1252

Теорема Римана. В каждом условно сходящемся ряде можно так переставить члены, что новый ряд будет иметь суммой любое наперед заданное число. Можно, кроме того, так переставить члены, что получится расходящийся ряд.

При этом абсолютно сходящиеся ряды близки по своим свойствам к конечным суммам:

Теорема. Пусть ряд an (с членами произвольных знаков) абсолютно сходится. Тогда любой ряд, полученный из него перестановкой членов, сходится абсолютно, его сумма будет равна сумме данного ряда.

§5. Группировка членов ряда

В отличие от переместительного свойства (которое верно только для абсолютно сходящихся рядов ) сочетательным свойством обладает всякий сходящийся ряд. То есть во всяком сходящемся ряде можно, не меняя порядка слагаемых, объединить их в какие угодно группы.

Сложив члены внутри всех групп, получим новый ряд. Он будет сходящимся, его сумма будет равна сумме исходного ряда.

по признаку Лейбница. Сгруппируем члены ряда, например, так :

Сложим члены внутри группы, получим

также совпадает с суммой исходного ряда.

Замечание. Обратное действие , т.е. раскрытие скобок, возможно если только после раскрытия скобок получится сходящийся ряд. Если

33

исходный ряд сходится, а после раскрытия скобок расходится, скобки раскрывать нельзя.

Пример.

1. Рассмотрим геометрическую прогрессию 0,1 n . Поскольку

0,1 0,01 0,001 0,0001 1 0,9 1 0,99 1 0,999 .

Раскрыв скобки, получим ряд 1 0,9 1 0,99 1 0,999 . Частичные суммы получившегося ряда с четными номерами имеют пре-

делом 1:

9

Раздел 3.ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

§1. Понятие функциональных рядов

Функциональным рядом называется выражение

34

u1 x u2 x u3 x un x un x ,

n 1

здесь ui x i 1,2,3 − (члены ряда) функции одного и того же аргу-

мента x, определенные в некоторой области Х . Переменная x может принимать бесконечное множество значений. Поэтому с каждым функциональным рядом связано бесконечно много числовых рядов, которые получаются, если вместо x подставить числовые значения изa ,b . При одних значениях ряд будет сходиться, а при других расходиться.

Множество всех значений x, при которых данный функциональный ряд сходится, называют его областью сходимости.

S x lim Sn x lim u1 x u2 x un x .

n n

Вне области сходимости функциональный ряд суммы не имеет.

Пример. Найти область сходимости функционального ряда

1. 1 x 1 2x2 1 2 3x3 1 2 nxn .

Члены ряда − это функции, определенные на промежутке , . Заметим, что при x 0 ряд очевидно сходится. Теперь предположим, что x x0 0. Теперь числовой ряд

1 x0 1 2x02 1 2 3x03 1 2 nx0n

исследуем по признаку Даламбера:

поэтому ряд расходится.

Итак, функциональный ряд n! x0n сходится только в одной точке x 0. Его сумма равна нулю S 0 0.

Члены ряда – это функции, определенные на всей числовой оси, . Областью сходимости ряда является также вся ось, . Действительно, по признаку Даламбера мы получаем

35

Сумма ряда – это функция, определенная на всей числовой прямой.

Представим сумму ряда в виде S x Sn x Rn x , где

Sn x u1 x u2 x un x n-я частичная сумма. Rn un 1un 2 остаток функционального ряда.

Сходящийся функциональный ряд un x называется равномер-

n 1

но сходящимся в некоторой области X , если для каждого сколь угодно малого числа 0 найдется такое целое положительное число N , что при n N выполняется неравенство Rn x для любого x из

36

области X . При этом сумма S x равномерно сходящегося ряда

все частичные суммы (получается точное значение S 2). При ос-

тальных значениях x сумма ряда равна S x 2 1 x, так что остаток

x 0,3 требуемая точность обеспечивается, начиная с номера N=2.

членов мало, нужно взять по меньшей мере три:

для x 0,5 требуемая точность обеспечивается, только начиная с номера N 4, при x 0,6 начиная с номера N 5, а при x 0,8 придется взять N 11. По мере приближения x к 1 число N неограниченно возрастает, так что для всех значений x сразу никакой номер N не может обеспечить точность до 0,1 ( а более высокую точность тем более ). Это означает, что функциональный ряд сходится неравномерно на 0,1 .

2. Покажем, что тот же ряд сходится на промежутке 0;0,5 равномерно.

37

Пусть точность вычислений равна 1 0,1. При x 0,5 эта точ-

в промежутке 0;0,5 семи членов и подавно достаточно. Заметим, что тот номер N , который обеспечивает точность до при x 0,5, всегда обеспечивает ту же точность сразу для всех значений x в промежутке 0;0,5 . Это означает, что в этом промежутке ряд сходится равномерно.

Признак Вейерштрасса ( достаточный признак равномерной сходимости). Если функции u1 x ,u2 x ,u3 x , ,un x , по абсолютной величине не превосходят в некоторой области X положи-

ся, то функциональный ряд un x в этой области сходится равно-

n 1

мерно.

Примеры. Рассмотрим зависимость непрерывности суммы функционального ряда от равномерной сходимости ряда.

38

этого ряда – непрерывная функция, поскольку ряд сходится равномерно и члены ряда – непрерывные функции.

2. Все члены ряда

2 1 x 1 x 1 x2 1 x 1 x3 1 x 1 xn 1 1 x

являются непрерывными функциями. Сумма ряда

разрывная функция при x 1. Отсюда можно сделать вывод, что ряд сходится неравномерно на 0,1 . Этот результат мы уже получали на стр. 34.

3. Покажем, что ряд может сходиться неравномерно на некотором промежутке, его сумма при этом будет непрерывной.

Ряд x x2 x2 x4 x x2 x2 x6 x2 x4 с об-

щим членом un x xn x2n xn 1 x2n 1 сходится в промежутке0,1 неравномерно, но имеет непрерывную сумму S x 0 .

Действительно, частичная сумма ряда Sn x xn x2n , и для каждого отдельного значения x из промежутка 0,1 это выражение стремится к нулю. Так что ряд сходится и имеет сумму S x 0. При этом остаток ряда Rn x S x Sn x xn x2n нельзя сделать

меньшим, чем 1 сразу для всех рассматриваемых значений перемен- 4

ной, т.к. каково бы ни было n, остаток ряда (по модулю) равен 1 при

Промежуток a,b принадлежит области X .

39

равномерно по признаку Вейерштрасса, т.к. его члены не превосходят по модулю соответствующих членов сходящегося знакоположитель-

По теореме о почленном интегрировании равномерно сходящихся рядов получаем равенство (0 x 0,5).

0x dx 0x 2xdx 0x nxn 1dx 0x S x dx 0x 1 dxx 2 1 1x 1.

Полученный результат легко проверить, поскольку ряд, полученный почленным интегрированием

x x x

dx 2xdx nxn 1dx x x2 x3 ,

0 0 0

является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Замечание. Если ряд un x сходится неравномерно, то почлен-

n 1

ное интегрирование не всегда допустимо.

2. Неравномерно сходящийся в промежутке 0;1 ряд

x x2 x2 x4 x x2 x2 x6 x2 x4 0

можно интегрировать почленно в пределах от 0 до 1:

Действительно, интеграл от частичной суммы исходного ряда

40

мится к нулю при n . 3. Ряд

x x2 2 x2 x4 x x2 3 x3 x6 2 x2 x4

с общим членом un x n xn x2n n 1 xn 1 x2n 2 сходится в промежутке 0;1 и имеет непрерывную сумму S x 0. Следова-

1

тельно, S x dx 0. В то же время почленное интегрирование в пре-

0

делах от 0 до 1 дает не нуль, а 1:

2

Итак, к данному ряду нельзя применять теорему о почленном интегрировании.

Теорема (дифференцирование функционального ряда). Пусть функции u1 x ,u2 x , ,un x , определены в некоторой области X и

имеют в этой области производные u1 x ,u2 x , ,un x , . Если в

этой области ряд u x сходится равномерно, то его сумма равна

n

n 1

производной от суммы первоначального ряда:

Пример.

41

ленный из них ряд 1 2x nxn 1 равномерно сходится на этом промежутке. Поэтому сумма ряда производных равна производной от суммы исходного ряда:

1 2x nxn 1 1 xx 1 1x 2 .

Замечание 1. В теореме нет требования равномерной сходимости

ряда un x , однако это условие автоматически выполнено в силу

n 1

теоремы о почленном интегрировании.

Замечание 2. Даже при равномерной сходимости ряда un x и

может оказаться неравномерно сходящимся. Тогда его сумма иногда равна, а иногда не равна производной от суммы исходного ряда. От-

метим, что ряд u x может оказаться даже расходящимся. Напри-

n

n 1

числовой прямой по признаку Вейерштрасса, а ряд из производных cosx 22cos24 x n2cosn4x расходится для бесконечного множества значений , например, для x 0.

2. Проверим, можно ли к ряду

применить теорему о почленном дифференцировании рядов. Сравним этот ряд со сходящимся при любом x рядом

42