1252

Упражнения. Методом неопределенных коэффициентов проинтегрировать следующие дифференциальные уравнения и определить область существования полученного решения:

1.y x2 y 0;

2.y x 2y; y 0 0 (в силу начального условия положить

a0 0);

3.y xy 0;

4.y xy y 0;

5.y xy 2y 0.

Проинтегрировать приближенно с помощью ряда Тейлора следующие дифференциальные уравнения, взяв несколько первых ненулевых членов разложения (метод последовательного дифференцирования).

y x 2y2;

y 0 0;

Раздел 4. РЯДЫ ФУРЬЕ

§ 1. Тригонометрический ряд

Тригонометрическим рядом называется ряд вида

a20 a1cosx b1sinx a2cos2x b2 sin2x ancosnx bnsinnx

Постоянные a0 ,a1, ,an , ,b1,b2 , ,bn , называются коэффициентами ряда. Тригонометрическим рядом называют также ряд

73

a20 a1cos lx b1sin lx a2cos2 lx b2 sin2 lx

ancosn x bnsinn x l l

Все члены ряда − периодические функции с периодом 2l. Тригонометрические ряды начал изучать Даниил Бернулли в

1753 г. в связи с изучением колебаний струны. В связи с тем, что в то время понятие функции не было точно определено, возникли горячие споры о возможности разложения функции в тригонометрический ряд. В обсуждении участвовали Эйлер, Даламбер, Лагранж.

Формулы, выражающие коэффициенты ряда через данную функцию, были найдены Клеро в 1757 г., но не привлекли к себе внимания. Эйлер вновь получил эти формулы в 1777 г. Фурье наметил доказательство этих формул в 1823 г. Развивая идеи Фурье, Дирихле установил и строго доказал достаточный признак разложимости функции в тригонометрический ряд в 1829 г. В разработку теории тригонометрических рядов и их использований важный вклад внесли Н.И.Лобачевский, Н.Н.Лузин, Н.К.Бари, А.Н.Колмогоров и др.

Две функции x , x называются ортогональными в проме-

b

жутке a,b , если интеграл x x dx равен нулю.

a

Пример.

1. Функции x sin5x и x cos2x ортогональны на промежутке , .

Действительно,

Теорема. Любые две различные функции из системы функций

1, cosx, cos2x, cos3x, ,sinx,sin2x, sin3x,

ортогональны на промежутке , , т.е.

74

(m,n − натуральные числа ).

Заметим, что если вместо двух разных функций взять две одинаковые, то получим следующие значения интегралов:

где коэффициенты ряда вычисляются по формулам:

Если ряд Фурье сходится, то его сумма S x есть периодическая функция с периодом 2l, т.е. S x 2l S x .

Теорема Дирихле. Пусть функция f x непрерывна на сегментеl,l за исключением конечного числа точек разрыва 1-го рода. Если при этом на l,l имеется лишь конечное число экстремумов (или их вовсе нет), то ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке сегмента l,l и сумма S x ряда:

1.S x f x во всех точках непрерывности функции f x из

промежутка l,l .

75

Примеры.

1. Разложить в ряд Фурье функцию f x 2x 4, заданную на промежутке , (рис.6).

Функция задана на , , является непрерывной, экстремумов не имеет, т.е. удовлетворяет всем условиям теоремы Дирихле, может быть разложена в ряд Фурье (рис.7). Вычислим коэффициенты ряда.

76

(рис.8).

Функция задана на интервале 3,3 , т.е. l 3. Экстремумов функция не имеет, при x 1 имеет разрыв первого рода. Это означает, что она удовлетворяет всем условиям теоремы Дирихле и может быть разложена в ряд Фурье (рис.9). Вычисляем коэффициенты ряда.

77