Лекции № 10, 11

Модели турбулентности. Гипотеза Буссинеска и модель Прандтля. Понятие пути перемешивания. Коэффициенты турбулентной вязкости. Ограничения гипотезы Прандтля.

Использование уравнений Навье-Стокса в случае турбулентного режима движения практически невозможно, т.к. входящие в них мгновенные скорости и давление являются пульсирующими величинами, в силу чего их применение для получения конечных решений затруднительно.

В случае установившегося потока, как определено выше, уравнения Навье-Стокса для несжимаемого ламинарного потока с постоянными физическими свойствами могут быть выражены как

; (16)

; (17)

; (18)

, (19)

где u_x, u_y и u_z – составляющие скорости, соответственно по направлениям x, y и z, р – давление; и обозначают плотность и динамическую вязкость жидкости, соответственно.

Соответствующие уравнения для переноса конвекционной теплоты и массы выражены как

; (20)

, (21)

где Т и с – температура и концентрация целевого компонента, k и D_АВ – коэффициенты температуропроводности и молекулярной диффузии массы целевого компонента А, и C_р – удельная теплоемкость при постоянном давлении.

Гипотеза Буссинеска. Для расчета турбулентного потока Жозеф Буссинеск предложил заменять этот поток некоторой воображаемой моделью, представляющей собой поток жидкости, частицы которой движутся со скоростями, равными осредненным по времени мгновенным локальным скоростям (), а гидродинамические давления в различных точках пространства, занятого этим потоком, равным осредненным локальным давлениям .

В соответствии с моделью турбулентного переноса Буссинеска, уравнения переноса могут быть представлены в виде

;

; (22)

,

где , k_t и D_t – турбулентная вязкость, турбулентная температуропроводность и коэффициент турбулентной диффузии, соответственно. Эти параметры являются аналогами коэффициентов молекулярного переноса μ, k и D_АВ. В отличие от молекулярных коэффициентов, которые являются функциями только физических свойств жидкости, турбулентные коэффициенты главным образом определяются локальной структурой турбулентности и, следовательно, их величина будет изменяться от одной точки к другой точке в поле потока. Коэффициенты турбулентного переноса имеют обычно гораздо большие значения, чем их молекулярные аналоги, за исключением очень тонкой зоны, соприкасающейся с твердой поверхностью.

Подстановка уравнений (22) в уравнения Рейнольдса дает следующие выражения для касательного напряжения, и потоков массы и тепла в поле турбулентного потока

;

; (23)

,

где ν_e, k_e и D_е обозначают, соответственно, "эффективные" коэффициенты переноса. Хотя гипотеза Буссинеска не несет в себе полную модель механизма турбулентности, ее важность заключается в том, что она обеспечивает взаимосвязь между заранее неизвестными членами переноса Рейнольдса и переменными параметрами поля турбулентного потока. Для завершения модели необходимо оценить коэффициенты турбулентного переноса ν_e, k_e и D_e.

Первоначально физическое представление механизма турбулентного переноса импульса основывалась на гипотезе длины перемешивания. Гипотеза длины перемешивания подробно изложена в работах Шлихтинга и Прандтля, которые проводят аналогию между кинетической теорией газов и турбулентностью в жидкости. В соответствии с этой гипотезой понятие турбулентной вязкости вытекает из следующей зависимости

. (24)

Величина называется длиной пути перемешивания. Путь перемешивания характеризует существующую в турбулентном потоке возможность для жидкостных частиц свободно перемещаться из одного слоя в другой без передачи энергии окружающим частицам. В современной гидромеханике эту величину трактуют как геометрическую характеристику внутренней структуры турбулентного потока или как масштаб турбулентности. Таким образом

или , (25)

где ε – коэффициент турбулентной вязкости.

С учетом гипотезы Прандтля касательные напряжения на твердой стенке канала или других объектов в турбулентном потоке можно представить

. (26)

Концепция длины перемешивания имеет ряд существенных ограничений, одним из которых является предсказание нулевых касательных напряжений на оси труб. Это противоречит экспериментальным данным.

Работа с литературой: [2] – стр. 53–64; [1] – стр. 106–110.