Поэтому дальнейшим направлением развития компьютерной графики явился поиск эффективных и универсальных средств описания и преобразования графических объектов.

А примитивы не исчезли, они сохранились в большинстве векторных редакторов. Но их роль теперь не основная, а вспомогательная. Их используют для создания простых геометрических форм. А для описания более сложных объектов либо используют универсальные формы, либо созданные примитивы преобразуют в эти формы. Об этом будет сказано далее.

3. Кривые Безье.

Предложены в начале 80-х годов XX века компанией Adobe.Сейчас это стандарт для дизайнерских программ двухмерной векторной графики. В программах CorelDRAW, AdobeIllustrator, Inkscapeрисунки состоят из кривых Безье (за исключением построенных на основе примитивов). Впервые кривые Безье были применены в 60-х годах ХХ века французским инженером Пьером Безье для компьютерного моделирования дизайна автомобилей компании Рено.

Кривые Безье – это полиномы третьей степени, выраженные в параметрической форме.

Что такое параметрическая кривая?

Это не зависимостьy = f(x), а зависимость x и y от некого третьего параметра, обозначаемого как t. Задается значение t, затем вычисляются x = f(t) и y = f(t). Получаются значения координат х и y, можно построить график. Но х и y – функции от аргумента t.

Например, y = sintx = Cost. При t от 0 до 360 градусов получается окружность.

Формула кривой Безье:

P = P_конt³ + P₁t²(1-t) + P₂t(1-t)² + (1-t)³P_нач

Параметр t равномерно проходит все точки кривой от t = 1до t = 0;1>t>0.

Каждая точка Р имеет свои координаты х и y.

Р_нач и Р_кон – начальная и конечная точки кривой Безье, они называются опорными точками. Р₁ и Р₂ – точки окончания касательных, проведенных из опорных точек, они называются управляющими точками. Сама касательная называется управляющей линией.

Преимущества кривой Безье.

1. Достаточная сложность, что обеспечивает на практике разнообразие построенных форм. Линия Безье – это кривая 3-го порядка, а кривые 3-го порядка обладают точкой перегиба.

Кривые второго порядка имеют выпуклость только в одну сторону, а у третьего порядка выпуклость в точке перегиба может смениться на вогнутость.Это лучшесоответствуют тем линиям, которые мы наблюдаем в при­роде и потому предпочтительнее.

2. Кривые Безье легко строятся практически, легчеЧ чем любые другие кривые 3-го порядка (см. файл КриваяБезье.swf). Кривой легко управлять – достаточно с помощью мыши менять координаты 4-х точек.

а) Перетаскивать опорные точки, начальную и конечную.

б) Использовать пары управляющих касательных, проведенных к линии в конечных, опорных точках. Управление касательными (а вместе с ней и кривизной линии) произ­водят перетаскиванием управляющих точек Р₁ и Р₂. Линию как бы изгибают с помощью «рычагов». На форму линии влияет как угол наклона касательной, так и длина ее отрезка.

За счет сочетания этих двух факторов, кривые Безье были признаны наилучшим вариантом для описания векторных объектов на плоскости.

В большинстве векторных редакторов произвольно нарисованная линия автоматически превращается в кривую Безье. Все линии, полученные при трассировке растровых рисунков, тоже являются кривыми Безье. Как уже было сказано, в одних редакторах сохранились объекты с другой геометрией, в других они полностью отсутствуют.

Например, в популярном векторном редакторе Corel DRAW все нарисованные или трассированные из растровых файлов контуры автоматически превращаются в наборы кривых Безье. Но можно построить готовые геометрически правильные примитивы, которых довольно много. Но для применения к примитивам всех возможностей Corel DRAW, их тоже превращают в кривые Безье. Операция называется преобразование в кривые.

А в другом популярном редакторе-конкуренте AdobeIllustratorпримитивы отсутствуют. Там всё изначально построено из кривых Безье и доступно любым преобразованиям. Зато готовых форм меньше.

Некоторые кривые, например парабола или гипербола являются частными случаями кривой Безье. Векторный редактор строит их точно, без погрешностей. Другие кривые точно построить нельзя. В частности, нельзя точно построить окружность. Но окружность в векторных редакторах существует, просто она не круглая. Погрешность ее построения составляет сотые доли процента. С такой же погрешностью можно построить все, что угодно.

Кроме кривой Безье в дизайнерских программах реализуется формула прямой Безье:

Р = Р_конt + Р_нач(1-t)

Строятся все точки отрезка между начальной и конечной точкой. Шаг t подбирается такой, чтобы на экране получилась непрерывная прямая.

Построение контуров из кривых Безье.

Д ля построения контуров из кривых Безье применяются различные типы узловых точек. Они отличаются по направлению и величине управляющих линий двух сегментов, которые соединяются в данном узле.

1. Перегиб или угловойузел– управляющие линии по длине и направлению независимы друг от друга, на кривой наблюдается излом.

2. Гладкийузел, здесь управляющие линии лежат на одной прямой, номогут отличаться по величине. В результате одна кривая плавно переходит в другую. При перемещении одной линии другая движется синхронно, как рычаг.

3. Симметричный узел, здесь управляющие линии не только лежат на одной прямой, но и одинаковы по величине. Изменение размера одной линии приводит к такому же изменению размера другой.

4. Тангенциальный узел соединяет прямую и кривую Безье. Для гладкого сопряжения управляющая линия по направлению совпадает с продолжением прямой.