5. Производные; производные сложных функций; правила дифференцирования.

Таблица производных:

1. y=c, y′=c′=0

2. y=x, y′=x′=1

3. y=корень из х, y′= (корень из х)′=1/2* корень из х

4. y=xⁿ, y′=(xⁿ)′=n*x^k-1

5. y=a^x, y′=(a^x)′= a^x *ln a

6. y=e^x, y′=(e^x)′= e^x *ln e = e^x

7. y=ln x, y′=1/x

8. y=log_ax, y′=1/x*ln a, a>0, a≠1

9. y=sin x, y′=cos x

10. y=cos x, y′=-sin x

11. y=tg x, y′=1/cos²x

12. y=ctg x, y′=-1/sin²x

Производная от сложной ф-ии:

1. y=kx+b, y′=k

2. y=(kx+b)ⁿ, y′=n*k*(kx+b)^n-1

3. y=ln (kx+b), y′=1/(kx+b)*(kx+b)=k/(kx+b)

4. y=e^kx+b, y′= e^kx+b *(kx+b)′=k*e^kx+b

5. y=x^x, y′= x^x * (lnx+1)

6. Основные теоремы дифференциального исчисления.1

Теорема Ферма. Если функция у=f(x)определена и дифференцируема на интервале (a,b) и достигает в точке x0(a,b) своего наибольшего или наименьшего значения, то производная функции в этой точке равна 0,т.е. f’(x0)=0

Теорема Ролля. Пусть фун-ия y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b],дифференцируема x(a,b) и f(a)=f(b),тогда сущ-т точка x=c (a,b), в кот. f’(c)=0

Теорема Лагранжа. Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b],дифференцируема x(a,b), тогда сущ-т точка x=c (a,b),такая,что вып-ся условие f(b)-f(a)=f’(c)(b-a)

Теорема Коши. Пусть функции y=f(x) и y=g(x) непрерывны, определены на отрезке [a,b] и диффер-мы x(a,b). Пусть также g’(x)0, тогда сущ-т точка x=c (a,b), такая,что для неё вып-ся условие .

7. Применение интегрального исчисления в экономических задачах.2

Интегрирование используется для нахождения функций издержек, прибыли, потребления, если известны соответственно функции предельных издержек, предельной прибыли и т.д.Для определения произвольной постоянной интегрирования необходимо дополнительное условие. Если находится функция издержек, используется то, что её значение в точке х=0(х-число ед.произ-ой продукции)равно значению фиксированных издержек, а при определении функции дохода – то, что её значение в точке х=0 равно 0(доход равен нулю, если не продано ни одного изделия).

8. Виды законов спроса. Метод наименьших квадратов.

Наиболее часто встречающиеся функции закона спроса: N=a+bx-лин.ф.; N=a+b/x-гипер.ф.;N=a+b*lnx-лог-ая ф.; N= e^a+bx-экспонен.ф.;N=a+b^x-степ.ф.

МНК предусматривает нахождение параметров a,b(a,b,c) этих зависимостей из условия минимума суммы квадратов отклонений: для лин. зав-ти: Ф(а,b)=;для квадратичной зав-ти: Ф(a,b,c)=.

В итоге система ур-й: a+b=; a+b=

9. Модель определения оптимальной цены при линейном законе спроса .

1.Инф-ия. Изв-ны зат-ы пост и пер-ые,ещё изв-н з-н спроса.

2.Варианты. X-цена, X->N->Пр.

3.Критерий

Пр->max

4.Анализ вариантов:

1)Допущения

2)Формализация

Пр->max; Выр-Зат->max; x*N-Зпост-Зпер*N->max; x(a1+b1x)-Зпост.-Зпер.(a1+b1x)->max;

Xa1+b1x^2-Зпост.-Зпер.a1*Зпер.b1x->max; f=b1x^2+(a1+Зпер.*b1)x-Зпост.-Зпер.*a1->max;

f’(x)=2b1x+a1-Зпер.*b1=0

x*= – ф-а оптим.цены.; f(x*)-max прибыли

10. Модель определения оптимальной цены при логарифмическом законе спроса .

Для оценки закона спроса необходимы стат.данные (X и N). Задача решается с помощью Метода наименьших квадратов. N1= a+b*lnX1; N2= a+b*lnX2 N1-N2=b*lnX1- b*lnX2

Если нет стат. данных, то используется экспертное мнение. Если цены находятся в интервале от X1 до X2, то спрос будет находиться в интервале от N2 до N1.

Распишем по этапам.

1.Инф-ия. Изв-ны зат-ы пост и пер-ые,ещё изв-н з-н спроса N=a+b*lnX

2.Варианты. X-цена, X->N->Пр.

3.Критерий

Пр->max

4.Анализ вариантов:

1)Допущения

Объем производства=объем реализации

Конкуренция несовершенна

2)Формализация

Пр->max; Выр-Зат->max; X*N-Зпост-Зпер*N->max; x(a+b*lnX)-Зпост.-Зпер.(a+b*lnX)->max;

a1X+b*ln(X^2)-Зпост.-Зпер.a1-Зпер.b*lnX->max; f= a1X+b*ln(X^2)-Зпост.-Зпер.a1-Зпер.b*lnX

f’(x)=a+b*(2X/X^2)-Зпер.*b*(1/X)=0-транцендентное уравнение. Используем Excel для вычисления прибл. Корня X* и находим f(x*)-max прибыли.