~ 38 ~
Малюгин П.Н. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДОРОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ: учебное пособие
___________________________________________________________________________
асимметричности функции в формулу искусственно подставляют завышенное значение интенсивности.
Введение поправки µ позволяет описывать распределения до интенсивности 250 авт/ч на двухполосных дорогах (125 авт/ч по полосе). Однако существенно расширить область применения закона Пуассона не удается.
7.3. Распределение Пирсона
Для потоков, имеющих большую интенсивность движения, применяют распределение Пирсона или закон Пирсона типа III [2]. Распределение отличается высокой асимметричностью, оно применяется для потоков уровней удобства Б и B. Иногда применяют логарифмический закон распределения.
По закону Пирсона вероятность распределения интервалов времени между автомобилями выражается следующей формулой:
p(t) = ak e–a t tk–1 / Г(k), |
(7.7) |
где p(t) – вероятность образования между двумя автомобилями временного интервала t, с;
k, a – коэффициенты;
Г(k) – гамма функция (в формуле константа).
Значение функции Г(k) вычисляется численным интегрированием по переменной k в диапазоне от 0 до 50. Константа Г(k) мало изменяется, ее значение примерно равно 0,9.
Определенный интеграл от функции p(t) по интервалу t выражает функцию накопленной вероятности s(t), которая не выражается в элементарных функциях. Она вычисляется путем численного интегрирования. Введение константы Г(k) обеспечивает наибольшее значение s(t) = 1.
Стандартные параметры распределения легко вычисляются через
коэффициенты k, a: |
tс = k / a, |
среднее значение интервала |
|
дисперсия |
σ = k / a2. |
Асимметричность распределения возрастает при уменьшении значения коэффициента k. Значение коэффициента обычно находится в диапазоне от 1,2 до 2 (рис. 7.4). Для указанных на рисунке значений ко-
~ 39 ~
Глава 7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕРВАЛОВ МЕЖДУ АВТОМОБИЛЯМИ
_____________________________________________________________________________
эффициентов k (a = 0,3) имеем соответственно значения параметров распределения:
tс = 4,67; 5; 5,33; 5,67;
σ = 15,6; 16,7; 17,8; 18,9;
Г = 0,887; 0,886; 0,893; 0,909.
Асимметричность распределения возрастает при увеличении значения коэффициента a. Значение коэффициента обычно находится в диапазоне от 0,1 до 0,5 (рис. 7.5). Для указанных на рисунке значений коэффициентов a (k = 1,7) имеем соответственно значения параметров распределения:
tс = 8,5; 6,8; 5,67; 4,86;
σ = 42,5; 27,2; 18,9; 13,9; Г = 0,909.
Асимметричность распределения существенно отражается на форме графика накопленной вероятности (рис. 7.6).
Рис. 7.4. Влияние коэффициента k на асимметричность распределения Пирсона: a = 0,3; 1 – k = 1,4; 2 – k = 1,5; 3 – k = 1,6; 4 – k = 1,7
~ 40 ~
Малюгин П.Н. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДОРОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ: учебное пособие
___________________________________________________________________________
Рис. 7.5. Влияние коэффициента a на асимметричность распределения Пирсона: k = 1,7; 1 – a = 0,2; 2 – a = 0,25; 3 – a = 0,3; 4 – a = 0,35
Пример аппроксимации исходных данных по закону Пирсона показан выше на рис. 7.3, см кривую 3.
Распределение Пирсона (7.7) рекомендуют применять: для потоков на дорогах с двумя полосами с движения при интенсивности до 650 авт/ч; для потоков на дорогах с четырьмя полосами – до 1250 авт/ч [2]. Для таких дорог имеем интенсивность движения 325 авт/ч по одной полосе.
вероятность |
1,2 |
|
|
|
|
|
1,0 |
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
Накопленная |
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
0,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10,0 |
18,0 |
26,0 |
34,0 |
42,0 |
50,0 |
|
|
|
Интервал времени, с |
|
|
|
Рис. 7.6. Распределение накопленной вероятности
Следует заметить, что измерения параметров потоков, выполненные студентами нашей кафедры на магистралях города Омска, и ре-
~ 41 ~
Глава 7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕРВАЛОВ МЕЖДУ АВТОМОБИЛЯМИ
_____________________________________________________________________________
зультаты их обработки на компьютере убедительно показывают, что распределение Пирсона можно применять для потоков с интенсивностью движения от 325 до 1200 авт/ч по одной полосе.
7.4. Смешанное распределение
Это распределение называют трехкомпонентным, смешанным или составным распределением. Распределение предложено Е.М. Лобановым, оно считается наиболее перспективным [2].
Идея смешанного распределения пришла из наблюдений за потоками. Наблюдения показывают, что ТП можно представить как комбинацию потоков различного уровня удобства движения. Например, после разрешающего сигнала светофора на полосе сначала появляется пачка автомобилей, образующая связанный поток, затем в поток вливаются автомобили из примыкающих магистралей, образующие частично связанные пачки и свободно движущиеся автомобили. То есть поток состоит из трех частей: свободного потока, частично связанного и связанного потока.
Это позволяет считать вероятность p(t) образования между автомобилями временного интервала t можно суммой вероятностей появления этого интервала в трех частях потока:
p(t) = A p1 (t) + B p2 (t) + B p3 (t), |
(7.8) |
где p1 (t), p2 (t), p3 (t) – функции, выражающие распределения интерва-
лов соответственно в свободном, частично связанном и связанном потоке;
A, B, C – коэффициенты, значения которых соответственно равны долям интенсивности движения в свободной λс, частично связанной λчс и связанной λсв части потока в общей интенсивности λ:
A = λс / λ; B = λчс / λ; C = λсв / λ.
Вид функций, подставляемых в формулу (7.8), не имеет принципиального значения. Для функции p1(t) можно взять формулу закона Пуассона. Для функций p2(t) и p3(t) можно взять формулу закона Пирсона с коэффициентами, соответствующими частично связанному и связанному потокам. При этом можно задавать интенсивности движе-