~ 33 ~

Глава 7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕРВАЛОВ МЕЖДУ АВТОМОБИЛЯМИ

_____________________________________________________________________________

Измерить в ТП пространственный интервал между автомобилями сложно. Намного проще измерить временной интервал t обычным секундомером и вычислить по нему пространственный интервал, используя скорость ТП:

где V – скорость потока, км/ч. Однако такой расчет является приближенным, так как автомобили в потоке движутся с разными скоростями.

Всвободном потоке автомобили движутся с интервалами более 8 с и практически не оказывают влияния друг на друга. В частично связанном потоке автомобили движутся с интервалами 1,5 … 8 с . В связанном потоке образуются лишь малые интервалы 1,0 … 1,3 с.

На прямолинейных участках временные интервалы зависят не только от скорости ТП, но и от наличия в потоке медленно движущихся автомобилей. Так, при увеличении в потоке числа медленных автомобилей с 20% до 40% временной интервал t снижается с 4,3 до 2,2 с [2].

При движении автомобилей на кривых в плане дороги наблюдается уплотнение потока и сокращение интервалов. Так, при уменьшении радиуса поворота с 450 м до 100 м интервал t снижается с 3,2 до

2,1 с [2].

При движении на подъеме увеличивается в потоке число медленно движущихся автомобилей (в основном грузовых). Поэтому на подъеме и перед подъемом обычно формируются пачки автомобилей, растет число минимальных интервалов на 4 … 5%, существенно затрудняются обгоны (на спуске обгоны облегчаются).

7.2.Распределение Пуассона

ВТП автомобили движутся с разными временными интервалами

ti, с между автомобилями. Режим движения потока отражает средний интервал tс. Средний интервал tс связан с интервалами ti и интенсивностью потока λ, авт/ч простыми формулами

~ 34 ~

Малюгин П.Н. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДОРОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ: учебное пособие

___________________________________________________________________________

где N – число замеров. Число автомобилей n, проходящих через сечение

дороги за время τ, c, зависит от интенсивности движения: n = τ / tс. Параметры n и t являются случайными величинами. Распределе-

ния их значений описываются законами, разработанными в теории вероятностей [7].

Закон Пуассона

Распределение Пуассона выражается известным законом Пуассона. Закон Пуассона часто применяется при решении различных задач организации движения.

Закон Пуассона описывает распределение числа автомобилей n,

проходящих через сечение дороги за интервал времени τ. Закон Пуассона также описывает распределение временных интервалов t между автомобилями [2]. При этом задается интенсивность транспортного по-

тока λ.

Закон Пуассона выражается функцией, в которой имеется лишь один свободный параметр λ:

где λ – интенсивность ТП, авт/ч; τ – интервал времени, ч; n – число автомобилей; p(n) – вероятность прохождения числа n автомобилей через

сечение дороги за время τ.

Вформуле закона применяется функция n! (читается как n факториал). Она является произведением: n! = 1 2 … n. Например,

5! = 1 2 3 4 5 = 120.

Вформулу (7.3) подставляют целые числа n, время τ, ч, рассчитывают вероятности p и строят распределение p(n).

Для построения распределения временных интервалов t подстав-

ляют в формулу τ = t n:

где p(t) – вероятность образования интервала t между автомобилями,

проходящими через сечение дороги при заданной интенсивности λ. Также вычисляют интегралы функций p(n) или p(t) по числу ав-

томобилей n или интервалу t от функций (7.3) и (7.4), и строят графики функций накопленной вероятности s(n) или s(t):

~ 35 ~

Глава 7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕРВАЛОВ МЕЖДУ АВТОМОБИЛЯМИ

_____________________________________________________________________________

Определенные интегралы выражают функции накопленной вероятности, которые не выражаются элементарными функциями. Для построения распределений приходится вычислять значения путем численного интегрирования. Значения функций располагаются в диапазоне от 0 до 1.

Функция s(n) описывают вероятность прохождения через сечение

дороги числа автомобилей от 0 до nМ в течение заданного времени τ. Функция s(t) описывают вероятность образования между автомобилями временного интервала от 0 до tМ при прохождении через сечение дороги заданного числа n автомобилей.

В формуле нормального закона переменная изменяется в диапазо-

не от минус ∞ до плюс ∞. В формуле закона Пуассона переменная n изменяется от 0 до некоторого ограниченного значения.

Для нормального закона имеем распределение, симметричное относительно среднего значения переменной. Для закона Пуассона распределение является несимметричным.

Рассмотрим пример построения распределения Пуассона. Для этого примем три интенсивности движения λ = 200, 400 и 600 авт/ч, интервал времени τ равно 90 с. Сразу приведем интервал к часам:

90 с = 90 / 3600 = 0,025 ч.

Подставляем в формулу p(n) закона значения λ, t, варьируем числом n, и вычисляем вероятности p. Получаем функцию распределения вероятности, показанную на рис. 7.2. При увеличении интенсивности движения имеем возрастание вероятности прохождения через сечение дороги большего числа автомобилей за заданный интервал времени.

Рис. 7.2. Вероятности прохождения через сечение дороги n автомобилей

при интенсивностях:

1 – 200, 2 – 400

и 3 – 600 авт/ч за время 1,5 мин

~ 36 ~

Малюгин П.Н. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДОРОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ: учебное пособие

___________________________________________________________________________

Рассмотрим теперь, для каких уровней удобства движения справедливо распределение Пуассона. В качестве примера возьмем четырехполосную, прямолинейную магистраль с общей интенсивностью движения до 400 авт/ч. По одной полосе такой дороги интенсивность движения примерно равна 100 авт/ч. По данным Красникова А.Н. для такой интенсивности применимо распределение Пуассона (рис. 7.3).

Экспериментальные данные отражены на графике точками, которые соединены прямыми линиями. Рассчитанное по закону Пуассона распределение показано кривой 1. Легко видеть, что экспериментальные данные хорошо описываются законом Пуассона при интенсивности 100 авт/ч. При этом распределение имеет несимметричную форму.

Рис. 7.3. Распределение временных интервалов между автомобилями при интенсивностях

1 – 400 и 2 – 1160 авт/ч

Критерий Романовского

На рис. 7.3 легко видеть, что для интенсивности 1160 авт/ч экспериментальные данные не соответствуют расчетным данным (см. кривую 2). То есть закон Пуассона нельзя применять при больших интенсивностях движения.

Для обоснования справедливости применения закона Пуассона (или другого закона) вычисляют критерий R Романовского [2]. Для рас-

чета критерия R используется статистический критерий согласия χ2 (читается хи квадрат).

Критерий R показывает, насколько расчетная кривая отличается от экспериментальной кривой. Чем меньше площадь, заштрихованная на рис. 7.3, тем меньше будет значение критерия R. Критерий R рассчитывают по формуле

~ 37 ~

Глава 7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕРВАЛОВ МЕЖДУ АВТОМОБИЛЯМИ

_____________________________________________________________________________

где ν – число степеней свободы. Число степеней свободы соответствует числу неизвестных в функции p(λ, t, n). Для закона Пуассона имеем

ν = 3.

Если критерий R < 3, то считают: расчетная и экспериментальная

кривые отличаются несущественно. Если R ≥ 3, то различие существенно и данное распределение применять некорректно.

Для приведенного выше примера при интенсивности 400 авт/ч (рис. 7.3, кривая 1) имеем R = 1,8 – различие не существенно. При интенсивности 1160 авт/ч (кривая 2) фактическое распределение становится явно несимметричным и имеет острый максимум. Получаем значение критерия 9,4 – различие существенно.

Область применения закона Пуассона

На двухполосных дорогах распределение Пуассона применяют при интенсивности до 100 авт/ч по одной полосе. На шестиполосных дорогах распределение применяют при интенсивности до 1100 авт/ч (183 авт/ч по одной полосе).

При увеличении числа полос дороги в потоке облегчаются обгоны и маневры, такой поток лучше соответствует свободному потоку. В среднем, распределение Пуассона справедливо при интенсивности менее 180 авт/ч по одной полосе движения, то есть применимо только для свободного потока типа А.

Поправки к закону Пуассона

Закон Пуассона весьма удобен для практического применения: для расчета распределения нужно задавать лишь интенсивность потока. Это обусловило его широкое применение на практике. Однако область применения закона Пуассона ограничена, поэтому были предприняты попытки расширения области с помощью поправок [2].

Наибольшее распространение получила поправка µ:

Величина поправки принимается больше единицы. Смысл применения поправки заключается в следующем: для получения большей