Коэффициент детерминации при линейной зависимости рассчитывается по формуле
= ∑ ∙ . |
(41) |
Для того чтобы не допустить возможного преувеличения тесноты связи, используется скорретированныый коэффициент множественной корреляции.
СибАДИ |
||||||||||
корректированный коэффициент корреляции: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
= |
1 − |
∑∑(( )) |
: |
|
, |
(42) |
где n – ч сло наблюден й; |
|
|
|
|
|
|
||||
m – ч сло параметров при переменных x. |
|
|
||||||||
Поскольку |
∑( |
) |
= 1 − |
, то скорректированный коэффициент корре- |
||||||
ляции можно |
|
∑( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
зап |
сать в в де [1,5,6]: |
|
|
||||||
|
|
|
|
= 1− (1− |
) ∙ |
|
|
, |
(43) |
|
|
|
|
|
|||||||
а скорректированный коэффициент множественной детерминации: |
|
|||||||||
|
|
|
|
= 1 −(1 − ) |
∙ |
. |
|
(44) |
||
|
|
3.7. Частная корреляция |
|
|
|
|||||
Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между |
||||||||||
соответствующим фактором |
|
|
результатом при устранении влияния |
других |
||||||
факторов, включенных в модель множественной регрессии. |
|
|||||||||
Коэффициент частной корреляции для двухфакторной модели: |
|
|||||||||
∙ |
= |
|
|
|
; |
|
|
|
|
(45) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
∙ |
= |
|
|
. |
|
|
|
|
(46) |
|
|
|
|
|
|
||||||
Если выразить остаточную дисперсию через коэффициент детерминации, частный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле
29
|
|
= |
|
1 − |
1 − |
; |
|
|
|||||
|
∙ |
|
1 − |
|
|
||||||||
|
∙ = |
|
1 − |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
(47) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
При дополнительном включении фактора xi в модель частный коэффи- |
||||||||||||
циент корреляции рассчитывается по формуле |
|
|
|
||||||||||
|
∙ |
= |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 − |
|
|
|
|
, |
(48) |
|||||
|
|
|
|||||||||||
где |
, |
– множественный коэффициент детерминации |
|||||||||||
Сибдля модели множественной регрессииАДсо всем количествомИфакторов и с р-1 в модель невведенного фактора.
Значен я частных коэффициентов корреляции, рассчитанных данным способом, зменяются от нуля до единицы.
Коэффициенты корреляции олее высоких порядков рассчитываются по рекуррентной формуле, значения которых изменяются:
∙ = ∙ ∙ ∙ . (49)
∙ ∙( )
Коэффициенты корреляции, рассчитанные по данной формуле, изменяют свое значение от – 1 до 1.
Частные коэффициенты корреляции используются для ранжирования факторов по степени влияния на результат, но их отбора [1,10].
3.8. Оценка надежности результатов множественной регрессии и корреляции
Оценка значимости уравнения регрессии осуществляется с помощью
критерия Фишера |
∙ |
, |
|
= факт = |
(50) |
ост
где факт – факторная дисперсия, объясненная регрессией на одну степень свободы;
ост – остаточная дисперсия на одну степень свободы;
– множественный коэффициент детерминации;
30
−число наблюдений;
– число параметров при факторах х в уравнении регрессии.
Полученное значение F-критерия сравнивается с табличным при определенном уровне значимости. Если его фактическое значение больше табличного, гипотеза о незначимости уравнения регрессии отвергается и принимается
гипотеза о статистической значимости. С помощью критерия Фишера оцени- |
|||||||||||||||
СибАДИ |
|||||||||||||||
вается значимость не только уравнения регрессии в целом, но |
значимость |
||||||||||||||
дополнительного включен я в модель каждого фактора. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
Для оценки знач мости включения дополнительного фактора |
в модель |
|||||||||||||
рассчитывается частный коэффициент критерий Фишера: |
|
|
|||||||||||||
|
–=коэфф циент множественной ∙детерминации, |
|
(51) |
||||||||||||
где |
для модели с |
||||||||||||||
полным набором факторов n; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
– коэффициент множественной детерминации для моде- |
|||||||||||||
ли, не включающей фактор xi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Оценка значимости коэффициентов регрессии осуществляется с помо- |
||||||||||||||
щью критерия Стьюдента: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(52) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
– коэффициент « |
чистой» регрессии; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|||
|
– средняя квадратичная ошибка коэффициента регрессии |
||||||||||||||
|
= |
|
|
∙ |
|
|
∙ |
√ |
|
|
. |
|
(53) |
||
|
∙ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
х |
|
|
|
|
||||||||
|
Полученное значение критерия Стьюдента |
|
сравнивается с табличным, на |
||||||||||||
основе которого принимается или отвергается гипотеза |
о значимости каждого |
||||||||||||||
коэффициента регрессии в отдельности [1]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
31
3.9. Фиктивные переменные во множественной регрессии
Фиктивные переменные – это переменные бинарного типа, т.е. каждая переменная может принимать два значения – единица и нуль:
1 = 0.
СибАДИ= ∙ + ∙ + ∙ + ∙ +ė,
Для учета влияния одной качественной переменной вводится несколько фиктивных переменных, которых должно быть на единицу меньше, чем значений этой переменной. За каждым значением качественной переменной за-
крепляется одна ф кт вная переменная. Данная фиктивная переменная равна единице, если качественная переменная принимает значение, соответствующее этой ф кт вной переменной, иначе принимает значение равное нулю.
|
Пр мер. Пусть рассматривается влияние уровня квалификации работ- |
|||
ника на объем выпуска продукции и имеется три возможных степени квали- |
||||
фикации: высшая, средняя, низкая. Максимальная отдача – отдача от работни- |
||||
ка с высшей квал ф кац ей, следовательно за базу принимается квалифика- |
||||
ция, для двух значен |
й качественной переменной вводятся фиктивные пере- |
|||
менные: z1 |
z2. |
|
1 − высшая квалификация |
|
|
|
z |
= |
|
|
|
0− невысшая квалификация |
||
|
|
z |
= |
1 −средняя квалификация |
|
|
|
|
качественная переменная «уровень квалифика- |
|
Если |
|
=0, |
тогда0− несредняя квалификация. |
ции» |
принимает значение «низкая квалификация». |
|||
|
= |
|
|
|
В общем виде модель с фиктивными переменными имеет вид (фиктивные переменные рассматриваются как факторы, которые используются как
количественные переменные):
где – результативная переменная;
– фиктивные переменные, принимающие значения.
В уравнении регрессии зависимая переменная у рассматривается как функция не только от х, но и от z. Переменная z рассматривается как дихотомическая переменная, принимающая два значения: 1и 0. При этом, если z1=1, z2=0 и наоборот [1,7].
32