1252

Примеры. Исследовать сходимость рядов по радикальному признаку:

Вычисляем предел

Упражнения. Исследуйте сходимость рядов, применяя радикальный признак Коши:

23

Итак, значение интеграла −число, т.е. интеграл сходится, значит, и ряд является сходящимся.

3. 1 . np

Это обобщенный гармонический ряд. Исследуем его сходимость по интегральному признаку.

а) Пусть p 1. Тогда

Упражнения. Исследовать сходимость рядов по интегральному признаку Коши:

25

Раздел 2. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ РЯДЫ

§1. Ряды с членами произвольного знака

Ряд называется знакопеременным (или знакочередующимся), если его члены поочередно положительны и отрицательны. Ряд

a1 a2 a3 a4 a5 1 n 1an+… ,

где a1,a2 , ,an , обозначают положительные числа, − знакопеременный.

Теорема Лейбница. Пусть члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и an стремится к нулю, когда n . Тогда этот ряд сходится. При этом остаток ряда имеет тот же знак, что и первый отброшенный член, и не превосходит его по абсолютной величине.

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму S2n . Ее можно записать в виде

S2n a1 a2 a3 a4 a2n 1 a2n .

Так как из условия монотонного убывания членов ряда следует, что a2n 1 a2n , то четные частичные суммы образуют монотонно возрастающую последовательность. Покажем, что она ограничена.

Для этого перепишем S2n в виде:

S2n a1 a2 a3 a4 a5 a2n.

Мы видим, что S2n a1.

Но монотонно возрастающая, ограниченная сверху последовательность имеет предел. Поэтому существует S lim S2n .

Итак, доказано, что ряд, удовлетворяющий условиям теоремы, сходится, причем его сумма меньше, чем a1.

Рассмотрим теперь остаток ряда R2n . Запишем его в виде

26

R2n a2n 1 a2n 2 1 k 1a2n k . Из предыдущих рассуждений следует, что он положителен и меньше, чем a2n 1 :

0 R2n a2n 1. Аналогично доказывается, что a2n 2 R2n 1 0. Теорема доказана.

Запишем условие теоремы в более схематичном виде.

Теорема Лейбница. Если для ряда 1 n 1an выполнены усло-

вия

а) lim an 0;

n

б) an 1 an, начиная с некоторого номера,

то знакочередующийся ряд 1 n 1an сходится.

При этом выполнено неравенство Rn an 1.

Замечание 1. Если условие а) теоремы Лейбница не выполнено,

то ряд 1 n 1an расходится.

Действительно, если lim an 0, то не выполнено необходимое

n

условие сходимости, ряд расходится.

Замечание 2. Если условие а) теоремы Лейбница выполнено, а условие б) нарушено (т.е. члены знакопеременного ряда стремятся к нулю, но убывают не все время), тогда нет гарантии, что ряд сходит-

ся. Например, ряд 1 2 1 2 1 2 1 2 , члены которого

2 2 3 3 4 4 5 5

стремятся к нулю, но убывают не все время, расходится. Действительно, группируя члены попарно, найдем, что

27

Оба условия теоремы выполнены, поэтому ряд сходится.

Условие а) не выполнено. Ряд расходится.

Условия теоремы выполнены, ряд сходится.

§2. Абсолютная и условная сходимости

Теперь перейдем к рядам с членами произвольного знака. Вопрос о сходимости таких рядов часто можно свести к вопросу о сходимости рядов с положительными членами. Например, верна следующая теорема.

Теорема Коши. Пусть дан ряд an с членами произвольного знака. Если сходится ряд an , составленный из абсолютных величин его членов, то сходится и исходный ряд an .

Доказательство. Заметим, что верно неравенство

0 an an 2an .

Из условия теоремы, ряд an , значит, и ряд 2an являются сходящимися. Поэтому по признаку сравнения знакоположительных рядов неравенством сходится и ряд an an . Поскольку ряд an

является разностью сходящихся рядов an an и an , то он тоже сходится.

Замечание. Ряд an может сходиться и тогда, когда расходится ряд an .

28

Например, ряд 1 n 1 1 сходится. Действительно, оба условия n

теоремы Лейбница для него выполнены:

При этом ряд, составленный из его модулей, имеет вид 1. Это n

гармонический ряд. Он расходится.

Пример. Исследовать вопрос о сходимости ряда

монический ряд, он сходится. Значит, по теореме Коши исследуемый ряд тоже является сходящимся.

Ряд an с членами произвольного знака называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд an , составленный из абсолютных значений его членов. По теореме Коши ряд an при этом тоже сходится.

Ряд an называется условно сходящимся, если он сходится, а

ряд, составленный из его модулей an , расходится.

Грубо различие между абсолютной и условной сходимостями рядов заключается в следующем: абсолютно сходящиеся ряды сходятся в силу того, что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся – в силу того, что их положительные и отрицательные слагаемые взаимно уничтожают друг друга.

Замечание. Сходящийся ряд, у которого все члены положительны или отрицательны, − абсолютно сходящийся.

Примеры. Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость.

29

Данный ряд является знакочередующимся. Проверим, выполняются ли для него условия теоремы Лейбница:

а)

Условие а) не выполнено. Ряд расходится.