Математические модели в точных и гуманитарных науках (Зайцев В

NA^INAQ S TRETXEGO, RAWEN SUMME DWUH PREDYDU]IH, T. E. OBLADAET SWOJ- STWOM ^ISEL fIBONA^^I.

mY NE BUDEM RASSMATRIWATX ROLX ZOLOTOGO SE^ENIQ W ARHITEKTURE I VIWOPISI { OB \TOM NAPISANY SOTNI RABOT (SM., NAPRIMER, [21]). dLQ

NAS NAIBOLX[IJ INTERES BUDET PREDSTAWLQTX NARU[ENNAQ SIMMETRIQ I EE PROQWLENIQ W MENEE IZWESTNYH SFERAH NAUKI I ISKUSSTWA. sEJ^AS UVE TRUDNO USTANOWITX, KTO I KOGDA WPERWYE ZAMETIL, ^TO TO^KA KULX-

MINACII MNOGIH WYDA@]IHSQ MUZYKALXNYH PROIZWEDENIJ PRIHODITSQ PRIBLIZITELXNO NA TO^KU ZOLOTOGO SE^ENIQ. w \TOM, KAZALOSX BY, NET NI- ^EGO UDIWITELXNOGO { NAPRIMER, W SONATNOJ FORME IZWESTNAQ ASIMMETRIQ FORMY (RAZLI^IE \KSPOZICII I REPRIZY, A TAKVE ESTESTWENNAQ LOGIKA RAZWITIQ SREDNEGO RAZDELA { RAZRABOTKI) ISKL@^AET LOKALIZACI@ KULX- MINACII W SEREDINE PROIZWEDENIQ. oDNAKO UKAZANNOE PRAWILO SOHRANQET- SQ I W SLU^AE MNOGO^ASTNYH SLOVNYH PROIZWEDENIJ. tAK, W \sTRASTQH PO mATFE@" (Matth•auspassion) i. s. bAHA (BWV 244), SOSTOQ]IH IZ 78 NO- MEROW (!), KULXMINACIQ (ALXTOWAQ ARIQ \Erbarme dich, mein Gott" { }47)

TAKVE NAHODITSQ WBLIZI TO^KI ZOLOTOGO SE^ENIQ. pO\TOMU PREDSTAWLQET- SQ KRAJNE MALOWEROQTNYM KAK SLU^AJNOE SOWPADENIE, TAK I OSMYSLENNYJ \PODGON" AWTOROM KULXMINACII POD ZARANEE WYBRANNU@ TO^KU.

kOMPOZITOR I TEORETIK SIMMETRII m. a. mARUTAEW OBRATIL WNIMANIE NA TO, ^TO SOWPADENIE KULXMINACII S TO^KOJ ZOLOTOGO SE^ENIQ NIKOGDA NE BYWAET TO^NYM; KULXMINACIQ OTKLONQETSQ OT ZOLOTOGO SE^ENIQ (W TU ILI W DRUGU@ STORONU) NA NEKOTORU@ FIKSIROWANNU@ WELI^INU (\NEWQZKU"). |TOT FAKT POSLUVIL OTPRAWNOJ TO^KOJ K OPREDELENI@ PONQTIQ \NARU- [ENNAQ SIMMETRIQ". |TO PONQTIE RAZWIWAETSQ DALEE, I FORMULIRU@TSQ ZAKONY GARMONII [21]. rASSMATRIWA@TSQ SLEDU@]IE ^ISLOWYE RQDY:

1. \rQD A" { ^ISTYJ STROJ

1; 1615; 98; 65; 54; 43; 75; 107 ; 32; 85; 53; 169 ; 158 ; 2;

IZ KOTORYH ISKL@^AETSQ \POWTORENIE KA^ESTW" { ^ISLA 2 I 10=7 { OKTAWNOE UDWOENIE I WTOROJ TRITON (7=5 I 10=7 S MUZYKALX- NOJ TO^KI ZRENIQ ESTX DWA OTTENKA ODNOGO I TOGO VE KA^ESTWA, A

W TEMPERIROWANNOM STROE WOOB]E UMENX[ENNAQ KWINTA SOWPADAET S UWELI^ENNOJ KWARTOJ { 5UM 4UW).

2. rQDY fIBONA^^I { f

11; 12; 23; 35; 58; 138 ; 1321; 2134; 3455; : : :

(OTNO[ENIQ ^LENOW RQDA fIBONA^^I) I f 0

12; 13; 25; 38; 135 ; 218 ; 1334; 2155; 3489; : : :

61

(OTNO[ENIQ ^LENOW RQDA fIBONA^^I, WZQTYH ^EREZ ODIN). 3. cELYE STEPENI ^ISLA = 0; 9689845:

sOGLASNO m. a. mARUTAEWU, NAJDENNYE IM ZAKONOMERNOSTI SWQZYWA- @T FUNDAMENTALXNYE WELI^INY { ZOLOTOE SE^ENIE, POSTOQNNU@ TONKOJ STRUKTURY 1=137, POSTOQNNU@ ~c=e2, ^ISLA I e. w SWO@ O^EREDX, \TI SWQZI DA@T NAM OB_QSNENIQ FUNDAMENTALXNYH ZAKONOMERNOSTEJ IZ RAZ- LI^NYH NAU^NYH I HUDOVESTWENNYH OBLASTEJ:

1.sLOVNOSTX RITMOW PERIODI^ESKOJ SISTEMY HIMI^ESKIH \LEMENTOW d. i. mENDELEEWA.

2.zAKON PLANETNYH RASSTOQNIJ (NEKOTORYJ ANALOG \MPIRI^ESKOGO ZA- KONA tICIUSA-bODE).

3.nETO^NOSTI BIOLOGI^ESKOJ SIMMETRII (RASPOLOVENIE WNUTRENNIH ORGANOW MLEKOPITA@]IH, RASPOLOVENIE LISTXEW NA DEREWXQH I MNO- GOE DRUGOE).

4.sOOTNO[ENIQ ROVDAEMOSTI MALX^IKOW I DEWO^EK.

5.zAKON POSTROENIQ MUZYKALXNOJ [KALY.

6.sOOTNO[ENIQ RAZMEROW \KSPOZICII, RAZRABOTKI I REPRIZY SONATNOJ FORMY, A TAKVE ZAKONOMERNOSTI FORMOOBRAZOWANIQ DRUGIH MUZY- KALXNYH FORM.

pODME^ENNYE ZAKONOMERNOSTI PREDSTAWLQ@T NESOMNENNYJ INTERES, HOTQ SAMI PO SEBE POSTROENIQ WYGLQDQT ^REZMERNO ISKUSSTWENNYMI, A NEKOTORYE WYWODY DALEKO NE BESSPORNY [21]. tAK, NAPRIMER, SOMNITELX- NO UTWERVDENIE O TOM, ^TO \LEMENT POD NOMEROM 118 DOLVEN BYTX PO- SLEDNIM W PERIODI^ESKOJ SISTEME \LEMENTOW. tEM NE MENEE PRI MODELI- ROWANII W RQDE OBLASTEJ (OSOBENNO GUMANITARNYH) SLEDUET U^ITYWATX WOZMOVNU@ ROLX PODOBNYH ZAKONOMERNOSTEJ, S^ITAQ IH NEKOTORYMI FE- NOMENOLOGI^ESKIMI ZAKONAMI. oSOBENNO GLUBOKIJ SMYSL MOVET IMETX SAM PRINCIP NARU[ENNOJ SIMMETRII { KAK IZWESTNO, W PRIRODE NET NI- ^EGO ABSOL@TNO SIMMETRI^NOGO, I \TO LEGKO OB_QSNIMO: POLNAQ SIMMET- RIQ WOZMOVNA TOLXKO W STATIKE, PRI OTSUTSTWII KAKOGO-LIBO DWIVENIQ, RAZWITIQ. nO WO wSELENNOJ STATIKA MOVET OZNA^ATX LI[X KOLLAPS...

w ZAKL@^ENIE PRIWEDEM E]E ODNO L@BOPYTNOE NABL@DENIE. oKAZYWA- ETSQ, POSLEDOWATELXNOSTX KRITI^ESKIH WOZRASTOW W VIZNI MUV^IN SOW-

PADAET S OTREZKOM RQDA fIBONA^^I

5; 8; 13; 21; 34; 55; 89:

tAKIM OBRAZOM, PERELOMY W FIZIOLOGII, PSIHIKE I MIROWOZZRENII W WOZ- RASTE 21, 34 I 55 LET OPREDELQ@T VIZNENNYJ PUTX WZROSLOGO MUV^INY, I TREM OSNOWNYM \TAPAM VIZNI { S 21 DO 34, S 34 PO 55 I POSLE 55

62

LET { DOLVNY OTWE^ATX TRI KA^ESTWENNO RAZLI^NYH WIDA DEQTELXNOSTI, SOOTWETSTWU@]IE PSIHOFIZIOLOGI^ESKIM OSOBENNOSTQM \TIH \TAPOW.

uKAZANNYE KRITI^ESKIE TO^KI OBNARUVIWA@TSQ W BIOGRAFI^ESKIH MA- TERIALAH a. s. pU[KINA, i. w. FON g•ETE, l. n. tOLSTOGO, n. w. gOGOLQ, dV. wERDI, a. p. bORODINA, l. WAN bETHOWENA.

pERIODI^NOSTX W VIZNI VEN]INY POD^INQETSQ DRUGOMU REKURRENTNO- MU RQDU, A IMENNO, RQDU l@KA. rQD l@KA QWLQETSQ PROIZWODNYM RQDOM, POSTROENNYM IZ RQDA fIBONA^^I SLEDU@]IM OBRAZOM. pUSTX fUig { RQD fIBONA^^I (U1 = 1, U2 = 2, Ui+2 + Ui), TOGDA

Li = U2i 1

Ui 1

DLQ i > 2, L1 = 1. pOLU^AEM

1; 3; 4; 7; 11; 18; 29; 47; 76; :::

sOOTWETSTWU@]IJ \MUVSKOMU" OTREZOK IMEET WID

4; 7; 11; 18; 29; 47; 76:

wOZRASTNYE PERIODY VEN]INY ANALOGI^NY MUVSKIM, NO KRITI^ESKIE ZNA^ENIQ WOZRASTA NASTUPA@T RANX[E, I ^EM BOLX[E WOZRAST, TEM BOLX- [E \TA RAZNICA. pO-WIDIMOMU, \TA ZAKONOMERNOSTX HORO[O OTRAVAET FI- ZIOLOGI^ESKIE, PSIHOLOGI^ESKIE I GENETI^ESKIE RAZLI^IQ MUV^IN I VEN- ]IN1.

1pRI PODGOTOWKE NASTOQ]EGO PARAGRAFA ISPOLXZOWANY MATERIALY \KZAMENACIONNOJ RABOTY MAGISTRANTKI WTOROGO KURSA e. w. fILIPPOWOJ.

63

gLAWA 3. mODELIROWANIE W GUMANITARNYH NAUKAH

XX WEK HARAKTERIZUETSQ BURNYM RAZWITIEM PRIKLADNOJ MATEMATIKI, T. E. PO SU]ESTWU, MATEMATIZACIEJ WSEH BEZ ISKL@^ENIQ OTRASLEJ NAUKI, W TOM ^ISLE I GUMANITARNYH. pRI^EM NAIBOLX[IJ USPEH DOSTIGAETSQ W TEH OBLASTQH, GDE PRIMENENIE MATEMATI^ESKIH METODOW NE NOSIT SAMODO- WLE@]EGO HARAKTERA, A ORGANI^ESKI WPLETAETSQ W PROCESS NAU^NOGO POIS- KA. mATEMATIKA NE MOVET DOKAZYWATX NEFORMALIZOWANNYE UTWERVDENIQ, NO MOVET POMO^X WSKRYTX NOWYE FAKTY I ZAKONOMERNOSTI, A TAKVE OCE-

NITX STEPENX IH DOSTOWERNOSTI W RAMKAH ISHODNYH NA^ALXNYH DANNYH I PREDPOLOVENIJ.

3.1.mATEMATIKA I MUZYKA: OT pIFAGORA K XXI WEKU

w ANTI^NYE WREMENA MATEMATIKA I MUZYKA PREDSTAWLQLI SOBOJ OD- NU OBLASTX ^ELOWE^ESKIH ZNANIJ. i DAVE SKOREE NE \ALGEBROJ POWERQLI GARMONI@", A GARMONIEJ { ALGEBRU. iZWESTNO, W ^ASTNOSTI, ^TO DREWNEJ- [IM PRED[ESTWENNIKOM SOWREMENNOGO ROQLQ QWLQETSQ MONOHORD { PRO- STOJ ODNOSTRUNNYJ INSTRUMENT DREWNEGRE^ESKIH TEORETIKOW, SLUVIW- [IJ IM DLQ MATEMATI^ESKIH WY^ISLENIJ I OPREDELENIQ ZWUKOWYH INTER- WALOW [22]. pOZVE BYLA DOBAWLENA WTORAQ STRUNA, KOTORAQ ISPOLXZOWALASX DLQ KONTROLQ WYSOTY ZWUKA I WELI^INY INTERWALA. iZ rIMA I wIZANTII MONOHORD WMESTE S IDEQMI pIFAGORA PRONIK W zAPADNU@ eWROPU. w SRED- NIE WEKA MUZYKA, PO-WIDIMOMU, RASSMATRIWALASX KAK NAUKA TO^NAQ. oB \TOM SWIDETELXSTWOWALO WKL@^ENIE EE NE W \TRIWIUM" (PERWU@ STUPENX UNIWERSITETSKOGO OBU^ENIQ, W KOTORU@ WKL@^ALISX GRAMMATIKA, RITORI- KA I LOGIKA), A W \KWADRIWIUM" { WTORU@ STUPENX, SODERVA]U@ NARQDU S MUZYKOJ ARIFMETIKU, GEOMETRI@ I ASTRONOMI@. |TO SOOTWETSTWOWALO TRADICII WOSSOZDANNOGO W IX WEKE kONSTANTINOPOLXSKOGO UNIWERSITETA, W PROGRAMME KOTOROGO MUZYKA BYLA TAKVE OTNESENA K ESTESTWENNYM NA-

UKAM [23].

pIFAGOREJSKIE IDEI OKAZALI NEMALOE WLIQNIE NA \WOL@CI@ MUZY- KALXNOJ NAUKI. mUZYKALXNYE TEORETIKI ZNALI, ^TO DLINY STRUN, DA- @]IH \^ISTYE" INTERWALY, SOOTNOSQTSQ KAK NEBOLX[IE CELYE ^ISLA, I ^EM \TI ^ISLA MENX[E, TEM KONSONANS (SOZWU^IE) SOWER[ENNEE. \gARMONIQ ^ISEL" RASPROSTRANQLASX I NA AKKORDY. wPOSLEDSTWII OKAZALOSX WOZMOV- NYM ZAPISATX WSE SOOTNO[ENIQ INTERWALOW, AKKORDOW I TONALXNOSTEJ NA QZYKE MATEMATI^ESKOJ TEORII GRUPP.

s RAZWITIEM GUMANISTI^ESKIH IDEJ MATEMATIKA I MUZYKA WSE BOLEE I BOLEE OTDALQ@TSQ, NESMOTRQ NA POQWLENIE W POSLEDU@]IE WREMENA (DO XX WEKA WKL@^ITELXNO) MNOGO^ISLENNYH RABOT, POSWQ]ENNYH [IROKOMU SPEKTRU PROBLEM { OT ISSLEDOWANIQ RAZLI^NYH SIMMETRIJ W MUZYKE {

64

W GARMONII, W RITMIKE, W FORME { DO ^ISLOWOJ MISTIKI. oDNAKO NI OD- NA POZDNEJ[AQ RABOTA, POSWQ]ENNAQ NE FORMALXNYM, A SODERVATELXNYM WOPROSAM MUZYKI, NE OSTAWILA ZAMETNOGO SLEDA W TEORETI^ESKOM MUZYKO- ZNANII. i \TO PONQTNO { NA PROTQVENII TYSQ^ELETNEJ \WOL@CII S IX PO XIX WEK EWROPEJSKAQ MUZYKA, POSTEPENNO TERQQ ^ERTY \OTRASLI NAUKI", WSE BOLX[E STANOWITSQ ISKUSSTWOM. nA PERWYJ PLAN WYHODIT HUDOVE- STWENNOSTX, SODERVATELXNOSTX, \MOCIONALXNOSTX, ^TO WSE ^A]E SOPROWO- VDAETSQ OTKAZOM OT KANONOW I ZASTARELYH DOGM I INTENSIWNYM TWOR- ^ESKIM POISKOM. nEMNOGO^ISLENNYE ISKL@^ENIQ { NAPRIMER, OTKRYTIE s. i. tANEEWYM NOWOGO WIDA KONTRAPUNKTA STROGO MATEMATI^ESKIM ME- TODOM { TOLXKO PODTWERVDA@T OB]EE PRAWILO.

pRI^INOJ QWNOJ NEUDA^I PRIMENENIQ W \TIH SFERAH MUZYKI MATEMA- TI^ESKIH METODOW (W TOM ^ISLE TEORII GRUPP I T. P.) QWILSQ FENOME- NOLOGI^ESKIJ PODHOD, OSNOWNAQ ZADA^A KOTOROGO SOSTOIT W OPISANII, W LU^[EM SLU^AE { W ANALIZE, NO NIKOIM OBRAZOM NE W SINTEZE ILI PO- ISKE PRI^INNO-SLEDSTWENNYH SWQZEJ. pOSTANOWKA ZADA^I ABSOL@TNO NE SOOTWETSTWOWALA PRIMENQEMYM METODAM, NE PREDPOLAGALA ISPOLXZOWANIQ NAIBOLEE SILXNYH STORON MATEMATIKI { MODELEJ, DOKAZATELXSTW, WOZMOV- NOSTI [IROKOGO OBOB]ENIQ, NAKONEC, NE OTWE^ALA WOZROS[IM TREBOWA- NIQM K TEORETI^ESKOJ OBLASTI NAUKI. |TO POLOVENIE NA^ALO MENQTXSQ LI[X S SEREDINY XX WEKA.

oDNAKO W NASTOQ]EM RAZDELE MY KOSNEMSQ TEH WOPROSOW MUZYKOZNANIQ, KOTORYE OTNOSQTSQ K TRADICIONNYM RAZDELAM MATEMATIKI. |TO W PERWU@ O^EREDX STROENIE ZWUKORQDA. wY[E MY OTME^ALI, ^TO E]E PIFAGOREJCY ZNALI O \GARMONII ^ISEL" W MUZYKE { ESLI ^ASTOTY KOLEBANIJ OTNOSQTSQ KAK NEBOLX[IE CELYE ^ISLA, TO ZWUKI BUDUT KONSONIRU@]IMI, T. E. BU- DUT HORO[O SLIWATXSQ I OBRAZOWYWATX PRIQTNO ZWU^A]IJ INTERWAL. tAK, ZWUK \DO WTOROJ OKTAWY" (c2) IMEET ^ASTOTU, WDWOE PREWY[A@]U@ ^ASTO- TU ZWUKA \DO PERWOJ OKTAWY" (c1), A ^ASTOTA ZWUKA \SOLX PERWOJ OKTAWY" (g1) PREWY[AET ^ASTOTU c1 W POLTORA RAZA. iNYMI SLOWAMI, OTNO[ENIE ^ASTOT W OKTAWE 2:1, W KWINTE { 3:2. oKTAWA SOSTOIT IZ 12 POLUTONOW, KWINTA { IZ 7 (POLUTON { INTERWAL MEVDU DWUMQ SOSEDNIMI KLAWI[AMI NA FORTEPIANO NEZAWISIMO OT IH CWETA). pO\TOMU 7 OKTAW SOSTAWLQ@T 12 KWINT, I ESLI WSE POLUTONA ODINAKOWY, TO DOLVNO WYPOLNQTXSQ TOVDE-

STWO

12

27 32 :

oDNAKO \TO NEWOZMOVNO. pO\TOMU ESLI MY HOTIM POLXZOWATXSQ WSEMI WOZMOVNYMI TONALXNOSTQMI, TO DOLVNY PRIWYKNUTX K MYSLI, ^TO \^I- STOGO" STROQ MY NE DOSTIGNEM NIKOGDA [24].

nO TAK LI NUVNO RAWENSTWO POLUTONOW ILI, KAK GOWORQT SPECIALISTY,

65

RAWNOMERNAQ TEMPERACIQ? dO KONCA XVII WEKA WSE INSTRUMENTY BYLI NASTROENY W \^ISTOM" STROE (ZAMETIM, ^TO I SEJ^AS NA INSTRUMENTAH, DOPUSKA@]IH PLAWNOE IZMENENIE WYSOTY TONA { SKRIPKE, WIOLON^ELI, TROMBONE { MOVNO IGRATX W \^ISTOM" STROE). pRI \TOM RAZLI^NYE TO- NALXNOSTI RAZLI^ALISX PO ZWU^ANI@: TONALXNOSTI S NEBOLX[IM KOLI- ^ESTWOM ZNAKOW ALXTERACII W KL@^E (DIEZOW ILI BEMOLEJ) I, OSOBENNO, WOOB]E BEZ ZNAKOW (DO MAVOR I LQ MINOR) ZWU^ALI PRAWILXNO, ^ISTO. pO MERE UWELI^ENIQ ^ISLA KL@^EWYH ZNAKOW ZWU^ANIE TONALXNOSTI STANO- WILOSX WSE VEST^E, DOHODQ DO OTKROWENNOJ FALX[I W TONALXNOSTQH, IME- @]IH PO 5-7 KL@^EWYH ZNAKOW. pROISHODIT \TO POTOMU, ^TO W \^ISTOM"

STROE GAMMA SOSTOIT IZ NEKOTOROJ POSLEDOWATELXNOSTI RAZNYH POLUTONOW, I, NA^INAQ GAMMU S DRUGOJ NOTY, MY, ESTESTWENNO, POLU^AEM I DRUGU@ POSLEDOWATELXNOSTX, ZWU^A]U@ \MENEE PRAWILXNO". iMENNO \TO OBSTOQTELXSTWO QWILOSX ODNOJ IZ PRI^IN \OBRAZNOJ OKRA[ENNOSTI" RAZ- NYH TONALXNOSTEJ. iNYMI SLOWAMI, KAVDOJ TONALXNOSTI SOPOSTAWLQETSQ SWOQ OBRAZNAQ SFERA (OB \TOM SM. DALEE).

s DRUGOJ STORONY, WOZMOVNOSTX KONTRASTA, SOPOSTAWLENIQ RAZLI^- NYH OBRAZNYH SFER (T. E. RAZLI^NYH TONALXNOSTEJ) QWLQETSQ NEOBHO- DIMYM USLOWIEM DINAMIKI RAZWITIQ MUZYKALXNOGO PROIZWEDENIQ { SO- ^INENIE, NAPISANNOE ISKL@^ITELXNO W ODNOJ TONALXNOSTI, PROIZWODIT WPE^ATLENIE MONOTONNOJ TAWTOLOGII (ESLI, KONE^NO, U AWTORA NET DLQ \TOGO DOSTATO^NO UBEDITELXNYH HUDOVESTWENNYH OSNOWANIJ, LIBO DRUGIH SREDSTW DLQ DINAMIZACII PROIZWEDENIQ2). |TO HARAKTERNO KAK DLQ MUZY- KI GOMOFONNO-AKKORDOWOGO SKLADA, TAK I DLQ POLIFONI^ESKIH PROIZWEDE- NIJ. eSTESTWENNO, WOZNIKLA TENDENCIQ K RAS[IRENI@ KRUGA UPOTREBI- TELXNYH TONALXNOSTEJ, ^EMU PREPQTSTWOWALO NESOWER[ENSTWO PRINQTOGO ZWUKORQDA. pO\TOMU NA RUBEVE XVII-XVIII WEKOW WOZNIKA@T CIKLY PRO- IZWEDENIJ, OB_EDINQ@]IE PXESY, NAPISANNYE WO WSEH 12 MAVORNYH I 12 MINORNYH TONALXNOSTQH (NAIBOLEE IZWESTNYJ CIKL TAKOGO RODA { \Das Wohltemperierte Klavier" BWV 846-893 [25]). |TO, W SWO@ O^EREDX, STIMU-

LIROWALO WWEDENIE RAWNOMERNOJ TEMPERACII W MUZYKALXNU@ PRAKTIKU I RAZWITIE ISPOLNITELXSKOJ TEHNIKI; DALEE, WSLED ZA \TIM NAMETILSQ O^E- WIDNYJ PROGRESS W KONSTRUIROWANII DUHOWYH MUZYKALXNYH INSTRUMEN- TOW { WWODQTSQ NOWYE KLAPANY, IZOBRETA@TSQ KLAPANNYE SISTEMY (SISTE- MA tEOBALXDA b•EMA DLQ FLEJTY). nAPOMNIM, ^TO DO SEREDINY XVIII WEKA DEREWQNNYE DUHOWYE INSTRUMENTY BYLI DIATONI^ESKIMI I WOSPROIZWO- DILI TOLXKO OBY^NU@ GAMMU (\BEZ DIEZOW I BEMOLEJ"), A MEDNYE DUHOWYE

BYLI WOOB]E NATURALXNYMI I WOSPROIZWODILI LI[X GARMONIKI ODNOGO OSNOWNOGO TONA (LI[X TROMBON W SILU SWOEJ KONSTRUKCII BYL HROMATI- ^ESKIM INSTRUMENTOM).

2hORO[IM KONTRPRIMEROM SLUVIT, NAPRIMER, \bOLERO" m. rAWELQ.

66

pO\TOMU W TE^ENIE PO^TI DWUH WEKOW W KA^ESTWE STANDARTA PRINQTA RAWNOMERNAQ LOGARIFMI^ESKAQ [KALA, W KOTOROJ OTNO[ENIE ^ASTOT ZWU- KOW, SOSTAWLQ@]IH POLUTONOWYJ INTERWAL, DLQ PROIZWOLXNOGO POLUTONA

RAWNO

wOZNIKAET ESTESTWENNYJ WOPROS { ESLI DOSTIGNUTO POLNOE RAWNOPRAWIE TONALXNOSTEJ, TO KAKIM OBRAZOM SOHRANQ@TSQ ASSOCIACII TONALXNOSTEJ S OBRAZNYMI SFERAMI? wO-PERWYH, SU]ESTWENNU@ ROLX IGRAET TRADICIQ, A TAKVE TO, ^TO ^ELOWE^ESKOE UHO NE \NASTROENO" NA INTERWALY S IRRACI- ONALXNYM SOOTNO[ENIEM ^ASTOT. wO-WTORYH, RAWNOPRAWIE TONALXNOSTEJ DOSTIGNUTO TEORETI^ESKI, A PRAKTI^ESKI RAZLI^NYE NOTY WSE VE NE RAW- NOPRAWNY: \TALONOM NASTROJKI OSTAETSQ FIKSIROWANNAQ NOTA { LQ PERWOJ OKTAWY (a1) S ^ASTOTOJ 440 gC. tAK KAK NASTROJKA OSU]ESTWLQETSQ NA- ^INAQ S NEKOTOROGO WYDELENNOGO ZWUKA NA SLUH, POLNOGO RAWNOPRAWIQ PO- LUTONOW DOSTI^X NE UDASTSQ. tEM BOLEE \TO SPRAWEDLIWO PO OTNO[ENI@ K INSTRUMENTAM, OSTA@]IMSQ PO SU]ESTWU DIATONI^ESKIMI ILI NATU- RALXNYMI { WWEDENIE KORREGIRU@]IH KLAPANOW WYRAWNIWAET ZWUKORQD, NO OSTAWLQET IZRQDNU@ SWOBODU DLQ ISPOLNITELQ. g. e. {ILOW [24] OT- ME^AET: <...MUZYKANTY S^ITA@T, ^TO TONALXNOSTI OBLADA@T I INDIWI- DUALXNYMI KA^ESTWAMI. tAK, NAPRIMER, S^ITAETSQ, ^TO DO MAVOR HARAK- TEREN DLQ SWETLOGO, SOLNE^NOGO, SPOKOJNOGO NASTROENIQ (SONATA bETHOWE- NA \aWRORA"), MI MAVOR { DLQ WZWOLNOWANNOGO, STRASTNO-NAPRQVENNOGO PEREVIWANIQ (MNOGIE PROIZWEDENIQ lISTA, ROMANS \dENX LI CARIT" ~AJ- KOWSKOGO), FA DIEZ MAVOR { DLQ RADOSTNO-WOZWY[ENNYH O]U]ENIJ (\wES- NOJ" gRIGA); DO MINOR { DLQ MUVESTWENNOJ PE^ALI (\pOHORONNYJ MAR[" IZ gEROI^ESKOJ SIMFONII bETHOWENA); MI BEMOLX MINOR { DLQ GLUBOKO TRAGI^ESKIH SOSTOQNIJ (ROMANS pOLINY IZ \pIKOWOJ DAMY" ~AJKOWSKO- GO). pOKA E]E NE WYQSNENO, OTRAVA@TSQ LI W TAKOGO RODA SUVDENIQH KAKIE-LIBO OB_EKTIWNYE ZAKONOMERNOSTI, ILI VE MY IMEEM DELO LI[X S USTOQW[EJSQ TRADICIEJ. wOZMOVNO, WPRO^EM, ^TO PROCESS NASTROJKI MUZYKALXNYH INSTRUMENTOW W SILU OSOBENNOSTEJ SLUHA PRIWODIT FAK- TI^ESKI NE K RAWNOMERNYM, NESKOLXKO VESTKIM, A K SLEGKA SMQG^ENNYM INTERWALAM MUZYKALXNOJ [KALY... wO WSQKOM SLU^AE, NAUKA NE STOIT NA MESTE I RANX[E ILI POZVE PRIDET K OB_QSNENI@ I \TOJ I DRUGIH NEOB_- QSNENNYH E]E ZAKONOMERNOSTEJ MUZYKI>. wPRO^EM, TRAKTOWKI OBRAZNYH I \MOCIONALXNYH SFER, SWQZANNYH S KONKRETNYMI TONALXNOSTQMI, MOGUT OTLI^ATXSQ W DETALQH OT UKAZANNYH, NO OB]IJ NASTROJ W CELOM SOWPADA- ET.

k NA^ALU XX WEKA WOZNIKLO O]U]ENIE, ^TO WOZMOVNOSTI KLASSI^E- SKOJ GARMONII UVE IS^ERPANY ILI PO^TI IS^ERPANY. kOMPOZITORY SO-

67

^INQ@T PROIZWEDENIQ, OBILXNO OSNA]ENNYE ATONALXNYMI I POLITONALX- NYMI FRAGMENTAMI, [IROKO ISPOLXZUETSQ TRITON. nA PROTQVENII RAZ-

WITIQ EWROPEJSKOJ MUZYKI MY OT BESSTRASTNOJ SREDNEWEKOWOJ MUZYKI ^EREZ BOGATSTWO MUZYKI wOZROVDENIQ, bAROKKO, kLASSICIZMA, rOMAN- TIZMA SNOWA PRIHODIM K BESKONTRASTNOJ, MONOTONNOJ ATONALXNOJ MUZY- KE, WSE OTLI^IE KOTOROJ OT SREDNEWEKOWOJ SOSTOIT W TOM, ^TO NA SMENU KONSONANTNOSTI PRI[LO TORVESTWO DISSONANSA. pRI \TOM, NESMOTRQ NA GIPERTROFIROWANNYJ \KSPRESSIONIZM, MUZYKA \TA NE PROIZWODIT WPE^AT- LENIE DINAMI^NOJ, W NEJ NET STIMULA K DWIVENI@, K RAZWITI@, TAK KAK NET KONTRASTA.

lOGI^ESKIM ZAWER[ENIEM \TOJ TENDENCII STALA KONCEPCIQ aRNOLX- DA {•ENBERGA. oN ISHODIT IZ OSNOWNOJ PREDPOSYLKI O POLNOM RAWENSTWE MEVDU SOBOJ WSEH DWENADCATI POLUTONOW HROMATI^ESKOGO ZWUKORQDA, NI ODIN IZ KOTORYH NE IMEET PREIMU]ESTW PERED DRUGIM. kOMPOZITOR SO- STAWLQET DWENADCATITONNYJ RQD, PREDSTAWLQ@]IJ SOBOJ KOMBINACI@ IZ WSEH DWENADCATI STUPENEJ HROMATI^ESKOJ GAMMY, PRI^EM NI ODIN ZWUK RQDA NE MOVET POWTORQTXSQ RANX[E, ^EM PROZWU^AT OSTALXNYE ODINNA- DCATX. dOPUSKA@TSQ SWOBODNOE PEREME]ENIE TONOW IZ ODNOJ OKTAWY W DRUGU@. w DALXNEJ[EM \TOT RQD ILI \SERIQ" MOVET PODWERGATXSQ SLE- DU@]IM PREOBRAZOWANIQM: A) \OBRA]ENIE", ILI INWERSIQ, PRI KOTOROJ WSE INTERWALY RQDA STROQTSQ W OBRATNOM NAPRAWLENII; B) \RAKOHODNOE OBRA]ENIE" { DWIVENIE OT KONCA K NA^ALU I, NAKONEC, W) \INWERSIQ RA- KOHODNOGO OBRA]ENIQ". lEGKO WIDETX, ^TO \TI PREOBRAZOWANIQ (WMESTE S TOVDESTWENNYM) OBRAZU@T GRUPPU kLEJNA D2... w DALXNEJ[EM SORATNIK a. {•ENBERGA aNTON wEBERN DOWEL DODEKAFONI@ PRAKTI^ESKI DO ABSURDA, PROWOZGLASIW PRINCIP\TOTALXNOJ ORGANIZACII MUZYKI", PO KOTOROMU SE- RIJNOSTI POD^INQ@TSQ WSE HARAKTERISTIKI MUZYKI { DINAMIKA, INSTRU- MENTOWKA, DLITELXNOSTI I DAVE PAUZY.

wYDA@]IJSQ KOMPOZITOR XX WEKA aRT@R oNEGGER PISAL [26]: \sE- RIJNAQ SISTEMA BAZIRUETSQ NA O^ENX UZKOM SWODE ZAKONOW: DODEKAFONI- STY KAVUTSQ MNE ^EM-TO WRODE KATORVNIKOW S GALER, KOTORYE, PORWAW SWOI CEPI, WZAMEN PRIKOWALI S SWOIM NOGAM STOKILOGRAMMOWYE ^UGUNNYE QDRA, ^TOBY BYSTREJ BEVATX... iH DOGMA WO MNOGOM NAPOMINAET [KOLX- NYJ KONTRAPUNKT, S TOJ, ODNAKO, RAZNICEJ, ^TO OWLADENIE KONTRAPUNKTOM OTKRYWAET [IROKIE WOZMOVNOSTI DLQ POWY[ENIQ TEHNIKI PISXMA, DLQ RAZWITIQ FANTAZII, W TO WREMQ KAK PRAWILA DWENADCATITONOWOJ SISTEMY QWLQ@TSQ NE SREDSTWOM K DOSTIVENI@ \TOJ CELI, NO SAMOJ CELX@!..."

pO SU]ESTWU, DODEKAFONNAQ TEORIQ (I EJ PODOBNYE \SISTEMY") OTHO-

DIT OT HUDOVESTWENNYH PRINCIPOW ISKUSSTWA I STAWIT WO GLAWU UGLA PRINCIP NAU^NYJ { SOZDAWATX TO, ^TO NIKTO E]E NE SOZDAWAL. pODOBNYJ PRINCIP (\MANSIPACIQ DISSONANSA I OBQZATELXNYJ OTKAZ OT KONSONANT-

68

NYH GARMONIJ) { QWLQETSQ, PO SU]ESTWU, AKSIOMOJ, NE SLEDU@]EJ IZ OSNOW ILI SODERVANIQ MUZYKI. kONE^NO, W PROCESSE STANOWLENIQ \MU- ZYKI AWANGARDA" BYLI NAJDENY NOWYE PRIEMY, KOTORYE W RQDE SLU^AEW OKAZYWA@TSQ NA REDKOSTX WYRAZITELXNYMI3. tEM NE MENEE O^EWIDNO, ^TO \NAU^NYJ" PUTX RAZWITIQ MUZYKI NE IMEET NI^EGO OB]EGO S EE PREDNA- ZNA^ENIEM KAK OTRASLI ISKUSSTWA. w NA[U ZADA^U NE WHODIT PODROBNOE RASSMOTRENIE RAZLI^NYH TE^ENIJ AWANGARDA, MY LI[X ILL@STRIRUEM PRI^INY NEUDA^ PRQMOGO PRIMENENIQ TO^NYH NAU^NYH METODOW W ISKUS- STWE, W ^ASTNOSTI, W MUZYKALXNOM.

w DANNOM RAZDELE MY NAMERENNO NE RASSMATRIWAEM MUZYKALXNU@ AKU- STIKU, DOWOLXNO RANO WYDELIW[U@SQ W SAMOSTOQTELXNU@ DISCIPLINU, RODSTWENNU@ NEKOTORYM RAZDELAM MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. oPISANIE DA- VE ^ASTI AKTUALXNYH I NE RE[ENNYH DO SIH POR ZADA^ TREBUET, BEZ- USLOWNO, OTDELXNOJ PUBLIKACII. bOLEE TOGO, RQDU WOPROSOW POSWQ]ENY CELYE MONOGRAFII, NAPRIMER, PROBLEME WYBORA MATERIALA I OPTIMALX- NOJ FORMY REZONATOROW STRUNNYH MUZYKALXNYH INSTRUMENTOW (KRATKOE OBSUVDENIE SM. W [27]), ZAGADKAM ZWU^ANIQ I PROBLEMAM RAS^ETA KOLOKO- LOW [28]. oB[IRNYJ SPRAWO^NYJ MATERIAL PO MUZYKALXNOJ AKUSTIKE I MUZYKALXNOMU WOSPRIQTI@ (MASKIROWKA ZWUKOW, KOMBINACIONNYE TONY) PRIWEDEN W [29].

dALEE MY PEREHODIM K NEKOTORYM PROBLEMAM MUZYKOZNANIQ, KOTORYE DO POSLEDNEGO WREMENI S^ITALISX NEFORMALIZUEMYMI.

3.2.bIORITMY I WNUTRENNIE WZAIMOSWQZI W MUZYKALXNOM TWOR^ESTWE

sLEDUET OBRATITX WNIMANIE NA DWA PRINCIPIALXNYH POLOVENIQ. wO-PERWYH, MATEMATI^ESKIE METODY W PRIMENENII K MUZYKOZNANI@

IGRA@T ROLX WSPOMOGATELXNOGO APPARATA, KOTORYJ POZWOLQET:

1)WYQWLQTX NOWYE FAKTY I ZAKONOMERNOSTI (NA UROWNE GIPOTEZ);

2)OCENIWATX DOSTOWERNOSTX TOGO ILI INOGO UTWERVDENIQ, OSOBENNO PRI NALI^II NESKOLXKIH (WZAIMOISKL@^A@]IH) GIPOTEZ;

3)PROWODITX NEZAWISIMU@ PROWERKU UTWERVDENIJ, BAZIRU@]IHSQ NA OPYTNOM MATERIALE. iNYMI SLOWAMI, MATEMATIKA NIKOIM OBRAZOM NE PRETENDUET NA TO, ^TOBY STATX ALXTERNATIWOJ TRADICIONNYM METODAM MUZYKOZNANIQ.

wO-WTORYH, MATEMATIKA OPERIRUET LI[X S FORMALIZOWANNYMI WELI- ^INAMI (KOLI^ESTWENNYMI ILI RANVIROWANNYMI), PRI^EM EDINICA IZ- MERENIQ WYBIRAETSQ IZ USLOWIJ DANNOJ KONKRETNOJ ZADA^I. nAPRIMER,

3nAPRIMER, \tREN PAMQTI hIROSIMY" POLXSKOGO KOMPOZITORA k[I[TOFA pENDERECKOGO.

69

WYBOR TAKTA W KA^ESTWE EDINICY OB_EMA MUZYKALXNOGO PROIZWEDENIQ SO-

WSEM NE OZNA^AET RAWENSTWA HUDOVESTWENNOJ CENNOSTI TAKTOW DETSKOGO MENU\TA I 40-J SIMFONII wOLXFGANGA aMADEQ mOCARTA. sLEDUET POD- ^ERKNUTX, ^TO POD L@BOJ MATEMATIZACIEJ PODRAZUMEWAETSQ STROGAQ PO- STANOWKA ZADA^I I STROGIE RAMKI PRIMENENIQ ISHODNYH PREDPOLOVENIJ.

1. bIORITMY TWOR^ESTWA. oB]EIZWESTNO, ^TO WLIQNIE BIORITMOW NA VIZNEDEQTELXNOSTX ^ELOWEKA OGROMNO. wSE VIZNENNYE FUNKCII OR- GANIZMA W TOJ ILI INOJ MERE POD^INENY RITMAM { SUTO^NYM, NEDELX- NYM, MESQ^NYM, SEZONNYM, GODOWYM. |TI VE PERIODY MOVNO DOWOLXNO LEGKO RASPROSTRANITX I NA SFERY DEQTELXNOSTI, SWQZANNYE S FIZI^E- SKIM TRUDOM. i W TOM, I W DRUGOM SLU^AE RE^X IDET O PERIODI^NOSTI, WYQWLQEMOJ ZA SRAWNITELXNO NEBOLX[OJ PROMEVUTOK WREMENI, A GLAW- NOE, SU]ESTWU@T PROSTYE KOLI^ESTWENNYE KRITERII IZU^AEMOGO PROCES- SA (NAPRIMER, ^ASTOTA PULXSA ILI INTENSIWNOSTX BIOTOKOW DLQ VIZNEN-

NYH FUNKCIJ ORGANIZMA I KOLI^ESTWO OBRABOTANNYH W EDINICU WREMENI DETALEJ { DLQ FIZI^ESKOGO TRUDA). pOISK VE BIORITMI^ESKIH ZAKONOMER- NOSTEJ TWOR^ESTWA SRAZU VE NATALKIWAETSQ NA DWA SU]ESTWENNYH PREPQT- STWIQ. wO-PERWYH, ESLI NAS INTERESU@T RITMY S PERIODOM W NESKOLXKO LET, TO SKOLXKO VE WREMENI BUDET DLITXSQ \KSPERIMENT PO NABL@DENI@ ^ETYREH-PQTI POLNYH KOLEBANIJ? i \TO UVE NE S^ITAQ TOGO, ^TO PROCESS TWOR^ESTWA, KAK PRAWILO, NE TERPIT WME[ATELXSTWA IZWNE, A REZULXTAT

TWOR^ESKOJ RABOTY ZNA^ITELXNO MENEE USTOJ^IW K IZMENENI@ WNE[NIH USLOWIJ, ^EM RABOTOSPOSOBNOSTX W FIZI^ESKOJ SFERE ILI, TEM BOLEE, ^A- STOTA DYHANIQ ILI ESTESTWENNAQ SMENA SNA I BODRSTWOWANIQ.

wO-WTORYH, KAK IZMERITX TRUDOEMKOSTX TWOR^ESKOGO PROCESSA? wEDX BESSMYSLENNO BYLO BY OCENIWATX TRUD, WLOVENNYJ W SIMFONI@, WESOM PARTITURY, A W KARTINU { KILOGRAMMAMI ISTRA^ENNOJ KRASKI. zDESX SRAZU VE SLEDUET SDELATX NEBOLX[OE OTSTUPLENIE: SU]ESTWU@]IE PRO- IZWEDENIQ ISKUSSTWA MOVNO (WESXMA GRUBO) RAZDELITX NA DWE KATEGORII: 1) MUZYKALXNYE SO^INENIQ, LITERATURNYE I DRAMATI^ESKIE PROIZWEDE- NIQ, KINOFILXMY I 2) PROIZWEDENIQ VIWOPISI, SKULXPTURY I ARHITEK- TURY. rAZLI^IE MEVDU \TIMI KATEGORIQMI SOSTOIT W TOM, ^TO L@BOJ PREDSTAWITELX PERWOJ WOSPRINIMAETSQ KAK OB_EKTIWNYJ PROCESS, RAZ- WITIE KOTOROGO WO WREMENI DETERMINIRUETSQ AWTOROM, TOGDA KAK PRED- STAWITELX WTOROJ KATEGORII QWLQETSQ KAK BY WE]X@, DANNOJ CELIKOM, ODNOWREMENNO, PROCESS WOSPRIQTIQ SUB_EKTIWEN I NE ZAWISIT OT WOLI SO- ZDATELQ. sRAWNITE { MOVNO SKAZATX \NA^ALO SIMFONII", NO NELXZQ { \NA- ^ALO PEJZAVA". pONQTNO, ^TO DELENIE \TO WESXMA USLOWNO { DOSTATO^NO UKAZATX NA MUZYKALXNYE SO^INENIQ S \LEMENTAMI ALEATORIKI (SLU^AJNAQ MUZYKA) I, NAPRIMER, SERII ISTORI^ESKIH KARTIN, OB_EDINENNYH OB]IM S@VETOM (ZDESX NA SUB_EKTIWNOSTX WOSPRIQTIQ OTDELXNOGO POLOTNA NA-

70