Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1252

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1 Mб

Скачать

☆

1 / 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Р.Б. КАРАСЕВА

Р Я Д Ы

Омск 2011

Министерство образования и науки РФ ГОУ ВПО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная

академия (СибАДИ)»

Р.Б.Карасева

Р Я Д Ы

Учебное пособие

Омск

СибАДИ

2011

УДК517.1 ББК 22.161.3 К 21

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук, проф. А.К.Гуц (заведующий кафедрой кибернетики Омского государственного университета)

канд.физ.-мат.наук, доц. О.В.Гателюк (заведующий кафедрой высшей математики

Омского государственного университета путей сообщения)

Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве учебного пособия для студентов всех специальностей.

Карасева Р.Б.

К 21 Ряды.:учебное пособие. – Омск: СибАДИ, 2011. −114 с.

Учебное пособие предназначено для студентов II курса, изучающих высшую математику. Содержание соответствует программе раздела «Ряды». Тематика пособия отвечает требованиям образовательного стандарта второго поколения. Кроме теоретической части курса в книге есть большое число примеров с разобранными решениями, задачи для самостоятельного решения, типовой расчет.

Данное пособие окажет помощь в освоении указанного раздела высшей математики студентам, будет полезно преподавателям при подготовке к лекциям и практическим занятиям.

Ил.20. Библиогр.: 5 назв.

ГОУ «СибАДИ», 2011Р.Б.Карасева, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ…………………………………………………..…....4

Раздел 1. РЯДЫ. ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РЯДЫ…………..........5

§1. Вводные замечания …………………………………….…...5

§2. Основные определения……………………………………...5

§3. Сходящиеся и расходящиеся ряды…………………………7

§4. Свойства сходящихся рядов………………………………...8

§5. Признак сравнения рядов неравенством………………….11

§6. Сравнение знакоположительных рядов отношением……13

§7. Признак Даламбера………………………………………...15

§8. Радикальный признак Коши……………………………….18

§9. Интегральный признак Коши……………………………...21

Раздел 2. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ РЯДЫ……………………………….....23

§1. Ряды с членами произвольного знака………………….…23

§2. Абсолютная и условная ходимости………………………25

§3. Признак Даламбера для произвольного ряда…………….28

§4. Перестановка членов ряда…………………………………29

§5. Группировка членов ряда………………………………….30

Раздел 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ……………………………..31

§1. Понятие функциональных рядов………….…………….....31

§2. Степенные ряды……………………………………………..41

§3. Нахождение радиуса сходимости……………………….....42

§4. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда..49

§5. Ряд Тейлора……………………………………………….....52

§6. Разложение функций в степенные ряды…………………..53

§7. Приближенные вычисления с помощью рядов…………...59

§8. Вычисление пределов и определенных интегралов

спомощью рядов……………………………………………………..62

§9. Интегрирование дифференциальных уравнений

спомощью рядов………………………………………………..........65 Раздел 4. РЯДЫ ФУРЬЕ……………………………………………....70

§1. Тригонометрический ряд……………………………….….70

§2. Ряд Фурье…………………………………………….……...72

§3. Ряд Фурье для четной и нечетной функций…………..…..76

§4. Интеграл Фурье……………………………………….…….83

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ……………………………..……………….…....87

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК…………………………...…....109

ОТВЕТЫ…………………………………………………..…….…....110

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данная книга представляет собой учебное пособие по теме «Ряды», которая изучается, как правило, в третьем учебном семестре очного отделения по программе курса высшей математики для вузов, рассчитанной на

510часов.

Вкниге изложены такие разделы, как «Знакоположительные ряды», «Произвольные ряды», «Функциональные ряды», «Ряды Фурье». Тематика, содержание и методология изложения книги соответствуют требованиям государственного образовательного стандарта.

Доступное изложение теоретического материала и большое количество разобранных в книге примеров и задач позволят изучить указанные разделы математики самостоятельно. Пособие содержит задание типового расчета из 30 вариантов. Типовой расчет можно использовать как для студентов очного, так и для заочного отделения, изучающих математику по программе третьего семестра. Наряду с простыми задачами в пособии приводятся достаточно интересные, сложные примеры. Поэтому книга будет полезна для студентов с различным уровнем подготовки.

Р.Б.Карасева, кандидат физикоматематических наук, доцент

Раздел1. РЯДЫ. ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РЯДЫ

§ 1. Вводные замечания

Возьмем отрезок 0,1 и разобьем его пополам. Правую половину отрезка снова разобьем пополам. После этого разобьем пополам

отрезок	3		,1 , то есть правую половину отрезка	1		,1	, и т.д. Про-


		4			2

должая этот процесс до бесконечности, получим разбиение отрезка

0,1 на бесконечное множество отрезков	0 ,	1	,		1	,	3	,	3	,	7	,

	2			2 4				4		8

…

Естественно считать, что «сумма длин» всех отрезков, на которые разбит отрезок 0,1 , равна длине разбиваемого отрезка, то есть 1. Иными словами, естественно считать верным «равенство»

	1	1		1	...	1		... 1.			(1)
					...	2n		... 1.			(1)
2 4			8			2n
Если бы мы разбили отрезок 0,1 на три равные части, потом
							1
разбили бы на три части отрезок									,1	и продолжали бы этот про-
разбили бы на три части отрезок									,1	и продолжали бы этот про-
							3

цесс до бесконечности, то получили бы аналогично

1	2	4	...	2n	... 1.	(2)
		27		3n 1
3 9

В левых частях «равенств» (1) и (2) стоят «суммы», состоящие из бесконечного числа слагаемых. Возникает вопрос, какой же смысл имеет понятие суммы для бесконечного множества слагаемых? Он и будет изучен в этом параграфе.

§2. Основные определения

Числовым рядом называют бесконечную последовательность чисел, соединенных знаками сложения:

a1 a2 ... ... an ....

Например,

1 + 2 + 3 + 4 + …+ n +…;

1 1 1					… +						( 1)n 1				...					1 1				1	) ...;
1																	1 (					)	(
1			4									n					1 (					)	(	4
2	3		4									n								2		3		4
							1			1			1	...			1		....
							1							...			2n 1		....
							2 4										2n 1
Общий член последовательности an																	называют в этом случае об-
щим членом ряда. Если задано выражение an																				через n, то легко выпи-
сать сколько угодно членов ряда. Например, если
	a	n			1			, то a							1			; a				1	,... ,
		n		n2 1							1			12 1					2		22 1
и потому ряд имеет вид						1			1			1					1
						1			1			1		...			1			... .
					2									...		n2 1				... .
					2		5				10					n2 1

Точно так же, если an n2, то a1 12;a2 22 ,…, и потому ряд имеет вид

1 + 4 + 9 + 16 + …+ n2 + … .


	Ряд с общим членом an записывается кратко в виде an . Здесь
	− знак суммы, обозначения n 1	n 1
	− знак суммы, обозначения n 1	и показывают, в каких преде-

лах изменяется n. Для рассмотренных выше рядов запись со знаком

						1
	имеет вид								и		n2 .
	имеет вид								и		n2 .
				n 1 n2 1							n 1
1.	Упражнения.
1.	Запишите первые четыре члена следующих рядов:
		n2					1 n												cosn									en				2n
				,									,											,						,			,
	n 1 n	4 5			n 1 n2 n 1											n 1					n2					n 1 e		2n 1			n 1 n!
		1	,		3n 1 2					.

					4n 2 5
2.	n 1 n2		n 1		4n 2 5
2.	Найдите формулу общего члена для следующих рядов:
											1			1				1					1		... ;
											1		16				81					256			... ;
													16				81					256
										1					1						1			1			...;
															2 3												...;
								1 2							2 3					3 4				4 5
							1						1									1				1			...;
						1 2 3														3 4 5									...;
						1 2 3						2 3 4								3 4 5						4 5 6

						1		1		1			1		...;
						1									...;
							1 2		1 2 3			1 2 3 4
		2					2 4			2 4 6				2 4 6 8				....
										1 3 5 32								....
		1		1 1 3 22						1 3 5 32			1 3 5 7 42
3.	Пусть an	1				. Чему равны					an 1,		a2n, an2 , an! ?
3.	Пусть an		3n 1			. Чему равны					an 1,		a2n, an2 , an! ?
4.	Пустьan	1			. Чему равны						an 1 ,a2n			,a	2 ,	an 1	, n			?
		1														an 1			an
		3n 1																	an
		3n 1												n		an

§3. Сходящиеся и расходящиеся ряды

Определим теперь понятие суммы бесконечного ряда. Рассмотрим суммы вида

S1 a1 ; S2 a1 a2 ; S3 a1 a2 a3 ;...; Sn a1 a2 ... an, …

Эти суммы называются частичными суммами ряда. Они образуют последовательность

S1, S2 ,S3 ,..., Sn ,... . (3)

Если эта последовательность имеет конечный предел , то говорят, что ряд сходится, а ее предел называется суммой ряда:

S lim Sn.

Если же последовательность (3) не имеет предела, то говорят, что ряд расходится и не имеет определенной суммы.

Если последовательность частичных сумм Sn пределом имеет бесконечность, то говорят, что ряд расходится, сумма его равна бесконечности.

	C конечное число, ряд сходится, сумма ряда равна С;
lim Sn
lim Sn	бесконечность, ряд расходится, сумма равна ;
n
	не определен, ряд расходится, сумма не определена.

Рассмотрим сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии

a aq aq2 aq3 ... aqn ... .

Сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется

по формуле Sn a aqn , поэтому сумма данного ряда равна

1 q

S lim Sn	lim	a aqn	a	( т.к.	q	1). Это означает, что ряд

		1 q	1 q
n	n

«бесконечно убывающая геометрическая прогрессия» является сходящимся.

Рассмотрим теперь ряд с общим членом an																														1	:
Рассмотрим теперь ряд с общим членом an																													n n 1		:
								1				1							1					1
																				...								... .
							1 2					2 3					3 4			...					n n 1			... .
Заметим, что								1					1						1	, поэтому частичные суммы ряда
Заметим, что						n(n 1)										n 1				, поэтому частичные суммы ряда
						n(n 1)							n			n 1
имеют вид		Sn			1					1					1			...			1					=

				1 2					2 3					3 4									n n 1
	1	1	1					1			1								1		1							1
= 1																								1						.
= 1																						n 1		1			n 1			.
	2	2 3						3 4										n				n 1					n 1

Поэтому S lim Sn		1	= 1 , т.е. ряд		1
	lim 1
		n 1
n	n			n 1 n n 1

сходится. Сумма ряда равна 1.

Примером расходящегося ряда является ряд

1 n 1 1 1 1 1 .

n 1

Частичные суммы этого ряда имеют вид S1 1; S2 0; S3 1;

S4 0; . Данная последовательность не имеет предела, ряд расходится.

Упражнения.

Найдите частичные суммы следующих рядов и вычислите их сумму:

	1
1.		;
1.	a n 1 a n	;
n 1	a n 1 a n

3.; n 1 n n 3

	2n 1
2.			;
2.		n 1 2	;
n 1 n2		n 1 2
		1
4.				.
4.				.
n 1 n n 1 n 2

§4. Свойства сходящихся рядов

Основные свойства сходящихся рядов получаются в основном

из свойств предела последовательности (напомним, что сумма ряда – это предел последовательности частичных сумм).

1.Числовой ряд не может иметь две различные суммы (вытекает из того, что последовательность не может иметь два разных предела).

2.Если ряд a1 a2 a3 a4 a5 an

сходится, то сходится и ряд, полученный из данного ряда любой расстановкой скобок, например, a1 a2 a3 a4 a5 a6

3. Предположим, что ряды an и bn сходятся и их суммы

n 1 n 1

равны Sa и Sb соответственно. Тогда ряд, полученный почленным

сложением этих рядов an bn , тоже является сходящимся и его

n 1

сумма равна S

Sa Sb .

Доказательство. Обозначим частичные суммы ряда an

через

n 1

San

име-

, ряда bn −через Sbn . Частичные суммы ряда

an bn

n 1

b1 a2

b2 an bn San

n 1

ют вид Sn a1

Sbn .

Так как предел суммы двух сходящихся последовательностей ра-

вен сумме их пределов, то получаем

lim San Sbn

lim San

lim Sbn Sa

Sb .

сходится и его сумма равна S , то сходится и

4. Если ряд an

n 1

ряд

Aan , причем его сумма равна AS (здесь А − число).

n 1

5. Если сходится ряд

an , то сходится и любой ряд, полученный

n 1

из него отбрасыванием конечного числа членов, например an .

n k 1

Действительно, обозначим частичные суммы ряда

an через Sn, а

n 1

частичные суммы ряда an − через Snk .

n k 1

Sk .

Ясно, что S

= a

1 / 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.2021996.83 Кб21248.pdf
#
07.01.2021997.2 Кб11249.pdf
#
07.01.2021300.65 Кб0125.pdf
#
07.01.20211 Mб01250.pdf
#
07.01.20211 Mб11251.pdf
#
07.01.20211 Mб01252.pdf
#
07.01.20211 Mб11253.pdf
#
07.01.20211 Mб11254.pdf
#
07.01.20211.01 Mб21255.pdf
#
07.01.20211.01 Mб71256.pdf
#
07.01.20211.01 Mб11257.pdf