1252

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

в) f x x3; x ;

г) f x 4x, 10 x 10.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Теперь функция определена на интервале 3;3 , экстремумов не имеет, имеет одну точку разрыва первого рода x 0, то есть удовлетворяет всем условиям теоремы Дирихле и может быть разложена в

ряд Фурье (рис.16). Заметим, что l																					3. Поскольку функция стала по-
сле продолжения нечетной, то a0 0; an																											0;
																u 3 2x; du 2dx;
b			2	3	3 2x sin					n x			dx			dv sin					n x				dx;
			2							n x											n x
			3
n			3	0				3													3
																v	3			cos				n x
																v				cos
																	n				3
2							3					n x		3		3 3						n x
2							3					n x		3		3 3						n x
			3 2x						cos									cos								2 dx
			3 2x						cos									cos								2 dx
3							n	3								0 n					3
														0														3
														0
	2		9						9						6		3						n x						6	1 n 1 .

						cosn					cos0								sin
						cosn					cos0								sin
3		n							n						n n						3								n
																												0
																												0

Получаем ряд Фурье, содержащий только синусы:

f x 3 2x 6 1 n 1sin n x .

n 1n 3

2. Разложить в ряд Фурье, содержащий только косинусы, функцию f x 3 2x,x 0,3 (см. рис.14).

Рассмотрим четное продолжение функции на интервал 3;0

(рис.17).

Рис.17

Рис.18

Теперь функция определена на интервале 3;3 , экстремумов не имеет, точек разрыва не имеет, то есть удовлетворяет всем условиям теоремы Дирихле и может быть разложена в ряд Фурье (рис.18). Заметим, что l 3. Поскольку функция стала после продолжения чет-

														2		3								2			3x x2							3		2
ной, то b							0; a				0			2		3 2x dx								2												2	0 0;
ной, то b							0; a									3 2x dx																					0 0;
						n								3		0								3										0	3
														3		0								3										0	3
																				u 3 2x; du 2dx;
				2	3								n x															n x
a	n			2	3 2x cos								n x				dx			dv cos								n x					dx;
a				3	3 2x cos												dx			dv cos													dx;
				3	0									3																3
																				v		3			sin						n x
																				v			n		sin
																							n									3
		2					3							n x				3	3 3							n x
		2					3							n x				3	3 3							n x
				3 2x							sin												sin									2 dx
				3 2x							sin												sin									2 dx
		3							n							3			0 n										3
																		0
																		0
		2		6 3						n x					3				12								n
		2		6 3						n x					3				12								n

								cos													2 1									1 .
		3	n n									3			0				n
		3	n n									3			0				n
вид			Таким образом, ряд Фурье, содержащий только косинусы, имеет
вид																														1 n 1cos n x .
									f	x 3 2x 12																				1 n 1cos n x .

																					n 1			2														3
																							n
			3. Разложить в ряд Фурье функцию f x 3 2x,x 0,3 (см.
рис.14) так, чтобы разложение содержало и синусы, и косинусы.
			Доопределим функцию на 3;0 таким образом, чтобы функция
не оказалась четной или нечетной. Например:
f x					3 2x, x 0,3 ;
f x							,x 3,0											(рис.19).
					0		,x 3,0

Рис.19

Рис.20

Функция экстремумов не имеет, имеет одну точку разрыва x 0 первого рода, удовлетворяет всем условиям теоремы Дирихле и может быть разложена в ряд Фурье (рис.20). Вычисляем коэффициенты ряда (l 3).

												1 0							3							1	3x x2			3
							a0								0dx 3 2x dx																0;
							a0								0dx 3 2x dx																0;
												3 3							0							3				0
																												u 3 2x; dx 2dx;
			1 0						n x									3					n x									n x
an					0 cos									dx 3 2x cos											dx			dv cos						dx;
an					0 cos					3				dx 3 2x cos								3			dx			dv cos						dx;
			3 3							3								0				3								3
																												v	3		sin		n x
																												v	n		sin
																													n	3
	1						3				n x					3		3 3			n x
	1						3				n x					3		3 3			n x
		3 2x						sin												sin				2 dx
		3 2x						sin												sin				2 dx
	3						n						3					0 n				3
																0
																0
	1		6	3		cos			n x					3				6	1 n			1				6		1 1 n .
	1		6	3					n x					3				6								6
																	n 2									n 2
	3 n n									3				0
	3 n n									3				0

Теперь вычисляем коэффициенты bn :

																										u 3 2x; dx 2dx;
	1		0				n x					3		3 2x sin						n x										n x
b			0 sin							dx													dx			dv sin							dx;
																					3

n		3 3				3						0																			3
																										v		3	cos			n x
																										v			cos
																												n			3
			1					3					n x			3		3 3					n x
			1					3					n x			3		3 3					n x
					3 2x						cos										cos			2 dx
					3 2x						cos										cos			2 dx
			3					n							3			0 n				3
																0
																0
				1			n		9					6			3			n x			3		3
							n																3
						9 1													sin								1 n				1 .
						n				n									sin								1 n				1 .
			3			n				n				n n							3				n
																							0
																							0

Итак, ряд Фурье имеет вид

	6	n		n x	3	n		n x
		1 1	cos			1	1sin
	2
				3	n			3	.
n 1	n

Заметим, что рассматриваемую функцию f x 3 2x,x 0,3 можно продолжать на промежуток 3;0 бесконечным числом способов. Поэтому можно получить бесконечно много вариантов разложения ее в ряд Фурье.

Упражнения.

1. Разложить функции в ряд Фурье, использовав их четность или нечетность:

2. Разложить функцию f x 5 3x, x 0,4 в ряд Фурье: а) ряд Фурье должен содержать только косинусы; б) ряд Фурье должен содержать только синусы; в) рассмотреть продолжение функции вида

5 3x, x 0,4 ;		и разложить его в ряд Фурье;
f x
0 ,x 4,0

г) рассмотреть продолжение функции вида
5 3x,x 0,4 ;		и разложить его в ряд Фурье.
f x
5x , x 4,0

§ 4. Интеграл Фурье

Если функция f x удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном отрезке оси Ox и абсолютно интегрируема вдоль всей оси

(т.е. f x dx сходится), для нее справедлива интегральная формула

Фурье

	1
f x			dz f u cosz u x du.

		0

Данная формула получается предельным переходом из ряда Фурье периодической функции с периодом 2l при l . В точках раз-

рыва первого рода x0 значение функции по-прежнему принимается

равным	1	f x	0 f x	0	0 .

	2	0

Для четной функции интеграл Фурье может быть представлен в виде

f x	2
		coszxdz

		0

а для нечетной функции − в виде

f x	2
			sinzxdz

		0	0

f u coszudu,

f u sinzudu.

Рассматриваются также интегральные преобразования Фурье. 1. Косинус-преобразование Фурье (для четных функций):

			2
fc	z				f x coszxdx (прямое);

				0
		2
f x				fc z coszxdz (обратное).

			0

2. Синус-преобразование Фурье (для нечетных функций):

			2
fs	z				f x sinzxdx (прямое);

				0
		2
f x				fs z sinzxdz (обратное).

			0

Синус- и косинус-преобразования Фурье могут применяться к функциям, заданным лишь на положительной полуоси Ox, если они абсолютно интегрируемы вдоль этой полуоси и удовлетворяют на любом ее конечном отрезке условиям Дирихле. При этом синуспреобразование продолжает функцию f x на отрицательную полуось нечетным образом, а косинус-преобразование – четным. Стоит отметить, что в интегральных формулах Фурье все интегралы вида

f u du понимаются в смысле главного значения, т.е.

	N
f u du	lim f u du.
	N N

Примеры.

1. Найти синус- и косинус-преобразования функции:

1, если0 x 2;

1	, если x 2;
f x	, если x 2;
3

0, если x 2.

Находим косинус-преобразование данной функции:

	z					2		f u coszudu															2	2									2
fc						2																	2		coszudu								2	0 coszudu
fc																									coszudu									0 coszudu
							0																	0										0
					2									sin2z
		2			2						2			sin2z
					coszudu														.
					coszudu										z				.
		0													z
			Теперь найдем синус-преобразование:
																								2
	z					2		f u sinzudu													2			2							2
fs						2															2			sinzudu							2			0 sinzudu
fs																								sinzudu										0 sinzudu
							0																	0										0
				2									1 cos2z
		2		2						2			1 cos2z
					sinzudu																.
					sinzudu											z					.
		0														z
			Отсюда получаем																								1, если0 x 2;
																											1, если0 x 2;
												2 sin2z
												2 sin2z															1
																						cosxzdz								, еслиx 2;
																		z				cosxzdz								, еслиx 2;
											0							z										3
																											0, еслиx 2
			и
			и																								1, если0 x 2;
																											1, если0 x 2;
									2 1 cos2z
									2 1 cos2z																		1
																					sinxzdz								, если x 2;
																z					sinxzdz								, если x 2;
								0								z											3
																											0,если x 2.

			2. Найти синус- и косинус-преобразования функции f x e x
(x 0).

			Поскольку fc z														2					e xcoszxdx										2				1	,
																	2															2				1
																																			z
																				0															z	2 1
																										z
а fs z							2															2
							2	e xsinzxdx														2					, то, применив косинус- и си-
								e xsinzxdx																		z2 1	, то, применив косинус- и си-
								0																		z2 1										fs z , получим функ-
нус-преобразования Фурье к функциям fc z и																																				fs z , получим функ-
цию f x , т.е.

2 coszx

dz e

2 zsinzx

dz e

z2 1

0 z2 1

Получили интегралы Лапласа:

coszx

zsinzx

z2 1

Упражнения.

1. Найти преобразование Фурье функции

ex при 1 x 0;

а) f x cos

при

;

б) f x

при 0 x 1;

;

0 при

x 1при 1 x

;

при

;

в) f x

x 1 при

x 1;

при

2. Найти косинус- и синус-преобразования Фурье функции

1при 1 x

;

f x

0 при

;

x 1.

1 при

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

1.Доказать сходимость ряда, пользуясь определением сходимости. Найти сумму ряда.

2.Исследовать сходимость знакоположительных рядов.

3.Исследовать сходимость знакопеременных рядов и установить характер сходимости (условная, абсолютая).

4.Найти область сходимости степенного ряда.

5.Найти сумму степенного ряда.

6.Разложить данную функцию f x в ряд :

а) Тейлора по степеням x x0 , используя определение ряда; б) Маклорена, пользуясь известными разложениями элементарных функций. Указать области, в которых эти разложения справедли-

вы.

7.а) Вычислить значение определенного интеграла с точностью до 0,0001;

б) Вычислить значение функции с точностью до 0,001.

8.Методом последовательного дифференцирования найти первые 4−5 членов разложения в ряд решения дифференциального уравнения.

9. Разложить данную функцию f x в ряд Фурье в указанном интервале. Построить график функции и график суммы ряда Фурье.

10. Разложить функцию f x , заданную на интервале l , l , в ряд Фурье по косинусам (четные варианты), по синусам (нечетные варианты). Построить график функции и график суммы ряда Фурье.

Вариант 1

n 2

n 1n2

2n 1

2. а)

;

б)

;

2 n2

n 1

n 13n 5

1 n 1 3n 2

1 n

3. а)

;

б)

;

6n 5

n 1

n 17n 1

	3n 1
в)		.

n 1n2n

	1 n n2
в)		.

n 1 n 1!

x 3 n

4. а) ;

n 1 n 4n

	n 1
б)		x

n 13n 1

2n 3 ; в) x 5 2n .

n 1 n 2 !

x2n 1

n 12n 1

6. а) f x x4 5x2 5 ; x0 2;

б) f x 2 x e x.

7. а) e 7 dx ;

б) 3 7.

8. y x2

4; y 1 1.

9. f x =x2 x, 1 x 1.

cos2x,0 x

;

10. f x

x .

Вариант 2

n 12n2

3n 1

2n 1

2. а) 5 3n 2 ;

б) 1 ;

в) 2n 3

n 1

2n 4

3n 2

1 n

n 3n 4

3. а)

;

б)

;

в) 1

3n 2

n 15

2n 3

n 15n

n 1

n 2

x 5 2n 1

2 n

n 6n 4

4. а)

; б)

;

в) x 1

2n 4n

5n 3

n 1

n 1 lnn

n 1

n xn-1 .

n 1

; x0 2; б) f x xln 1 x2 .

6. а) f x

7. а) 3 1 x3dx;

б) cos

y sinx y3;

y 0 1.

0, 2 x 0;

f x

2x,0 x 2.

x ,0 x

;

10. f x

x .

Вариант 3

n 1n2

2n 3

5n 2 2n 5

3n 2

2. а)

;

б)

;

в)

7n 11

n 1

n 14 4n2 1

n 1

ln2n

1 n 2 n3

sinn

3. а) 1

;

б)

; в)

3n 1

n 1

n 1 n5

x 2 n 1n!

x 3 n

4. а)

;

б)

;

в) x

400n

5n 3 n

n 1

n 14 2n 3n

n 1

n xn-1

n 1 3n

6. а) f x 2x ; x0 0;

б) f x

1 x 2x2

dx; б) ln 1,3.

7. а) cos

8. y lnx xy2 ; y 2 1.

0, 2 x 1;

9. f x x 2, 1 x 1;

1 x 2.

10. f x

0 ,0 x 2;

1,2 x 5.

Вариант 4

n 12n2

n 1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.2021996.83 Кб21248.pdf
#
07.01.2021997.2 Кб11249.pdf
#
07.01.2021300.65 Кб0125.pdf
#
07.01.20211 Mб01250.pdf
#
07.01.20211 Mб11251.pdf
#
07.01.20211 Mб01252.pdf
#
07.01.20211 Mб11253.pdf
#
07.01.20211 Mб11254.pdf
#
07.01.20211.01 Mб21255.pdf
#
07.01.20211.01 Mб71256.pdf
#
07.01.20211.01 Mб11257.pdf