Физика_лек_pdf / Модуль 3. Молекулярная физика. Кинематика и динамика жидкостей и газов

где S — новая постоянная, называемая постоянной Сѐзерленда . Она имеет размерность температуры. Формула (87.2) также называется формулой Сѐзерленда .

4. Если эффективное сечение ζ существенно зависит от относительной скорости сталкивающихся частиц, то формулы (86.14) и (86.15) следует писать в виде

(87.3) (87.4)

причем усреднение должно быть произведено по всему спектру относительных скоростей частиц газа , в частности по максвелловскому распределению, если таковое установилось. Формулы (87.3) и (87.4) применяются при расчете скоростей химических и термоядерных реакций. В этих случаях ζ очень сильно зависит от v отн . (Для воспламенения горючей смеси надо нагреть ее до некоторой минимальной температуры!) Формула (87.3) дает среднее число реакций в единице объема в единицу времени, когда все реагирующие частицы одинаковы, а формула (87.4) — когда реакции происходят между разными частицами. Если в каждой реакции выделяется энергия Е , то, очевидно, энергетическая мощность «реактора», отнесенная к единице объема, будет

Р = v E . (87.5)

Ослабление пучка молекул в газе

1. Допустим, что в газе распространяется параллельный пучок молекул . Это может быть внешний пучок, состоящий из молекул другого газа. Но пучок может состоять и из молекул mo г o же газа . Можно представить себе, например, что в какой-то момент времени в газе отмечены молекулы с определенным направлением скорости.

Рис . 79

Пусть J 0 — интенсивность пучка, когда он пересекает плоскость АВ , перпендикулярную к нему (рис. 79). Найдем интенсивность J того же пучка на рас стоянии х от плоскости АВ . Возьмем бесконечно тонкий слой газа с толщи ной dx и площадью поперечного сечения S = 1. Число молекул газа в нем равно nSdx = п dx . Согласно определению эффективного сечения (87.1) среднее число частиц, выбывающих из пучка, из-за, столкновений с одной молекулой газа, равно J ζ , а из-за столкновений с п dx молекулами dN = J ζndx = ( J / λ ) dx . На такую величину уменьшится интенсивность пучка после прохождения слоя dx . а потому

(88.1)

Интегрирование этого выражения дает

(88.2)

Из-за рассеяния интенсивность пучка убывает экспоненциально. В связи с этим величину 1/λ называются коэффициентам рассеяния . Согласно формуле (88.1) величина dx / λ определяет вероятность рассеяния на пути dx , а 1/λ — вероятность рассеяния , на единице длины . Формуле (88.2) можно также дать следующее толкование. Если N 0 — число частиц, прошедших через площадку АВ , то число частиц, прошедших без столкновения расстояние х . определяется выражением

N = N 0 e – x / λ . (88.3)

Число частиц, претерпевших столкновение в слое (х , х + dx ), равно | dN | = (1/ λ ) N 0 e – x / λ dx . Средний путь, пройденный частицами без столкновений,

Он, как и следовало ожидать, совпадает с длиной свободного пробега λ.

2.Формула (88.3) применима также к другому случаю, существенному для излагаемой ниже элементарной теории явлений переноса. Представим себе, что в некоторый момент времени скорости всех молекул газа изменили направления на противоположные, но сохранили свои модули. Такая замена не скажется на хаотичности движения молекул газа. Однако каждая молекула в точности повторит предшествующее движение, но в обратном направлении. Отсюда получается следующий результат. Пусть

площадку АВ пересекло N 0 молекул, двигавшихся перпендикулярно к ней. Отметим все эти молекулы. На расстоянии х перед площадкой АВ число отмеченных молекул будет N

=N 0 e – x / λ . По мере приближения к площадке АВ оно возрастает из-за, столкновений. Число отмеченных молекул, претерпевших столкновения между х и х + dx , определяется прежним выражением

3.На формуле (88.2) или (88.3) основан прямой метод измерения длины свободного пробега. Этот метод был предложен и осуществлен М. Борном и К. Борман в 1921 г.

Рис . 80

Идея опыта состояла в следующем. Путем испарения получался пучок атомов серебра, резко ограниченный диафрагмами. На пути пучка помещались 4 коаксильных диска на расстоянии 1 см друг от друга (рис. 80), в которых были вырезаны одинаковые круглые отверстия с центрами на оси системы. Через них и проходили атомы серебра. На каждом диске прикреплялся стеклянный квадрант, вершина которого лежала на оси системы. (На рис. 80 один из квадрантов изображен сбоку.) Квадранты были повернуты друг относительно друга на 90°, так что на каждый из них направлялась четвертая часть атомов пучка. Вся система помещалась в кварцевой трубке, давление воздуха в которой менялось с помощью насоса и измерялось манометром. Диски охлаждались жидким азотом. На пути от источника атомы серебра частично рассеивались молекулами воздуха, а затем конденсировались на квадрантах, стоящих на пути пучка. Пусть N 1 , N 2 , N 3 , N 4

— числа атомов серебра, осевших на квадрантах. Тогда, согласно формуле (88.3), должно быть

Аналогичные соотношения можно написать для каждой пары квадрантов. Отношение N 1 /N 2 можно было измерить по степени почернения стеклянных квадрантов, которая находилась путем фотометрирования. Затем, зная расстояние между дисками (х 2

– х 1 ), можно было найти и среднюю длину свободного пробега λ. Найденные таким путем значения λ удовлетворительно согласуются с результатами других методов, которые будут изложены ниже. Было показано также, что величина λ обратно пропорциональна давлению воздуха Р в трубке, как этого требует формула. (86.2).

4. Опыты Борна и Борман дают эффективное сечение рассеяния атомов серебра на молекулах воздуха. Более важным является случай, когда и пучок, и газ состоят из одинаковых молекул. Тогда средняя длина свободного пробега λ является характеристикой самого газа . Зная ее, можно вычислить эффективное поперечное сечение ζ по формуле (86.3), а затем найти и газокинетический диаметр молекулы, связанный с ζ соотношением ζ = π d 2 . Именно таким путем впервые Лошмидтом (1821– 1895) были определены геометрические размеры молекул.

Основные сведения о длинах свободного пробега были получены косвенными методами. Они основаны на изучении так называемых явлений переноса: вязкости, теплопроводности и диффузии. Строгая молекулярно-кинетическая теория

перечисленных явлений очень сложна. Она сводится к приближенным решениям так называемого кинетического уравнения Больцмана . Последнее является основным в

кинетической теории газов. В принципе оно позволяет найти функцию распределения молекул газа по координатам и скоростям не только в состоянии равновесия, но и тогда, когда в газе происходят различные процессы. Однако уравнением Больцмана мы пользоваться не будем. При изложении упрощенной теории вязкости и теплопроводности газов мы изберем значительно более простой путь, использующий понятие средней длины свободного пробега. В теории диффузии метод средней длины свободного пробега не всегда, удобен. Поэтому при изложении теории диффузии мы дополним его другим методом, основанным на соотношении Эйнштейна (91.3). Упрощенные теории охватывают все существенные черты явлений переноса. Только значения числовых коэффициентов в формулах получаются не совсем точными.

Вязкость и теплопроводность газов

1. Наличие вязкости в газах обычно иллюстрируют на следующем примере. Между двумя параллельными пластинками АВ и CD (рис. 81а ) находится воздух или другой газ. При движении пластинки CD появляется сила, действующая на пластинку АВ и направленная в сторону движения. Эта сила и есть сила вязкости . Впрочем, о вязкости можно говорить лишь тогда, когда расстояние между пластинками АВ и CD очень велико по сравнению со средней длиной свободного пробега молекулы газа. Тогда от наличия пластин можно отвлечься и говорить о силах, действующих внутри самого газа. Будем представлять себе газ неограниченным и движущимся стационарно плоскопараллельными слоями в горизонтальном направлении. Скорость этого макроскопического движения и меняется в направлении, перпендикулярном к слоям. Это направление мы примем за ось X

(рис. 81 б ).

Рис . 81

Таким образом, мы предполагаем, что и = и (х ). Рассечем мысленно газ на две половины плоскостью М N , параллельной слоям. Допустим для определенности, что скорость и (х ) возрастет с возрастанием х . Тогда верхняя половина газа будет действовать на нижнюю с силой, направленной вправо, а нижняя на верхнюю — с силой, направленной влево. Это и есть силы вязкости.

С молекулярной точки зрения происхождение сил вязкости объясняется следующим образом. Если бы газ покоился, то все направления скоростей его молекул были бы равновероятны. Средняя скорость и среднее количество движения каждой молекулы были бы равны нулю. При наличии упорядоченного движения газа средняя скорость молекулы не нуль, а равна и = и (х ). С этой скоростью связано количество движения g = mu , которым обладает рассматриваемая молекула. Такое количество движения условимся называть упорядоченным . Молекулы, лежащие над плоскостью АВ , обладают большим упорядоченным количеством движения, чем молекулы, расположенные под ней. Переходя

Пусть N из этих молекул прошли перед площадкой путь х без столкновений. Число N определяется формулой (88.3). Из нее находим, что число молекул, претерпевших последнее столкновение в слое между х и х + dx , равно

При столкновении в этом слое молекула получает количество движения g ( x ) и, двигаясь далее без столкновений, переносит его через площадку S . Количество движения, переносимое в единицу времени через площадку S всеми N 0 молекулами, определяется интегралом

Так как на длине свободного пробега, скорость и меняется мало, то функцию g ( x ) можно разложить по степеням х , оборвав это разложение на линейном члене, т.о. g ( x ) = g 0 + x ( dg / dx )0 . В этом приближении

Вычислив интегралы, найдем

(89.1)

Заметим, что это выражение можно записать в виде G + = (1/6) × n v g ( X ). Отсюда видно, что при вычислении G + можно рассуждать так, как если бы все молекулы , летящие к площадке S , претерпевали последние столкновения на расстоянии λ от этой площадки и далее двигались к ней без столкновений . Можно пользоваться доказанным положением для сокращения изложения при изучении и других явлений переноса. Отметим только, что концентрация n может меняться в пространстве. Однако это обстоятельство никак не отразится на справедливости формулы (89.1). Действительно, из вывода ясно, что под п следует понимать значение концентрации на самой площадке S , независимо от того, рассматривается ли верхний или нижний пучки молекул, участвующих в переносе величины g . Было бы грубой ошибкой считать, что концентрацию п надо брать на расстоянии ±λ от площадки S , где молекулы претерпели «последние столкновения». Такой способ расчета должен применяться только к переносимой величине , g , но не к концентрации п .

По аналогии с (89.1) можно утверждать, что молекулы, летящие снизу вверх, переносят в том же направлении количество движения

(89.1 a )

Полное количество движения, ежесекундно переносимое через площадку S в положительном направлении оси X (снизу вверх), найдется вычитанием (89.1) из (89.1а). Оно равно

(89.2)

Этот перенос проявляется в том, что вдоль плоскости M N действует вязкое касательное напряжение

(89.3)

где

(89.4)

Мы получили не только ньютоновский закон , вязкости (89.3), но и нашли выражение для самой вязкости η .

3. Но всякий тензор напряжений должен быть симметричным . В противном случае нарушался бы закон сохранения момента количества движения . Поэтому вязкие напряжения должны действовать не только в плоскостях течения газа, но и в плоскостях, перпендикулярных к ним. Необходимо поэтому выяснить, как возни кают эти

напряжения, и убедиться, что они удовлетворяют условию симметрии . Ориентируем с этой целью бесконечно малую площадку dS перпендикулярно к направлению течения газа (рис. 83). Таким образом, по-прежнему, предполагается, что газ течет параллельно оси Y , и рассматриваются группы молекул, тепловые скорости которых параллельны оси X . Из-за наличия молекулярного течения молекулы имеют боковую составляющую скорости и (х ). Благодаря этому в рассматриваемом случае и появляется поток молекул, пронизывающий площадку dS . Рассмотрим пучок молекул, приходящих сверху. На основании доказанного выше можно рассуждать так, как если бы все молекулы пучка совершили последние столкновения на расстоянии λ от площадки dS (измеренном вдоль оси X ) . Количество таких молекул, пронизывающих площадку dS в единицу времени, равно (1/6) nu λdS . Переносимое ими количество движения будет dG + = (1/6) m v nu λdS и направлено вниз. Поток молекул, приходящих снизу, будет меньше, а именно (1/6)пи (–λ) dS . Связанный с ними поток импульса равен dG – = (1/6) m v nu (–λ) dS и направлен вверх. Разность этих двух потоков

даст полный поток количества движения, переносимый через площадку dS вверх в

единицу времени. Он проявляется в появлении касательного напряжения

которое действует в плоскостях, перпендикулярных к направлению течения газа. Таким образом, мы выяснили происхождение «поперечных» касательных напряжений и доказали, что ηху = ηух .

Рис . 83

4. Можно было бы усовершенствовать рассуждения, не прибегая к искусственному разделению молекул на шесть взаимно перпендикулярных потоков. Будем считать сначала, что скорости молекул одинаковы по модулю, но распределены по направлениям изотропно. Рассчитаем касательное напряжение ηху , действующее в плоскостях, параллельных слоям текущего газа. Расчет касательных напряжений в перпендикулярных плоскостях ηу x производится аналогично. Число молекул в единице объема, скорости которых направлены под углами между и + d к нормали к площадке S (рис. 84), дается выражением (74.5), т.е. равно (1/2)п sin d . При подсчете переносимого ими количества движения можно рассуждать так, как если бы все они претерпели последнее столкновение на расстоянии λ от площадки, если это расстояние измерять в направлении движения молекулы, или на расстоянии λcos , если его измерять вдоль оси X . Рассматриваемые молекулы переносят сверху вниз количество движения

Рис. 84

Полное количество движения, переносимое сверху вниз, найдется интегрированием этого выражения по в пределах от = 0 до = π/2. Оно равно

Аналогично находится количество движения G – , переносимое снизу вверх. Для полного потока количества движения

получается такое же выражение, как и в более элементарном расчете, приведенном выше, а для η — прежнее выражение (89.4).

Теперь не представляет труда учесть разброс скоростей. Для этого надо только усреднить по всем скоростям произведения и λ, т. о. вместо (89.4) написать

(89.5)

Если же пренебречь зависимостью эффективного сечения ζ, а с ним и λ от скорости, то надо усреднять только v , т.е.

5. Совершенно так же может быть рассмотрено явление теплопроводности . Здесь вместо переноса количества движения речь идет о переносе энергии . В той области температур, где справедлива классическая теория теплоемкостей , энергия молекулы пропорциональна температуре и может быть представлена в виде ε = mc v T , где c v — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме. Пусть газ находится между двумя бесконечными проводящими плоскостями, перпендикулярными к оси X . причем температуры их Т 1 и Т 2 поддерживаются постоянными. Тогда будет происходить передача теплоты совершенно так же, как в аналогичном случае происходит передача, количества движения. Для вычисления потока теплоты q можно воспользоваться формулой (89.2), заменив в ней импульс g на энергию ε = mc v T . Тогда получится

Сравнивая эту формулу с (52.3), получаем для теплопроводности газа

(89.7)

Необходимо отметить, что концентрация в неравномерно нагретом покоящемся газе не может оставаться всюду одинаковой. Для предотвращения возникновения макроскопических движений должно оставаться постоянным по всему объему газа давление Р , а следовательно, и произведение пТ . В неравномерно нагретом газе это возможно только тогда, когда, концентрация п меняется от точки к точке. Но это обстоятельство совершенно несущественно для применимости формулы (89.2).

6. Сравнением формул (89.6) и (89.7) получаем интересное соотношение

(89.8)

Опыт в основном подтвердил эту зависимость, но р. несколько более общей форме

(89.9)

где А — числовой коэффициент порядка единицы. Для разных газов он имеет разные значения и слабо зависит от температуры. В табл. 9 приведены значения коэффициента А для некоторых газов при 0 °С. Расхождение между опытом и теорией, ввиду приближенного характера последней, вполне естественно. Строгая, но очень сложная теория, развитая Чепменом, показала, что для всех сферически симметричных невращающихся молекул A ≥ 5/2. Численные расчеты на специальных моделях молекул (например, твердых шарах) показали, что А лишь немногим больше 5/2. Значения А для инертных газов согласуются с этим результатом.

Таблица 9

тепловые вращательные движения молекул прекращаются, если температура газа становится заметно ниже вращательной характеристической температуры . Газ ведет себя как одноатомный. Поэтому следует ожидать, что для всех газов коэффициент А при низких температурах должен стремиться к предельному значению 5/2, какое он имеет для одноатомных газов. Этот вывод был подтвержден Эйкеном (1884–1950) для водорода. Эйкен нашел, что для водорода А = 2,25 при Т = 81 К и А = 2,37 при Т = 21 К, тогда как при 0 °С А = 2,02. (Напомним, что вращательная характеристическая температура для водорода Tr ~ 175 К).

7. Введя плотность газа ρ = пт , формулы (89.6) и (89.7) можно переписать в виде

(89.10)

Так как λ обратно пропорциональна ρ, то отсюда следует, что вязкость и теплопроводность не зависят от плотности газа . К такому выводу впервые пришел Максвелл, и этот вывод показался ему парадоксальным. Однако опыты, поставленные самим Максвеллом и другими физиками, подтвердили указанный вывод.

Независимость вязкости и теплопроводности от плотности газа имеет простое объяснение. Если плотность газа велика, то в переносе импульса и энергии участвует много молекул . Однако передача импульса и энергии за время между двумя последовательными столкновениями производится малыми порциями и на малые