Физика_лек_pdf / Модуль 3. Молекулярная физика. Кинематика и динамика жидкостей и газов

Таким образом, средняя кинетическая энергия молекул является функцией температуры и не зависит от массы молекул. Из уравнения (5.5) очевиден смысл молекулярно-кинетического определения температуры

Т = [2/(3k )]<Ek >, К,

как меры средней кинетической энергии молекул, а абсолютная шкала температур приобретает непосредственный физический смысл. Согласно формуле

Т = [2/(3k )](m <v 2 >/2), К,

при абсолютном нуле поступательное движение молекул должно прекратиться. Основное уравнение кинетической теории идеального газа можно преобразовать, подставляя

значение в формулу (5.4), к. виду

Р = пкТ , Па.

Предположение, сделанное при выводе основного уравнения кинетической теории о том, что молекулы совершают только поступательное движение, не выполняется при низких температурах, так как газ переходит в конденсированную фазу. Следовательно, теряют смысл выводы кинетической теории идеального газа. Заметим, что современная наука с позиций квантовой механики теоретически рассматривает абсолютный нуль как особое состояние материи, при котором существуют некоторые виды движений. Что же касается отрицательных температур, то их, наверное, быть не может, так как кинетическая энергия есть величина положительная. Последний вывод следует из предположения об идеальности газа, которого, как только что было отмечено, и быть не может в окрестности абсолютного нуля. Так вот, абсолютная температура как величина только положительная рассматривалась до 1951 г. Появление оптических квантовых генераторов и эксперименты, связанные с их разработкой, в частности М. Парселла и Р. Паунда, выполненные в Гарвардском университете, заставили научную общественность пересмотреть привычные представления. Вопрос этот сложен. Отметим только, что с позиции теоретико-экспериментальных представлений по данному вопросу отрицательные температуры вплоть до –∞ ее могут иметь место в случае инверсии заселенностей верхних энергетических уровней. Но при этом необходимо соблюдение еще одного условия — времени установления равновесия между электронами и окружающей частью системы в целом, то есть кристаллической решеткой.

Физическим параметром является термодинамическая температура Т . Термодинамическая температурная шкала устанавливается на основе известных из курса физики свойств цикла Карно и поэтому не зависит от свойств вещества, используемого для измерения температур. При этом используется единственная экспериментально определяемая реперная, то есть опорная, точка, каковой является тройная точка химически чистой воды. Тройной точке воды соответствует такое состояние, иначе говоря, такие значения температуры и давления, при которых в термодинамическом равновесии находятся три агрегатных состояния — лед, жидкая вода и пар. Этому состоянию присваивается температура 273,16 К (0,01 °С). Другой точкой является температура абсолютного нуля — 0 К. На этом основании определяется размер Кельвина. Кельвин — это 1/273,16 часть термодинамической температуры тройной точки воды.

Итак, термодинамическая температурная шкала (ее называют также абсолютной) характеризуется тем, что нулевая точка этой шкалы представляет собой наинизшую

термодинамически возможную, но недостижимую температуру. Эта точка называется абсолютным нулем. Между температурой по термодинамической температурной шкале, выраженной в Кельвинах, и градусами Цельсия имеет место соотношение Т = t + 273,15, К, из которого следует, что абсолютный нуль равен — 273,15 °С.

Кроме того, применяются и другие температурные шкалы:

Фаренгейта t ф = 1,8 t +32, °Ф;

Ренкина tRa = 1,8( t + 273,15), ° Ra ;

Задача измерения температур сводится к исследованиям изменения физических свойств веществ с температурой. Приборы измерения температуры называют термометрами. Их разделяют на первичные и вторичные. Первичные термометры громоздки и сложны в пользовании. Это обусловлено тем, что в качестве термометрического тела в них используются близкие к идеальным разреженные газы, а в качестве термодинамической величины — давление. Поэтому газовые термометры, как привило, служат для калибровки и поверки вторичных термометров. Измерение температур первичными термометрами возможно в диапазоне от нескольких Кельвинов до температур свыше тысячи кельвинов.

Из вторичных термометров достаточно распространены жидкостные термометры (спиртовые, ртутные), термометры сопротивления, термопарные элементы и пирометры. Жидкостные термометры используются в интервале температур — 200–600 °С. Например, термометры на пентане позволяют произвести измерение температур от –200 до 20 °С, а ртутные термометры — от –38,87 до 600 °С. В термометрах сопротивления используется зависимость омического сопротивления проводников и полупроводников от температуры. В качестве термометрического элемента в них используется платина (–200–1100 °С), бронза, графит и другие проводники. Сопротивление полупроводников с ростом температуры в противоположность проводникам уменьшается с темпом на порядок выше, чем скорость изменения сопротивления у металлов. Поэтому термометры на полупроводниках весьма чувствительны, и называют их термисторами.

Измерение температуры с помощью термопар сводится к измерению разности потенциалов в электрической цепи, состоящей из двух разнородных проводников. Диапазон измеряемых температур значителен. Так, например, платино-платинородиевая термопара используется в интервале 0–1700 ° С, а хромель-алюмелевая — 200–1350 °С. В практике измерения температур используются также медь-константановые, хромелькопелевые и другие термические пары.

При измерении высоких температур от 1500 °С и выше используются термометры, у которых в качестве термического тела используется вещество, температуру которого надо измерить, а в качестве термической величины — излучаемая телом электромагнитная энергия. Законы теплового излучения тщательно изучены и позволяют по излучению тела сделать заключение о его температуре. Такие термометры называют оптическими Пирометрами. Например, температуру в доменной печи измеряют пирометром по цвету пламени. И делают это следующим образом. Глядя в пирометр, регулируют электрический ток, проходящий через расположенную в пирометре нить накала так, чтобы ее яркость совпала с яркостью пламени в печи. Затем определяют температуру по шкале.

Создан также акустический термометр для определения температуры воздуха на высотах до 3 км. Он состоит из источника звука и доплеровского радара, измеряющего изменение скорости звука с температурой.

При температуре в области 1 К обычные термометрические величины — давление, омическое сопротивление и др., «не работают», а уравнивание температур измеряемой среды и термического тела при их контакте происходит очень медленно.

Итак, температура характеризует тепловое состояние тела. Она является единственным термодинамическим параметром, определяющим направление самопроизвольного теплообмена. Если между телами или элементами тел не происходит самопроизвольный переход теплоты, то такие тела или элементы тел находятся в тепловом равновесии друг с другом, и температуры этих тел одинаковы.

Барометрическая формула для изотермической атмосферы

Из уравнений Р = пкТ и Р 0 = п 0 кТ следует, что п = Р /( k Т ), а п 0 = Р 0 /( k Т ), и распределение Больцмана позволяет установить взаимосвязь давления идеального газа при Т = const с потенциальной энергией его молекул:

Р = P 0 exp (– mgh / kT ), Па,

где Р 0 и Р — давление воздуха на поверхности океана и соответственно на высоте h в случае изотермической атмосферы. Преобразуем полученное соотношение, заменив т / k

=mNA / kNA = μ/μ R = 1/ R , кг · К/Дж, где NA = 6,022 · 1023 моль–1 — число Авогадро; mNA

=μ — молярная масса воздуха, кг/моль; kNA = 1,3806 · 10–23 · 6,02 1023 = 8,314 Дж/(моль ·

К) = μ R — универсальная газовая постоянная; R — индивидуальная газовая постоянная, Дж/(кг · К). С учетом преобразования предыдущую формулу перепишем в форме

Р = P 0 exp (– gh / RT ), Па, (5.8)

Выражение (5.8) называют барометрической формулой, так как с ее помощью можно найти высоту поднятия летательного аппарата над поверхностью Земли по измеренным давлениям Р и Р 0 . Последнее используется в авиации. Конкретно — в высотомерах, называемых еще альтиметрами, и приборах для определения высоты над водной поверхностью.

Воздух в основном состоит из азота и кислорода. Как известно из предыдущего материала, соотношение компонент, а соответственно, и соотношение парциальных давлений меняются с высотой. Однако изменение это несущественно, поскольку молярные массы азота и кислорода близки друг к другу по величине. Поэтому настоящая оговорка имеет всего лишь теоретический смысл, и воздушную смесь вполне можно рассматривать как один газ со средней молярной массой. Уместно здесь вспомнить о часто используемом законе Дальтона. Закон Дальтона утверждает, что давление смеси газов является аддитивной характеристикой и равно сумме парциальных давлений ее

компонентов, то есть , Па.

Учитывая, что т /( k Т ) = mn 0 ( n 0 kT ) = mN 0 /( V 0 P 0 ) = ρ 0 / P 0 , кг/Дж, где ρ 0 и P 0

— плотность и давление воздуха при h 0 = 0, барометрическую формулу для изотермической атмосферы можно записать в виде

Р = P 0 exp (– r 0 gh / P 0 ), Па

Если P 0 = 101,325 кПа и h измеряется в км, то барометрическую формулу при Т = 273,15 К удобно использовать в виде

Р= 101,3 exp (– h /7,99), кПа.

Вреальных условиях температура с высотой на некотором участке ее уменьшается,

иэто делает более зависимым давление от высоты. При некоторых средних условиях,

соответствующих среднему давлению Р 0 и средней температуре Т = 288 К на уровне моря, в качестве международной барометрической формулы принимается вплоть до высоты 11000 м

Р= 101,3(1 – 6,5 h /288)5,255 , Па,

где Р — давление, кПа; h — высота, км.

Распределение молекул газа в поле силы тяжести. Статистика Больцмана

Концентрация молекул в состоянии теплового равновесия и при отсутствии внешних сил будет одинаковой во всех частях располагаемого объема. Если же газ находится в гравитационном поле, то молекулы будут смещаться в сторону действия силы тяжести. Движению молекул в этом направлении, однако, будет препятствовать беспорядочность их теплового движения. Таким образом, возникают противоположные тенденции в движении микрочастиц, результатом которых является установление в силовом поле неравномерного распределения молекул газа по высоте. Концентрация молекул, а следовательно, и плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул. Теперь ясно, почему воздух, окружающий планету Земля, не разлетается по мировому пространству в результате бесчисленных столкновений молекул друг с другом. Его удерживает земное притяжение. Оно-то и нарушает упомянутое только что равномерное распределение молекул по высоте. Но, с другой стороны, если бы не тепловое движение молекул, то все они под действием гравитации «упали» бы на Землю. Закон распределения концентрации молекул идеального газа в поле сил, работа которых не зависит от траектории перехода системы из начального состояния в конечное, и называемого потенциальным, установлен Л. Больцманом. Кстати, такие силы принято называть консервативными. К ним относят гравитационные и электростатические силы. Вывод закона распределения молекул газа, сделанный Л. Больцманом, сложен, и поэтому рассмотрим упрощенный частный вариант вывода.

Итак, рассмотрим количественное распределение молекул воздуха как однородной системы в гравитационном поле Земли. Сила тяготения, действующая на каждую из

Рис . 5 .8

Если допустить, что на высоте h на все молекулы N в пределах бесконечного малого объема dV , например, цилиндра с основанием площадью ds и высотой dh (рис. 5.8), действует одинаковая по величине и направлению сила F , то суммарная сила поля тяготения равна

где п = N / V , м–3 — концентрация молекул в элементарном объеме dV , м3 . Поскольку воздух находится в динамическом равновесии относительно действующих на его молекулы сил, тогда сила тяготения оказывается уравновешенной действием силы давления со стороны окружающего объем dV , м3 воздуха, что возможно при разности давлений (Р + dP ) – Р , Па, вдоль оси h . Действительно, из опыта известно, что атмосферное давление уменьшается при подъеме над поверхностью Земли. Результирующая сила давления на элемент атмосферы объемом dV , м3 по вертикали будет также элементарной и равной dPds , Н. Условие равновесия сил выражается равенством FndV = dPds = Fndhds = dPds = Fndh = dP , Па. Произведение Fdh , Дж, равно элементарной работе силы тяготения при перемещении одной молекулы на расстояние dh , м. И поскольку в потенциальном поле элементарная работа равна изменению потенциальной энергии молекулы, взятому с противоположным знаком, то Fdh = – dE п , Дж. Следовательно,

– ndE п = dP , Па. (5.6)

Поскольку в объеме dV , м3 , Т = const , то согласно основному уравнению кинетической теории Р = п k Т , Па, бесконечно малое изменение давления

dP = kTdn , Па, (5.7)

прямо пропорционально бесконечно малому изменению концентрации молекул. Сопоставляя равенства (5.6) и (5.7), получим

– ndE п = kTdn , Па.

Откуда dn / n = – dE п ( kT ). Знак «минус» означает уменьшение концентрации молекул воздуха с увеличением высоты, а следовательно, и потенциальной энергии молекул. Интегрирование полученного дифференциального уравнения приводит к

равенству l п п = – dE п ( kT ) + const . Обозначив концентрацию молекул на поверхности океана при h = 0, когда Е п = mgh = 0, через п 0 , получим закон распределения молекул идеального газа в любом потенциальном силовом поле, называемый распределением или статистикой Л. Больцмана,

или

п = n 0 exp (– mgh / kT ), м–3 .

Из закона Больцмана очевидно, что в потенциальном силовом поле молекулы воздуха распределяются так, что их концентрация максимальна в области, где потенциальная энергия молекул минимальна (рис 5.9). Концентрация молекул зависит от массы молекул, то есть от рода газа. Медленнее изменяется по высоте концентрация газов с меньшей массой молекул. В связи с этим следует отметить, что с ростом высоты соотношение между компонентами воздуха будет сдвигаться в сторону увеличения содержания легких газов. Однако подобное поведение составляющих воздушной атмосферы, как показали опыты, наблюдается на высоте более 100 км.

Рис . 5 .9

Цит . по: Физика: учебник / Демидченко В .И . — Ростов н/Д: Феникс , 2006 . — С . 71–91 .

Тема 2. Кинетические явления

Кинетические явления: теплопроводность, вязкость, диффузия

Макросистему, в которой поле любого из потенциалов однородно, называют равновесной. В такой системе отсутствуют перепады физических параметров. В противном случае, когда имеет место неравномерность распределения хотя бы одной физической величины, состояние макросистемы характеризуется как неравновесное. Когда система не изолирована, то можно говорить о равновесном или неравновесном состоянии ее по отношению к окружающей среде. Если система неравновесная, например, в тепловом отношении, относительно среды, то в реальных условиях процесс перехода системы из неравновесного состояния в состояние равновесия с окружающей средой является необратимым. Необратимость процесса обусловлена энергетическими потерями. Реальные процессы необратимы. Неоднородность системы в процессе необратимого взаимодействия с окружающей средой исчезает. Если же внешний источник энергетического воздействия есть, то неоднородность, а следовательно, и неравновесность системы поддерживается неизменной и перенос определенной физической величины или

величин будет непрерывным. Необратимые процессы теплопроводности, диффузии и внутреннего трения называют явлениями переноса. Внутреннее трение называют еще вязкостью. В этих явлениях происходит пространственный перенос теплоты, вещества и количества движения. Наблюдаются эти явления в твердых телах, жидкостях и газах, находящихся в неравновесном состоянии. Поскольку до сих пор мы «находимся» в молекулярной физике, то основной интерес для нас представляют газы, как среда, в которой будут рассмотрены явления переноса. В газах теплота переносится с помощью микрочастиц, аналогично переносу вещества диффузией и переносу количества движения при вязком трении. Внутренний механизм явлений переноса один — тепловое движение микрочастиц, направленное в сторону меньшего потенциала. Результатом его могут быть конвективные потоки микрочастиц. Тепловое движение может также сопровождаться излучением электромагнитной энергии микрочастицами. Подобные процессы переноса вещества и теплоты ведут к выравниванию температур. А перенос количества движения обусловлен неизбежным столкновением микрочастиц при этом. Таким образом, явлениями переноса называют процессы, возникающие при нарушении теплового равновесия макросистем, сопровождаемые переносом определенной физической величины и обусловленные тепловым движением микрочастиц, составляющих систему. Единством внутреннего механизма этих явлений объясняется внешнее сходство математического описания указанных процессов переноса.

Теплопроводность

Теория теплопередачи, или теплообмена, излагает современные представления о процессах распространения теплоты в пространстве с неоднородным полем температур. Существует три вида теплообмена: конвекция, тепловое излучение и теплопроводность.

Конвекция осуществляется путем перемещения в гравитационном пространстве неравномерно нагретых объемов среды. Перенос теплоты при этом неразрывно связан с переносом вещества.

Тепловое излучение связано с пространственным обменом энергией между телами с помощью электромагнитных волн.

Теплопроводность определяется тепловым движением микрочастиц с различной кинетической энергией.

В природе и технике чаще всего перенос теплоты осуществляется одновременно тремя способами. Такой совместный процесс переноса теплоты называют сложным теплообменом. Частным, но весьма распространенным случаем сложного теплообмена является теплоотдача — конвективный теплообмен между твердой поверхностью и движущейся средой. Конвективный теплообмен сопровождается переносом вещества, называемым массообменом. Совместное протекание процессов теплообмена и массообмена называют тепломассообменом. Кстати, при нулевой гравитации конвекция будет отсутствовать. И свеча будет гореть медленно, а пламя будет иметь форму шара. Цвет пламени также изменится от желтого до чисто голубого.

Явление теплопроводности в чистом виде имеет место в твердых телах, а в газах и жидкостях только при условии невозможности возникновения в них конвективных потоков. Реально такие условия могут соблюдаться при температурном перепаде примерно в один градус и в тонких газожидкостных прослойках. В металлах основным, но не единственным носителем теплоты, являются свободные электроны, а в жидкостях и диэлектриках передача теплоты осуществляется в основном фононами, то есть упругими

колебаниями кристаллической решетки. Теория теплопроводности использует термодинамический метод исследования, когда вещество рассматривается как сплошная среда, отвлеченно от его атомно-молекулярной структуры. Передача теплоты теплопроводностью имеет место при наличии разности температур. Совокупность значений температур всех точек тела в конкретный момент времени называют температурным полем. Математически температурное поле записывается уравнением вида: Т = f ( x , у , z , t ), где Т — температура тела, К; х , у , z — координаты точки, м; t — время, с. Такое поле называют нестационарным, а соответствующий ему процесс теплопроводности — неустановившимся. Если же распределение температур не изменяется во времени, то температурное поле называют стационарным, и тогда Т = f ( x , у , z ), д T /д t = 0. Температура может быть функцией одной, двух и трех координат, а поле соответственно этому — одно-, двух- и трехмерным. Наиболее простым, с точки зрения исследования и математического описания, является одномерное стационарное температурное поле: Т = f ( x ), д T /д t = 0, дТ /д y = дТ /д z = 0.

Если соединить в рассматриваемом веществе все точки с одинаковой температурой, то получаемую при этом поверхность Т = const , называют изотермической. Так как конкретная точка в фиксированный момент времени может иметь только одно значение температуры, то понятно, что изотермические поверхности не пересекаются. Они либо замыкаются на себя и могут быть сферическими, цилиндрическими и более сложными, либо заканчиваются на границе тела. Интенсивность изменения температуры в направлении х характеризуется производной дТ /дх , К · м–1 , принимающей наибольшее значение по нормали к данной изотермической поверхности дТ /дп = qradT , К · м–1 (рис. 5.10). Вектор qrad Т называют температурным градиентом. Он характеризует максимальное изменение температуры между изотермическими поверхностями. Направлен в сторону возрастания температуры и противоположную вектору плотности

теплового потока .

Рис . 5. 10

Согласно гипотезе Ж. Фурье, высказанной в первой трети XIX столетия, плотность теплового потока прямо пропорциональна градиенту температуры

q = – λ д T /д n , Вт/м2 ,

где λ - — коэффициент теплопроводности, Вт/(м · К). Качественно он характеризует способность вещества проводить теплоту. Количественно же он равен теплоте, которая проходит в единицу времени через единицу изотермической поверхности при разности температур в 1 К на единицу длины в 1 м, то есть при условии

qradT = дТ/дп = 1 К · м1 .

Явление вязкости (внутреннего трения) имеет место в газе и жидкости при наличии градиента скорости grad v = д v /дп , с–1 , по нормали к направлению течения среды. Обусловлено это тем, что из-за теплового хаотического движения происходит обмен молекулами между отдельными слоями среды, в результате чего количество движения «быстрого» слоя уменьшается, а «медленного» — увеличивается, что приводит к торможению «быстрого» слоя и ускорению «медленного». Приведенные рассуждения справедливы и для твердых тел (самолет, шар, парашютист и т.п.), движущихся в газожидкостной среде. Очевидно, что в этом случае твердое тело будет испытывать торможение за счет частичной передачи своей кинетической энергии окружающей среде для преодоления ее сопротивления. Внутреннее трение становится заметным, например, при перемещении в капельной или упругой жидкости горизонтальной несущей поверхности в виде пластинки параллельно земной поверхности или плоской стенке. Для такого перемещения требуется приложить силу F , равную силе трения. Силу F , действующую на площадь соприкосновения пластины со средой s , м2 , определяют из закона Ньютона и называют силой Ньютона

где η — коэффициент динамической вязкости, количественно равный силе внутреннего трения, которая действует на единицу поверхности слоя при градиенте скорости qrad v = 1, с–1 , Па · с. Знак «минус» указывает на противоположную направленность силы трения и градиента скорости. Величину, обратную коэффициенту динамической вязкости, называют текучестью.

Динамическую вязкость среды с плотностью ρ = 1 кг/м3 называют кинематической

v = η /ρ , м3 /с.

В аэродинамических расчетах наиболее часто используют кинематическую вязкость.

При движении, например, шарика в жидкости под действием силы тяжести прилегающие к нему слои жидкости также придут в движение в направлении движения шарика. Чем дальше слой от шарика, тем меньше его скорость движения. В результате наличия разности скоростей между слоями возникают силы внутреннего трения, которые проявляются в форме сопротивления движению шарика. Сила сопротивления для шарика радиусом r , м, определяется формулой Стокса

F = 6 πηvr , H .

Вязкость среды оказывает влияние на формирование архитектуры пограничного слоя у обтекаемой поверхности, что определяет интенсивность конвективного теплообмена между поверхностью и жидкостью, в том числе между поверхностью фюзеляжа летательного аппарата и горизонтальных несущих поверхностей самолета и воздухом.

Для информации. Динамическая вязкость обычных, не очень вязких, жидкостей имеет порядок 1 мкПа · с. У вязких же жидкостей динамическая вязкость возрастает в тысячи раз. Например, динамическая вязкость воды при 20 °С равна 1,002 · 103 Па · с, бензина — 0,648 · 103 , спирта — 1,2 · 10–3 , а глицерина — 1480 Па · с. Напомним, что вязкость газов при той же температуре и атмосферном давлении имеет порядок 10–5 Па · с.