1252

Примеры.

можно найти по формуле вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Последовательно дифференцируем это равенство, получаем ряды с тем же интервалом сходимости:

димость в точке x 1 нарушается.

Теорема 2. Ряд, полученный почленным интегрированием степенного ряда a0 a1x a2x2 anxn S x в пределах от нуля до x( промежуток интегрирования не выходит за пределы интервала сходимости), имеет тот же радиус сходимости и его сумма равна

x

S x dx:

0

Замечание. Если степенной ряд сходился на одном из концов интервала R;R , то и после интегрирования сходимость сохранится в этой точке. Более того, после интегрирования ряд может сходиться в точках x R, даже если до интегрирования он расходился на кон-

53

цах интервала, то есть после интегрирования сходимость ряда улучшается.

3. Радиус сходимости геометрической прогрессии

1 x2 x4 x6 1 n x2n 1 1 x2

равен единице. Интегрируем почленно при x 1, получаем

Радиус сходимости полученного ряда тоже равен единице. Одна-

ко заметим, что в точке x 1 ряд 1 n x2n расходился, а после ин-

n 1

тегрирования получился сходящийся (по признаку Лейбница) ряд. Таким образом, получаем

В точке x 1 оба ряда (и до, и после интегрирования) расходят-

ся.

4. Проинтегрируем почленно ряд

где x − любое число.

В результате находим разложение для cosx:

cosx 1 x2 x4 x6 (R ). 2! 4! 6!

Упражнения. Применяя теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании степенных рядов, найти суммы рядов:

54

При x0 0 получаем формулу Маклорена (степенной ряд, распо-

ложенный по степеням x):

f x f 0 f 0 x f 0 x2 f 0 x3 f n 0 xn

55

В результате расчетов получаем ряд

лора по степеням x 5, поскольку в точке x0 5 функция и ее производные не определены.

Замечание 2. Функцию f x 3x нельзя разложить в ряд Маклорена (т.е. по степеням x), поскольку производная данной функции не определена при x0 0. Однако эту функцию можно разложить в ряд Тейлора в другой точке, например в точке x0 1:

Упражнения. Разложить функции в ряд Тейлора в точкеx0:

§6. Разложение функций в степенные ряды

Разложить функцию f x в степенной ряд, расположенный по степеням x x0, это значит составить ряд вида

радиус сходимости которого отличен от нуля, а сумма тождественно равна данной функции всюду внутри интервала сходимости.

Теорема. Если функция f x разлагается в степенной ряд (6), то разложение единственно, и ряд (6) совпадает с рядом Тейлора, расположенным по степеням x x0.

Доказательство. Из условия в интервале сходимости имеем тождество

f x a0 a1 x x0 a2 x x0 2 an x x0 n .

Из теоремы о дифференцировании степенных рядов получаем тождества:

f x a1 2a2 x x0 3a3 x x0 2 4a4 x x0 3 ;

56

и т.д.

Теперь подставим в полученные равенства x x0, получим

и т.д.

Итак, разложение функции в степенной ряд единственно и совпадает с рядом Тейлора для функции f x .

Примеры.

1. Найти значение пятой производной от функции f x x

1 x2

при x 0.

Непосредственное вычисление производной займет много времени. Разложим функцию в ряд, расположенный по степеням x, выпол-

няя деление x : 1 x2 . Получается разложение

Интервал сходимости этого ряда 1;1 . Данный ряд есть ряд Тейлора функции f x , расположенный по степеням x. Значит, ко-

Теперь найдем интервал и радиус сходимости получившегося ряда. Для этого применим признак Даламбера к ряду из модулей

57

n 1!

ченное разложение сходится при x , R . 3. Разложить в ряд при x 0 функцию f x е x.

Разложение можно получить, вычисляя значения функции и ее производных в точке x 0 так же, как в примере 2. Но мы воспользу-

емся тем, что уже знаем разложение функции f x еx. Заменим x на x, получим

Поскольку было использовано разложение с R , то получившееся разложение тоже имеет радиус сходимости R .

4. Разложить в ряд при x 2 функцию f x е x.

Разложение функции получим, используя полученные ранее раз-

ложения. Сделаем преобразования: f x е x e x 2 2 1 e x 2 . e2

f x xе x x 3 3 e x 3 3 e3 x 3 e x 3 3e3e x 3 .

Теперь используем разложение в ряд функции e x, заменяя x на x 3:

58

Радиус сходимости ряда R .

6. Разложить в ряд по степеням x(при x 0) функию f x sin x. Разложение выполним, используя формулу Маклорена. Найдем

значение функции и ее производных при x 0:

Интервал сходимости данного ряда x . Радиус сходимости R .

7. Разложить в ряд по степеням x функцию f x cosx.

Радиус сходимости при этом не изменяется:R . 8. Разложить в ряд по степеням x функцию f x tg x.

Поскольку tg x sin x , разложение функции tg x в ряд получим cosx

Закон следования коэффициентов не выражается элементарной формулой, поэтому разыскать радиус сходимости затруднительно. Но

59

6.ctg x не разлагается в ряд по степеням x, поскольку ctg0 ;

7.sh x x x3 x5 x7 , R ;

1! 3! 5! 7!

60