По условию

Р(А/В1) = 0,9, Р(А/В2)=0,6, Р(А/В3)=0,8.

Поэтому

Р(А) = 12/500,9+20/500,6+18/500,8 = 0,744.

3.4.Во время испытаний было установлено, что вероятность безотказного срабатывания реле при отсутствии помех равна 0,99, при перегреве – 0,95, при вибрации 0,9, при вибрации и перегреве – 0,8. Найти вероятностьотказа этого реле при работе в жарких странах (вероятность перегрева равна 0,2, вероятность вибрации 0,1) и вероятностьотказа при работе в передвижной лаборатории (вероятность перегрева 0,1, вероятность вибрации 0,3), предполагая перегрев и вибрацию независимыми событиями.

Решение. Введем в рассмотрение события

А = {вибрация реле},

В= {перегрев реле},

С= {отказ реле при работе в жарких странах},

D = {отказ реле в передвижной лаборатории}.

События

B₁=,B₂=,B₃=,B₄=AB,

образуют полную группу несовместных событий; вместе с одним из них происходят события С иD, вероятности которых можно найти по формуле полной вероятности:

Вероятности событий при работе в жарких странах следующие:

Вычислим вероятность Р(С):

_{Р1 = 0,72  0,99 + 0,08  0,9 + 0,18  0,95 + 0,02  0,8 = 0,97.}

Вероятности событий B_i при работе передвижной лаборатории подсчитаем аналогично:

Р(В₁) = 0,70,9 = 0,63,

Р(В₂) = 0,30,9 = 0,27,

Р(В₃) = 0,70,1 = 0,07,

Р(В₄) = 0,30,1 = 0,03.

Тогда вероятность события Р(D) будет равна:

Р₁ = 0,63  0,99 + 0,27  0,9 + 0,07 0,95 + 0,03 0,8 = 0,96.

3.5. В урну, содержащую 4 шара, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Предполагая равновозможным все предположения о первоначальном составе шаров в урне (по цвету), найти вероятность того, что извлеченный шар белый.

Решение. Введем следующие обозначения:

А = {извлечен белый шар},

В₁ = {в урне было 4 белых шара},

В₂ = {в урне было 3 белых и 1 не белый шар},

В₃ = {в урне было 2 белых и 2 не белых шара},

В₄ = {в урне был 1 белый и 3 не белых шара},

В₅ = {в урне было 4 не белых шара}.

По условию Р(В_i) одинаковы для всех i, а поскольку события В_i, i = 

образуют полную группу, то Р(В_i) = 1/5, i = 1,5. Применяя формулу полной вероятности, получим:

Р(Вi)Р(А/Вi) = 1/51+1/54/5+1/53/5+1/52/5+1/51/5=3/5.

3.6. Три стрелка произвели залп, причем одна пуля поразила мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень (мастерство стрелка) равны 0,8, 0,5 и 0,4 для первого, второго и третьего стрелка соответственно.

Решение. Рассмотрим случайные события

А = {одна пуля поразила мишень},

В_i = {i-й стрелок попал в мишень}, i=1, 2, 3.

По условию

Р(В₁) = 0,6; Р(В₂) = 0,5; Р(В₃) = 0,4.

События В₃ и образуют полную группу, поэтому по формуле полной вероятности:

Р(A) = Р(В₃)Р(А/В₃)+Р()Р(А/).

Поскольку

а события В₁ и В₂ независимы, то

Р(А/В₃) = Р()Р() = (1-0,8)(1-0,5) = 0,1.

Поскольку

А/=В₁+В₂,

то по теореме сложения получим:

Р(А/)=Р(В₁+B₂)=Р(В₁)Р()+Р()Р(В₂)=0,80,5+0,20,5=0,5.

Формула Бейеса позволяет переоценить вероятность события после испытания, то есть в данном случае, найти Р(В₃/А):

Р(В₃/А)=Р(В₃)P(А/В₃)/Р(А)=0,40,1/(0,40,1+0,60,5)=2/17.

3.7. Две из четырех независимо работающих ламп прибора отказали. Найти вероятность того, что отказали первая и вторая лампы, если вероятности отказа первой, второй, третьей и четвертой лампы соответственно равны

Р₁ = 0,1, Р₂ = 0,2, Р₃ = 0,3, Р₄ = 0,4.

Решение. Введем обозначения:

А = {отказали две лампы},

В_ij = {отказали лампы i и j, а другие исправны},

В_i = {отказала i-я лампа},

Р(В_i)=P_i , i=1, 2, 3, 4

По формуле полной вероятности:

Р(А)=Р(В_1,2)Р(А /В_1,2)+Р()Р(А /)

Поскольку

В_1,2 =В₁В₂

то

Р(В_1,2) = 0,10,20,70,18 = 0,0084.

Событие А/В_1,2 означает, что отказали две лампы при условии, что отказали 1 и 2 лампы , а другие исправны, т.е. Р(А /В_1,2) = 1.

Поскольку

А /= В₁В₂В₃В₄ + В₁В₂В₃В₄ +В₁В₂В₃В₄ +

+В₁В₂В₃В₄ + В₁В₂В₃В₄,

то

Р(А/) = 0,10,80,30,6+0,10,80,70,4+

+0,90,20,30,6+0,90,20,70,4+0,9 0,80,30,4 = 0,206

Вероятность события В₁,₂ найдем, зная вероятность противоположного события:

Р() = 1-Р(В₁,₂) = 1-0,0084 = 0,9916.

По формуле Бейеса можно вычислить вероятность гипотезы В₁,₂ при условии, что произошло событие А:

Р(В₁,₂/А)=P(В₁,₂)Р(А/В₁,₂)/Р(А)=0,00841/(0,00841+0,99160,206) = 0,039

3.8. Игральную кость бросают 5 раз. Найти вероятность того, что “шестерка” выпадет:

а) ровно два раза,

б) менее двух раз,

в) не менее двух раз.

Решение. Здесь производится серия испытаний, каждое из которых осуществляется при одних и тех же условиях. При каждом отдельном испытании вероятность наступления события

А={выпадение “шестерки”},

одна и та же. Испытания такого вида называются независимыми повторными испытаниями. Вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит К раз, можно вычислить по формуле Бернулли :

где р - вероятность события А.

а) Пусть

А₁={“шестерка” выпала 2 раза},

тогда

Р(А₁) = Р₅(2) = .

б) А₂ = {“шестерка” выпала менее 2 раз} - это означает, что

Р(А₂) ==23125/7776=0,8

в) А₃ = {“шестерка” выпала не менее двух раз}.

Заметим, что А₃ =А₂ , значит

Р(А₃) = 1-Р(А₂)=1-0,8=0,2.

3.9. Прибор состоит из пяти независимо работающих элементов. Вероятность отказа элемента в момент включения прибора равна 0,2.Найти:

а) наивероятнейшее число отказавших элементов,

б) вероятность наивероятнейшего числа отказавших элементов,

в) вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы 4 элемента.

Решение.

а) Это схема Бернулли, поэтому наивероятнейшее число отказавших элементов найдем из условия:

nр-(1-р)  K₀  nр+р,

где n = 5, р = 0,2.

Тогда