1252

Поэтому lim Sn lim a1 a2 ak Snk a1 a2 ak

n n

+. lim Skn. Это равенство показывает, что пределы lim Sn и lim Skn

одновременно существуют или нет, иными словами, ряды an и

n 1

an одновременно сходятся или расходятся.

n k 1

Итак, прибавление или отбрасывание конечного числа членов не

влияет на сходимость ряда. Поэтому для обозначения ряда an

n 1

можно использовать обозначение an .

Теорема (необходимый признак сходимости ряда).Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.

Доказательство. Рассмотрим частичные суммы сходящегося ря-

сходится, то предел каждой из частичных сумм равен конечному числу C. Получаем an Sn 1 Sn, поэтому

Полученный признак может применяться лишь для доказательства расходимости ряда. Например, из него следует, что ряд 1 4 9

16 1 n 1n2 расходится, так как его общий член не стре-

мится к нулю : lim 1 n 1n2 0.

n

Сходимость ряда 1 не может быть исследована по необходи- n2

мому признаку, поскольку lim 1 0, а в этом случае необходимый

n n2

признак вывода не дает. Действительно, условие стремления к нулю общего члена ряда не является достаточным. Есть ряды, общий член которых стремится к нулю, но которые расходятся. Примером такого

ряда является ряд ln n 1. Частичная сумма этого ряда имеет вид n

13

lim Sn lim ln n 1 , то этот ряд расходится. Однако

n n

lim ln n 1 ln1 0.

n n

§5. Признак сравнения рядов неравенством

Рассмотрим ряд an с неотрицательными членами (an 0). Заметим, что последовательность частичных сумм знакоположительных рядов образует монотонную неубывающую последовательность

Sn a1 a2 an Sn 1 an Sn 1 и поэтому

S1 S2 S3 Sn 1 Sn .

Отсюда вытекает, что знакоположительные ряды могут иметь суммы:

Доказательство.

а) Обозначим частичные суммы ряда an через Sna , а ряда

bn − через Snb. Тогда из неравенства условия теоремы следует, что a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn , то есть 0 Sna Snb. Пере-

ходим в неравенстве к пределу, получаем 0 lim Sna Sb,

n

где Sb −число, сумма ряда bn . Из теории пределов известно, что ограниченная сверху монотонная последовательность имеет конеч-

ный предел, поэтому существует предел lim Sna Sa и ряд an схо-

n

дится.

б) Пусть теперь ряд an расходится. Из установленного выше неравенства для частичных сумм, переходя к пределу, получаем

14

расходящимся.

По свойству 5 из § 4 теорема верна и в случае, если условие теоремы 0 an bn выполняется начиная с некоторого номера N.

1

сходится. Поскольку < n n 1 , по теореме сравнения рядов неравенством можно сделать вывод, что ряд

Отсюда по теореме сравнения рядов неравенством получаем, что ряд

рядом.

Для того чтобы применять теорему сравнения, необходимо заранее знать о сходимости или расходимости некоторых рядов. Мы будем использовать следующие ряды:

15

Упражнения. Исследуйте сходимость рядов:

§6.Сравнение знакоположительных рядов отношением

Рассмотрим еще один способ сравнения рядов.

Теорема (сравнение рядов отношением). Рассмотрим два знако-

положительных ряда an и bn . Если предел отношения lim an

n bn

q 0, не равен нулю и не равен бесконечности, то ряды одновременно сходятся (или расходятся). Если получим, что q 0 или q , то вывод о сходимости ряда сделать нельзя.

Доказательство. Предположим, что выполнено условие теоре-

мы, то есть lim an q 0, . По определению предела последова-

n bn

тельности это означает, что для любого 0 найдется такой номер N последовательности, что для всех номеров, начиная с N (n N ),

верно неравенство q an q . Поскольку оба ряда знакополо-

Если предположить, что ряд bn сходится, то из свойств сходящихся рядов сходится и ряд q bn. Используем правую часть неравенства (4) an q bn и по теореме сравнения рядов неравенством сделаем вывод о сходимости ряда an .

Теперь пусть ряд bn расходится. Тогда ряд q bn тоже расходится. Используем левую часть неравенства (4) q bn an и по теореме сравнения неравенством получим, что ряд an расходится.

16

Итак, если ряд bn сходится (расходится), то так же ведет себя и

(расходимости) ряда an можно сделать вывод о поведении ряда

bn .

Примеры. Исследовать по теореме сравнения рядов отношением следующие ряды:

1. 7 .

5n2 3

Сравним этот ряд с обобщенным гармоническим рядом 1 (по- n2

скольку p 2 1, то он является сходящимся). 7

При вычислении предела было использовано правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Предел отношения общих членов рядов не равен нулю и не равен бесконечности, поэтому теорему можно применить. Мы сравнивали со сходящимся рядом, поэтому ряд

17

§7. Признак Даламбера

Доказанные признаки сравнения рядов обладают существенным недостатком: не всегда легко найти ряд, с которым мы будем сравни-

18

вать данный ряд. Признак Даламбера использует только члены исследуемого ряда.

Теорема (признак Даламбера). Пусть an −знакоположительный

ряд. И пусть существует предел lim an 1 q.