Лекции № 12, 13

Обзор моделей затухания турбулентных пульсаций в пристенном слое. Модификация гипотезы Прандтля. Уравнения затухания турбулентных пульсаций, основанные на послойных и непрерывных законах.

Основным недостатком концепции длины перемешивания является невозможность ее использования для локальной турбулентности. Другая модель описания турбулентности была предложена Прандтлем и Колмогоровым. Взамен отношения пульсационной скорости к градиенту осредненной по времени скорости Прандтль предположил, что пульсационная скорость пропорциональна осредненной по времени кинетической энергии турбулентных пульсаций, т.е.

, (27)

где .

Уравнение (27) устраняет один из недостатков концепции модели Прандтля, т.к. энергия турбулентности на оси потока не является равной нулю.

В соответствии с уравнением (27)

. (28)

Последнее уравнение известно как уравнение Прандтля–Колмогорова для турбулентной вязкости.

Многочисленные экспериментальные исследования поля скоростей около твердой стенки показывают, что в этой зоне распределение локальных скоростей описывается простой зависимостью

, (29)

где – безразмерная локальная скорость, – динамическая скорость, ; – безразмерная координата, .

Зависимость (29) является универсальным "законом стенки" для пограничных слоев.

Обычно распределение касательных напряжений в поле турбулентного потока дается в виде

, (30)

где – безразмерная эффективная вязкость, при этом

и . (31)

Принимая во внимание (31), уравнение (30) сводится к простому виду

. (32)

С учетом уравнения (29) и соотношения , уравнение (32) приводят к виду

, (33)

интегрирование которого дает распределение локальной скорости (в безразмерном виде)

, (34)

где k = 0,4 и С = 5,1 (на основании экспериментальных данных).

Уравнение (34) является выражением "закона стенки" и хорошо согласуется с экспериментом в области турбулентного пограничного подслоя. Однако по мере приближения к твердой стенке величина турбулентной вязкости уменьшается, т.е. наблюдается затухание турбулентных пульсаций. При достижении ламинарного пограничного слоя (непосредственно прилегающего к стенке) . Знание закона затухания турбулентных пульсаций в пограничном вязком подстое очень важно, так как эта зона, как правило, характеризуется высокими градиентами скорости, температуры и концентрации, особенно при высоких числах Прандтля или Шмидта. Некоторые выражения законов распределения локальных скоростей и затухания турбулентных пульсаций даны в табл. 1.

Следует отметить, что приведенные в табл. 1 законы распределения локальных скоростей и законы затухания турбулентных пульсаций не являются единственными данными по этому вопросу. Они были получены в 70–80 годах прошлого столетия. Поэтому для более полного состояния вопроса по данной проблеме необходим более глубокий анализ литературных данных за последние 20–25 лет.

Таблица 1