех факторов;

55

3) выбор чёткой стратегии, что позволяет принимать обоснованные решения после каждой серии опытов;

4) минимизацию ошибок эксперимента за счёт использования специальных проверок.

Рассмотрим пример планирования – хороший и плохой эксперимент (В.В Налимов, Т.И. Голикова. Логические основы планирования эксперимента.– М.: Металлургия, 1980.– 152 с.). Взвешивание трёх объектов А, В, С на аналитических весах.

Первый – традиционный – подход предусматривает последовательное взвешивание каждого из образцов. Исследователь вначале делает холостое взвешивание для определения нулевой точки весов, а затем по очереди взвешивает каждый из образцов. Это пример традиционного использования однофакторного эксперимента, т.е. здесь исследователь изучает реакцию на поведение каждого из факторов в отдельности. Традиционная схема взвешивания трёх объектов представлена в табл. 4.1.

двух опытов: того опыта, в котором на весы был положен изучаемый объект, и холостого опыта. Например, масса объекта А: mA y1 y0 .

Ошибка измерения предполагается независимой от измеряемой величины, аддитивной и имеющей одно и то же распределение. Тогда дисперсия измерения веса образца

2A 2y1 2y0 2 2 ,

где 2 – дисперсия любого взвешивания. Такими же будут и дисперсии весов образцов В и С.

Проведём теперь тот же эксперимент по несколько иной схеме:

впервых трёх опытах последовательно взвешивают объекты А, В, С,

впоследнем опыте взвешивают все три объекта вместе, а «холостое» взвешивание не проводится (табл. 4.2).

56

В этом случае масса каждого объекта будет задаваться форму-

лами

Масса объекта А, вычисленная по приведённой выше формуле, оказывается не искажённой массами весов объектов В и С, так масса каждого из них входит в формулу для массы объекта А дважды с разными знаками.

Дисперсия, связанная с ошибкой взвешивания по новой схеме,

чается вдвое меньшейСи, чем при первой, традиционной, хотя в обоих случаях на взвешивание трёх объектов затрачивалось четыре опыта. В результате чего происходит увеличение точности эксперимента в два раза? В первом случае эксперимент поставлен так, что каждую массу получают в результате двух взвешиваний. При новой схеме каждая масса вычисляется по результатам всех четырёх взвешиваний. Вторую схему можно назвать многофакторной, поскольку здесь оперируют всеми факторами так, что каждая масса вычисляется по результатам сразу всех опытов, – вот главная причина уменьшения дисперсии.

57