1252

ность arctg ~ при условии, что 0), то по признаку сравнения

ерштрасса ряд, составленный из производных, равномерно сходится при любом значении переменной. Это означает, что теорема о почленном дифференцировании в данном случае применима:

при x .

4. Показать, что ряд xn сходится неравномерно в интервале

n 1

1 , 1 .

43

n 1

дифференцировании?

§2. Степенные ряды

Функциональный ряд вида

a0 a1 x a a2 x a 2 an x a n an x a n ,

n 0

где a0 ,a1, ,an , − действительные числа, называется степенным. О таком ряде говорят, что он расположен по степеням x a. Постоян-

ные a0 ,a1, ,an , называются коэффициентами степенного ряда.

Заметим, что при x a степенной ряд имеет вид an a a n = 0 0, а это означает, что при x a он сходится. Таким образом, степенной ряд сходится хотя бы в одной точке.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при x x0, то он сходится, причем абсолютно, при всяком значении x, удовлетворяющем неравенству x a x0 a .

Следствие. Для каждого степенного ряда существует такое число R, что во всех точках интервала x a R степенной ряд является

абсолютно сходящимся. Вне данного интервала ряд расходится. На концах интервала, т.е. в точках x a R, различные степенные ряды

44

ведут себя по-разному: одни абсолютно сходятся на обоих концах, другие расходятся на обоих концах, есть ряды, которые условно сходятся в точках x a R или, возможно, в одной точке сходятся, а в другой расходятся.

Рис.1

Интервал a R x a R (неравенство может быть и нестрогим)

называется интервалом сходимости степенного ряда (рис.1). Число

R (половина длины интервала сходимости) называется радиусом сходимости. Отметим, что радиус сходимости может быть равен нулю или бесконечности. При R 0 степенной ряд сходится только в одной точке x a. При R степенной ряд сходится на всей числовой прямой.

§3. Нахождение радиуса сходимости

Теорема. Радиус сходимости R степенного ряда

45

Итак, радиус сходимости равен 10, а промежуток сходимости10,10 . По теореме Абеля внутри этого интервала ряд сходится абсолютно, вне него – расходится.

ловно сходящийся ряд. При x 10 получаем расходящийся гармо-

1 n xn сходится во всех точках числовой прямой.

n 0 n!

Замечание. Если степенной ряд содержит бесчисленное множе-

ство коэффициентов, равных нулю, то отношение an не имеет пре- an 1

дела и приведенную формулу нахождения радиуса сходимости применять нельзя, даже если выкинуть нулевые слагаемые и заново перенумеровать оставшиеся.

Пример. Найти радиус сходимости ряда

Этот ряд получен из ряда примера 1 заменой x на x2. Поскольку ряд примера 1 сходится при x 10, а расходится при x 10, то

Значит, радиус сходимости R 10 . Формула вычисления R неприменима в данном примере: если учитывать нулевые коэффициенты,

46

ламбера вывод о сходимости ряда сделать нельзя. Поэтому применим другие признаки.

Если x 5, то исходный ряд имеет вид

4

то есть признак применить можно. Получаем, что в точке x 5 ис- 4

следуемый ряд расходится.

Если x 3, то ряд имеет вид

4

Это знакочередующийся ряд. Проверим для него выполнение теоремы Лейбница:

48

Это означает, что ряд сходится. Ряд из его модулей имеет вид

Радиус сходимости R 1 . 4

Ряд является знакоположительным. Исследуем его по радикальному признаку Коши:

49

Исследуем его сходимость по необходимому признаку:

Необходимый признак не выполнен, поэтому ряд расходится.