гидромеханика нефти

ЛАМИНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

325

Из формулы (16.49) видно, что для определения констант η

и τ 0 не-

обходимо измерить две пары значений M, Ω .

III. Степенная жидкость. Для степенной жидкости в соответствии с фор-

мулой (16.17)

f(τ ) =

τ

1

, s(τ a) = 0 .

γ =

n

(16.50)

k

Подставив выражение (16.50) в формулы (16.23) и (16.24), с учетом

равенства (16.20), получим, соответственно,

1

1+ n

n

1

n+ 1

v(r) =

n

τ a n

τ n

n

+ 1

∆

p n

r n

=

n

1 −

a

a

n +

1

k

τ a

n + 1

2kl

a

τ a

1

3n+ 1

1

Q =

n

3

n

=

n

∆ p n

n

π a

π a

,

(16.51)

+ 1

3n + 1

3n

k

2kl

четные степени τ

−

τ 0 . Следовательно,

0 ,

τ ≤

τ 0 ,

γ

=

f(τ −

τ

0 ) =

n

bk (τ

− τ ) 2k+ 1,

τ ≥ τ , s( τ a) = 0 ,

(16.52)

∑

0

0

k=

0

где bk, τ 0

–

ма–Шведова,

при τ i <

τ 0

течения не происходит. При M >

M0 =

2π Ri2τ 0

сдвиговое течение происходит в зазоре

Ri <

r < r0 =

M

,

2πτ

0

а при r0

< r <

Re

жидкость вращается с постоянной угловой скоростью, то

есть как твердое тело. При M ≥

2π Re2τ 0

сдвиговое течение охватывает всю

область

Ri

<

r <

Re . В соответствии с формулами (16.34) и (16.49) при

τ i > τ >

τ e

v

1

n

τ i (τ − τ 0) 2k+ 1

=

∑bk ∫

dτ ,

Ri < r < r0,

r

2

τ

k= 0

τ

v

1

n

τ i (τ − τ 0 ) 2k + 1

=

Ω

=

∑bk ∫

dτ = const, r0 < r <

Re .

(16.54)

r

2

τ

k =

0

τ 0

(Ri <

r < Re )

При τ e

>

τ 0

распределение скоростей во всем зазоре

ЛАМИНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

327

(5.30), можно утверждать,

что перепад давления ∆ p

на длине l в трубе

диаметром d представляется соотношением вида

∆ p =

ϕ (l, d, ρ , w,α 1,α 2 , ...,α n ) .

(16.57)

∆

p = λ

l ρ w2

,

d

2

где

λ = λ (Π 1, Π 2 , ..., Π n ) ,

(16.58)

причем величины

α

Π

i =

i

d

β ρ

γ wδ

(16.59)

328

ГЛАВА XVI

где

ρ wd

τ 0

Π 1 =

Π 2 =

.

(16.60)

η

,

ρ w2

2

π a4

∆ p

4 2l τ 0

1

2l

τ 0

4

Q = π a w =

1 −

+

(16.61)

8η

l

3 a ∆ p

a

3

∆ p

или

d2

∆ p

4 4l

τ 0

1

4l τ 0

4

w =

1 −

+

.

(16.62)

32η l

3 d ∆ p

3

d ∆ p

Очевидно, что для получения соотношения вида (16.37) необходимо

соотношение (16.62) разрешить относительно ∆

p . Положим

∆ p =

4lτ 0

z

(16.63)

d

z4 −

4

α z3 +

1

=

0 ,

(16.64)

3

3

где

τ 0d .

α

=

1 +

6

A =

(16.65)

,

A

η w

Используя стандартную методику решения уравнений четвертой сте-

пени, получаем выражение для корней уравнения (16.64)

=

c

±

1 −

3b

(16.66)

z1,2

1

c(c −

α )

,

3

z3,4 =

−

c −

2α

±

1 −

3b

(16.67)

1

(c − α )( c −

,

3

2α )

где

b = 3 α 2 +

α 4 − 1 + 3 α 2 −

α 4 − 1 =

2

3

− 4 +

3

2

(16.68)

= α

+

1 − α

1

−

1 − α

= α 3 β ,

3

1

− 4

c =

α

+

3 b +

α

2 .

(16.69)

2

ЛАМИНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

329

Рассмотрим подкоренное выражение в формуле (16.67). В соответст-

вии с равенством (16.69)

3b = 2(c − α ) 2 − 2α 2 ,

то после элементарных преобразований имеем

1 −

3b

= −

c + α

.

(c − α )( c − 2α )

c − α

Так как в соответствии с формулой (16.65)

α

> 1, то из равенств (16.68)

и (16.69) следует, что b и с величины вещественные, причем b >

0, c > α .

Таким образом,

c +

α

1 −

3b

= −

< 0 ,

(c − α )( c − 2α )

c − α

и корни z3,4 – комплексные.

Перейдем к рассмотрению корней

z1,2 . Непосредственной проверкой,

используя равенство (16.68), можно убедиться, что

b3 − 3b − 2α 2 = 0 ,

и из формулы (16.69) имеем

Ò = α

+

b3

(16.70)

.

2

Подставив это выражение в формулу (16.66), получаем

c

6

z1,2

=

1 −

(16.71)

3

1 ±

2b

.

c

Из формул (16.68) и (16.69) следует, что при α

=

1

b=

2, c=

3 и

db

=

2α

3

α

2

+

α

4

− 1

−

3

α

2

−

α

4

−

dα

α

1 ,

3

4 − 1

откуда ddbα > 0

при α

>

1. Таким образом, функции b(α )

и c(α )

монотон-

но возрастают с ростом α и

6

<

1 .

c

2b

Итак, корни z1,2

– вещественные. Для их дальнейшего анализа пере-