Лекции № 4, 5

Механизм процессов переноса импульса, теплоты и массы в неподвижных средах и ламинарных потоках сжимаемых и несжимаемых жидкостей. Вязкость, теплопроводность и молекулярная диффузия. Ньютоновские и неньютоновские жидкости. Самодиффузия и бародиффузия.

В неподвижных средах переноса импульса не происходит ввиду отсутствия движения частиц материи, если не принимать во внимание броуновское движение молекул. В то же время перенос теплоты и массы может происходить ввиду наличия градиентов температур и концентраций целевого (переносимого) компонента вещества. Перенос количества тепла в неподвижных средах осуществляется по механизму теплопроводности, а перенос массы по механизму молекулярной диффузии. Оба этих механизма можно наблюдать в твердых телах.

Уравнениями переноса в первом случае является уравнение Фурье, уравнение (2), во-втором, уравнение Фика, уравнение (1).

В случае покоя газовой или жидкостной фаз появление даже небольшого градиента температур или концентраций приводит к нарушению абсолютного покоя этих фаз и возникновению свободной конвекции, т.е. появлению движения частиц материи внутри ее объема за счет разности плотностей в различных точках.

В случае движения газа (жидкости) в ламинарном режиме могут наблюдаться все три переносных процесса в направлении перпендикулярном к направлению основного потока. В случае рассмотрения переноса импульса в направлении перпендикулярном направлению основного движения потока газа (жидкости) рассматривается уравнение Ньютона, записанное для касательных напряжений и скорости сдвига.

t = . (3)

Если течение жидкости подчиняется уравнению (3) то такие жидкости называются ньютоновскими, если не подчиняется – то неньютоновскими.

При рассмотрении процесса переноса массы в неподвижных средах необходимо различать понятия молекулярной диффузии, самодиффузии и бародиффузии. Отличие этих механизмов переноса заключается лишь в причинах появления движущей силы процесса. В первом случае – это градиент концентраций. Во-втором – градиент концентраций отсутствует, но перемещение молекул происходит за счет энергетической активности молекул. Бародиффузия определяется наличием градиента осмотического давления в разных точках объема жидкости.

Работа с литературой: [1] – стр. 183–199; [4] – стр. 785–788; [5] – стр. 20–63.

Практические занятия: Составить таблицу уравнений переноса для всех, упоминаемых в разделе, механизмов переноса. Показать для каждого случая движущую силу процесса.

Лекции № 6, 7

Конвективные механизмы переноса импульса, теплоты и массы. Уравнения теплопроводности и конвекционного переноса. Взаимосвязь конвекции и турбулентности.

При турбулентном режиме перенос количества движения и энергии происходит не только по описанному молекулярному механизму, но главным образом за счет переноса макроколичеств жидкости из более «быстрых» частей потока в более «медленные» и наоборот. Такой механизм подобен рассмотренному механизму молекулярной вязкости с той разницей, что вместо молекул перенос количества движения осуществляется макрочастицами, в результате чего в жидкости возникает дополнительное трение. Подобно тому, как при ламинарном режиме движения трение в жидкости связывают с молекулярной вязкостью, при турбулентном режиме его характеризуют турбулентной вязкостью. Для турбулентного режима движения жидкости формула (3) записывается в виде

), (4)

где – коэффициент турбулентной вязкости.

Механизм турбулентности и турбулентная вязкость подробно рассматриваются в [1, стр. 110–114]. Энергия, затрачиваемая на перемещение жидкости, расходуется по механизму жидкостного трения на увеличение скорости «быстрых» частиц по сравнению с «медленными», т. е. превращается в теплоту. Явление перехода энергии упорядоченного движения (механической) в энергию неупорядоченного движения молекул в потоке жидкости (тепловую) называют диссипацией энергии.

За счет диссипации энергии движущаяся жидкость нагревается. В большинстве случаев нагрев невелик (температура повышается на несколько тысячных или сотых долей градуса) и может не приниматься во внимание. Однако при больших градиентах скорости повышение температуры жидкости за счет диссипации энергии может быть весьма значительным.

Перенос количества движения связан с переносом энергии, поэтому уравнение баланса количества движения составляется так же, как уравнение энергетического баланса. Сумма потоков количества движения равна равнодействующей приложенных внешних сил. Это положение одинаково справедливо для системы в целом и для любой ее части

. (5)

Уравнение (5) есть уравнение баланса количества движения для одномерного потока жидкости вдоль оси x. Первое слагаемое левой части уравнения (5) выражает ускорение жидкости, возникающее вследствие изменения скорости во времени, а второе слагаемое – ускорение, возникающее в результате изменения скорости в пространстве, т.е. при переходе из одной точки пространства в другую, отстоящую от первой на расстоянии dx.

Члены правой части уравнения (5) выражают силы, отнесенные к единице массы жидкости: третий – силу вязкого трения, первый – силу тяжести и второй – силу, возникающую в результате давления, приложенного к жидкости. Сила вязкого трения определяется физико-химическими и структурными свойствами жидкости и условиями ее движения, а сила внешнего давления – градиентом давления в жидкости; сила же тяжести пропорциональна массе жидкости (силы, обладающие такой особенностью, называют массовыми).

Скорость конвективного переноса энергии тоже является функцией свойств среды, но основную роль при этом играют условия движения. Вывод уравнения, описывающего перенос энергии в движущейся среде, аналогичен выводу уравнений движения, и сводится к составлению энергетического баланса для элементарного объема жидкости.

Выражение (6), называемое уравнением Фурье-Кирхгофа, описывает процесс распространения теплоты в движущейся среде.

, (6)

где а — коэффициент температуропроводности.

Решением уравнения (6) является функция t = f(x,y,z,τ), определяющая поле температур, т.е. распределение температуры в пространстве и во времени. Для установившегося процесса, когда поле температур не изменяется во времени, = 0, и уравнение (6) преобразуется к виду

. (7)

Для неподвижной среды U_x= U_y= U_z = 0 поле температур определяется только молекулярной теплопроводностью. При отсутствии источников теплоты для установившегося процесса справедливо уравнение Лапласа

, (8)

которое описывает поле температур при отсутствии конвективного переноса энергии.

Из представленных выше уравнений следует, что в движущихся средах распространение теплоты зависит от поля скоростей. Поэтому математическое описание таких процессов кроме уравнения Фурье – Кирхгофа (6) включает уравнения движения. Чтобы решить эту систему уравнений нужно из уравнений движения найти составляющие скорости U_x, U_y и U_z как функции координат и времени, подставить их в уравнение Фурье – Кирхгофа и решить его относительно температуры.

Вывод уравнений переноса вещества в движущейся среде аналогичен выводу уравнений, описывающих перенос количества движения и энергии, и сводится к составлению материального баланса произвольного i-го компонента смеси для элементарного объема жидкости dV = dxdydz.

Для несжимаемых жидкостей уравнением материального баланса по компоненту i для элементарного объема несжимаемой жидкости:

. (9)

Уравнение (9) описывает перенос произвольного компонента i в движущейся среде. Для установившегося процесса () оно приобретает вид:

U_x (10)

Решения уравнений (9) и (I0) получаются, соответственно, в виде функций описывающих поле концентраций.

Из изложенного следует, что скорость переноса вещества в движущейся среде, подобно скорости переноса энергии, зависит не только от поля концентраций и свойств среды, но и условий движения, т.е. от гидродинамической обстановки, в которой протекает процесс.

Работа с литературой: [1] – стр. 60–65; 276–279.