~ 15 ~
_____________________________________________________________________________
Глава 3. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Нормальный закон (закон Гаусса) отражает распределение случайной величины. По нормальному закону она распределяется симметрично относительно среднего ее значения. Закон широко применяется в теории массового обслуживания и используется при обработке результатов статистических измерений [2].
3.1.Функция экспонента
Враспределениях, относящихся к классу экспоненциальных распределений, используется функция, называемая экспонентой:
y(x) = ex.
В функции используется константа e, имеющая значение 2,71. Число 2,71 является основанием натурального логарифма. Найдем логарифм функции:
ln (ex) = x.
График функции ex представлен на рис. 3.1.
Рис. 3.1. График функции экспонента
От переменной x функция зависит следующим образом:
-при x > 0 значения функции быстро увеличиваются с ростом x;
-при x = 0 имеем e0 = e1 / e1 = e1 – 1 = 2,71 / 2,71 = 1; -при x < 0 имеем e–x = 1 / ex;
-при уменьшении x < 0 значения функции быстро снижаются, и асимптотически приближаются к нулю, но не достигают нуля.
~ 16 ~
Малюгин П.Н. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДОРОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ: учебное пособие
___________________________________________________________________________
В экспоненциальных распределениях используется область изменения переменной x < 0. Запишем некоторые значения функции:
e–1 = 0,37; 1 – e–1 = 0,63.
Функция ex широко применяется в математике. Например, решения дифференциальных уравнения описываются комбинациями экспонент от комплексных переменных. При этом константы в степенях экспонент играют роль постоянных времени.
3.2. Формула нормального закона
Нормальный закон распределения случайной величины xвыражается формулой
−( x − x )2 |
|
с |
|
p(x) = e 2 σ2 /(σ 2 π ), |
(3.1) |
где xс – среднее значение случайной величины; π = 3,14;
σ – среднее квадратичное отклонение величины x от среднего значения xс (дисперсия);
p(x) – вероятность расположения величины x в диапазоне от x –
0,5 до x + 0,5.
Заметим, что в формуле (3.1) случайная величина изменяется в диапазоне от минус ∞ до плюс ∞.
3.3. Формула нормального закона распределения скоростей
При рассмотрении ТП скорость V одного автомобиля является случайной величиной. Среднее значение случайной величины равно средней скорости автомобилей Vс и равно скорости ТП:
p(V) = ey / (σ √(2π)), y = – (V – Vс)2 / (2 σ2). |
(3.2) |
В формулу подставляют скорость в км/ч. Среднее квадратичное отклонение тоже имеет размерность – км/ч.
~ 17 ~
Глава 3. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
_____________________________________________________________________________
Форма распределения задается двумя параметрами нормального закона Vс и σ. На рис. 3.2 приведены графики функций p(V) для различ-
ных значений σ при одном значении Vс = 50.
График распределения симметричен относительно среднего значения скорости. При малом значении σ график имеет явно выраженный
экстремум. При увеличении σ максимум функции снижается и график растягивается по скорости.
3.4. Определение параметров закона Гаусса по его графику
Располагая экспериментальным графиком или гистограммой можно ориентировочно найти среднюю скорость и среднее квадратичное отклонение (рис. 3.3). Среднее значение скорости соответствует максимуму функции. Для расчета среднего квадратичного отклонения на графике находят значение максимума Fmax и вычисляют 0,61 Fmax. Затем проводят горизонтальную линию. Расстояние между точками пе-
ресечения этой линии с кривой слева и справа равно 2 σ.
Рис. 3.2. Функции нормального распределения скоростей:
1 – σ = 5; 2 – σ = 7,5; 3 – σ = 10; 4 – σ = 12,5 км/ч
~ 18 ~
Малюгин П.Н. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДОРОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ: учебное пособие
___________________________________________________________________________
Рис. 3.3. Определение отклонения σ по графику функции
3.5. Накопленная вероятность
Интеграл от функции p(V) по скорости от V = 0 до заданного значения скорости Vз описывает функцию, значение которой равно накопленной вероятности pн(V). Накопленная вероятность отражает вероятности события, что скорость для некоторого автомобиля будет меньше величины Vз. Очевидно следующее: если для всех автомобилей скорость больше Vз, то вероятность pн(V) равна 0; если для всех автомобилей скорость меньше Vз, то вероятность pн(V) равна 1. График накопленной вероятности для функций, приведенных на рис. 3.3, отражен на рис. 3.4, где кривые пронумерованы в прежнем порядке.
Рис. 3.4. График накопленной вероятности
Формулу интеграла от функции p(V) невозможно выразить через элементарные функции. Поэтому функцию накопленной вероятности вычисляют численным интегрированием функции p(V).