Математические модели в точных и гуманитарных науках (Зайцев В

rossijskij gosudarstwennyj pedagogi~eskij uniwersitet IM. a. i. gercena

KAFEDRA MATEMATI^ESKOGO ANALIZA

w. f. zAJCEW

matemati~eskie modeli w to~nyh i gumanitarnyh naukah

nAU^NOE IZDANIE

sANKT-pETERBURG

2006

rECENZENTY: D. P. N. PROFESSOR wLASOWA e. z.

D. P. N. PROFESSOR gORBUNOWA i. b.

zAJCEW w. f. mATEMATI^ESKIE MODELI W TO^NYH I GUMANITARNYH NAU-

KAH. { spB.: ooo \kNIVNYJ dOM", 2006. { 112 S. { ISBN 5{94777{060{1

mONOGRAFIQ PREDNAZNA^ENA DLQ STUDENTOW, MAGISTRANTOW I PREPODA-

WATELEJ I MOVET BYTX ISPOLXZOWANA W KA^ESTWE U^EBNOGO POSOBIQ PRI IZU^ENII DISCIPLIN, SWQZANNYH S MATEMATI^ESKIM MODELIROWANIEM W SAMYH RAZNOOBRAZNYH OTRASLQH PRIKLADNOJ NAUKI. oNO TAKVE BUDET PO- LEZNO PRI PODGOTOWKE K SEMINARAM, FAKULXTATIWNYM ZANQTIQM I PRI SA- MOSTOQTELXNOM IZU^ENII WOPROSOW DANNOJ TEMATIKI. mATERIAL MONOGRA- FII MOVET BYTX [IROKO ISPOLXZOWAN NA LEKCIQH I PRAKTI^ESKIH ZANQTI- QH PO KURSAM DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ I MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. sPECIALISTAM-GUMANITARIQM POSOBIE MOVET SLUVITX KRATKIM RUKOWOD- STWOM PO PRIMENENI@ MATEMATI^ESKIH METODOW W ISTORII, LINGWISTIKE I MUZYKOWEDENII.

oSNOWNOJ CELX@ NASTOQ]EJ MONOGRAFII QWLQETSQ IZLOVENIE LOGIKI MODELIROWANIQ NA NETRIWIALXNYH PRIMERAH, ^TO SPOSOBSTWUET TAKVE POWY[ENI@ KRUGOZORA, \RUDICII I GLUBINY MY[LENIQ BUDU]IH SPECIA- LISTOW WYS[EJ KWALIFIKACII.

iL. 18. bIBLIOGR. 49 NAZW.

pREDISLOWIE AWTORA

kURS LEKCIJ \mATEMATI^ESKIE MODELI W ESTESTWOZNANII" ^ITAETSQ W rgpu IM. a. i. gERCENA MAGISTRANTAM FAKULXTETA MATEMATIKI 2-GO GO- DA OBU^ENIQ W POSLEDNEM SEMESTRE. nETRADICIONNOE NAZWANIE (W OTLI^IE OT PRIWY^NOGO \mATEMATI^ESKOE MODELIROWANIE") POD^ERKIWAET SU]E- STWENNO INU@ NAPRAWLENNOSTX \TOJ DISCIPLINY. w SAMOM DELE, KRATKO RASSMATRIWA@TSQ RAZLI^NYE TIPY MODELEJ I IH SWOJSTWA, POSLE ^EGO PROWODITSQ PODROBNYJ ANALIZ IZBRANNYH KONKRETNYH OB_EKTOW, QWLENIJ I PROCESSOW S SOPOSTAWLENIEM IM WOZMOVNYH MODELEJ. pRI \TOM PRIME- RY ZAIMSTWU@TSQ IZ SAMYH RAZLI^NYH OBLASTEJ ^ELOWE^ESKOGO ZNANIQ { MEHANIKI I FIZIKI, HIMII I BIOLOGII, ASTROFIZIKI I \KOLOGII, A TAKVE IZ MUZYKOWEDENIQ, ISTORII I LINGWISTIKI. sLEDUET OTMETITX, ^TO AWTOR OTDAL PREDPO^TENIE MODELQM, KOTORYE WHODQT W KRUG EGO INTERESOW I PO- SLUVILI PREDMETOM EGO NAU^NYH ISSLEDOWANIJ. w ^ASTNOSTI, POSLEDNIJ \BLOK" NAU^NYH OTRASLEJ IZLAGAETSQ NA OSNOWE EGO BRO[@RY \bIORITMY TWOR^ESTWA" [1], WPRO^EM, RADIKALXNO PERERABOTANNOJ. bOLX[OE WNIMA- NIE UDELQETSQ \TONKOSTQM" ZADA^I MODELIROWANIQ, PO\TOMU W NEKOTORYH

SLU^AQH PROCESS POSTROENIQ MODELI DOWODITSQ TOLXKO DO UROWNQ SODER-

VATELXNOJ MODELI.

wMESTE S TEM W KURSE LEKCIJ OTSUTSTWU@T PRIWY^NYE RAZDELY { KA- ^ESTWENNYE I ^ISLENNYE METODY, OCENKI TO^NOSTI I TRUDOEMKOSTI ALGO- RITMOW |wm I DR. pRI^INA ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO SEMESTROWYJ KURS WRQD LI SPOSOBEN WMESTITX GLUBOKOE IZLOVENIE UKAZANNYH RAZDELOW, A POWERHNOSTNYJ OBZOR WO MNOGOM DUBLIROWAL BY MATERIALY, UVE IZLO- VENNYE W DRUGIH KURSAH. pO\TOMU OSNOWNOJ CELX@ NASTOQ]EGO KURSA QWLQETSQ IZU^ENIE LOGIKI MODELIROWANIQ NA NETRIWIALXNYH PRIME- RAH, ^TO KOSWENNO SPOSOBSTWUET TAKVE POWY[ENI@ KRUGOZORA, \RUDICII I GLUBINY MY[LENIQ BUDU]IH SPECIALISTOW WYS[EJ KWALIFIKACII.

mATERIAL SPECKURSA [IROKO ISPOLXZUETSQ AWTOROM PRI ^TENII LEK-

CIJ I PROWEDENII PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ PO KURSAM DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ I MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. |TO POZWOLQET POZNAKOMITX STU-

DENTOW S POTREBNOSTQMI SOWREMENNYH PRIKLADNYH NAUK I POKAZATX NA KONKRETNYH (I WESXMA NEPROSTYH!) PRIMERAH, PO^EMU W MATEMATI^ESKOJ PRAKTIKE WOZNIKAET STOLX OGROMNOE ^ISLO DIFFERENCIALXNYH URAWNE- NIJ, MNOGIE IZ KOTORYH E]E VDUT SWOIH ISSLEDOWATELEJ.

aWTOR S^ITAET SWOIM PRIQTNYM DOLGOM WYRAZITX ISKRENN@@ BLAGO- DARNOSTX a. n. kUS@MOWU (kgtu IM. a. n. tUPOLEWA, kAZANX) I s. i. sE- NA[OWU (sIBgau, kRASNOQRSK) ZA CENNYE OBSUVDENIQ, A TAKVE GRUPPE MAGISTROW FAKULXTETA MATEMATIKI rgpu IM. a. i. gERCENA (WYPUSK 2006 GODA) ZA T]ATELXNU@ KORREKTURU PROBNOGO IZDANIQ.

3

gLAWA 1. oSNOWNYE PRINCIPY MODELIROWANIQ

w PERWOJ GLAWE RASSMATRIWA@TSQ PRINCIPY MATEMATI^ESKOGO MODE- LIROWANIQ W TOJ IH ^ASTI, KOTORAQ KASAETSQ OPREDELENIQ, POSTROENIQ I SWOJSTW SODERVATELXNYH I MATEMATI^ESKIH MODELEJ \W CELOM". iZLOVE- NIE WO MNOGOM OPIRAETSQ NA O^ENX POLEZNU@ KNIGU a. d. mY[KISA [2].

1.1.oPREDELENIE I SWOJSTWA MODELEJ

iZWESTNO, ^TO TERMIN MATEMATI^ESKOE MODELIROWANIE PRIMENQ-

ETSQ PO OTNO[ENI@ K OBLASTI PRIKLADNOJ MATEMATIKI, WKL@^A@]EJ W SEBQ KAK POSTROENIE I ISSLEDOWANIE MATEMATI^ESKIH MODELEJ, TAK I SO- ZDANIE WY^ISLITELXNYH ALGORITMOW I PROGRAMM, REALIZU@]IH \TI AL- GORITMY NA |wm. kAK UVE UKAZYWALOSX, MY BUDEM ZANIMATXSQ TOLXKO PERWOJ SFEROJ, TEM BOLEE ^TO DLQ KA^ESTWENNYH ISSLEDOWANIJ WSEGDA PREDPO^TITELXNEE OGRANI^ITXSQ PUSTX SLEGKA UPRO]ENNOJ, NO TO^NOJ ANALITI^ESKOJ MODELX@, BAZIRU@]EJSQ NA FUNDAMENTALXNYH PRINCIPAH (PODOBII, SIMMETRII I DR.).

pUSTX MY SOBIRAEMSQ ISSLEDOWATX SOWOKUPNOSTX S SWOJSTW NEKOTORO- GO REALXNOGO OB_EKTA a MATEMATI^ESKIMI METODAMI (TERMIN REALXNYJ OB_EKT WKL@^AET W SEBQ KAK SOBSTWENNO OB_EKT, TAK I SITUACI@, QWLE- NIE, PROCESS I T.D.). dLQ \TOGO MY DOLVNY \PEREWESTI" OB_EKT a NA MATEMATI^ESKIJ QZYK, T.E. POSTROITX W KAKOM-TO SMYSLE OTOBRAVENIE a ! a0, GDE a0 { MATEMATI^ESKIJ OB_EKT (SISTEMA SOOTNO[ENIJ, URAW- NENIJ ILI GEOMETRI^ESKIH FIGUR). eSLI ISSLEDOWANIE MATEMATI^ESKOGO OB_EKTA a0 POZWOLQET SDELATX SODERVATELXNYE WYWODY O SWOJSTWAH S REALXNOGO OB_EKTA a, OB_EKT a0 NAZYWAETSQ MATEMATI^ESKOJ MODELX@ OB_EKTA a OTNOSITELXNO SOWOKUPNOSTI S EGO SWOJSTW.

pROCESS POSTROENIQ MATEMATI^ESKOJ MODELI PROHODIT ^EREZ NESKOLX- KO STADIJ, PERWOJ IZ KOTORYH QWLQETSQ NABL@DENIE. w REZULXTATE NA- BL@DENIQ INTERESU@]IH NAS SWOJSTW REALXNOGO OB_EKTA MY FORMULI- RUEM IH NA QZYKE TOJ OTRASLI NAUKI, KOTORAQ IZU^AET \TI SWOJSTWA { STROIM MEHANI^ESKU@, FIZI^ESKU@, HIMI^ESKU@, BIOLOGI^ESKU@, \KONO- MI^ESKU@ ILI INU@ MODELX OB_EKTA. tAKAQ MODELX NAZYWAETSQ SODERVATELXNOJ. pRI POSTROENII SODERVATELXNOJ MODELI FORMULIRU@TSQ I ISPOLXZU@TSQ SOOTWETSTWU@]IE GIPOTEZY (ILI POSTULATY). pRI \TOM NESU]ESTWENNOE DLQ OPISANIQ INTERESU@]IH NAS SWOJSTW OTBRASYWAET- SQ. nA OSNOWE SODERVATELXNOJ MODELI I PRINQTYH OPREDELQ@]IH SOOT- NO[ENIJ MY WYPISYWAEM SOOTWETSTWU@]IE EJ URAWNENIQ, PEREWODQ TEM SAMYM MODELX NA FORMALXNYJ MATEMATI^ESKIJ QZYK. w KA^ESTWE OPREDE- LQ@]IH SOOTNO[ENIJ, NAPRIMER, W FIZIKE, ISPOLXZU@TSQ UNIWERSALXNYE

4

FIZI^ESKIE ZAKONY (ZAKONY SOHRANENIQ, SIMMETRII, PRAWILA RAZMERNO- STI { -TEOREMA bUKINGEMA) + FENOMENOLOGI^ESKIE ZAKONY, PRISU]IE DANNOJ BOLEE UZKOJ OTRASLI NAUKI (TIPA ZAKONOW gUKA, fURXE, sTEFANA). dALXNEJ[IE \TAPY MODELIROWANIQ OTNOSQTSQ UVE K SFERE RE[ENIQ PO- LU^ENNYH URAWNENIJ I NAMI NE RASSMATRIWA@TSQ. zAMETIM TOLXKO, ^TO, KAK PRAWILO, PARAMETRY, WHODQ]IE W URAWNENIQ, IME@T \PROZRA^NYJ" FIZI^ESKIJ SMYSL, PO\TOMU W PROCESSE RE[ENIQ MY MOVEM PRIWLEKATX DOPOLNITELXNYE SWEDENIQ.

eSLI MY NA[LI RE[ENIE MODELXNOGO URAWNENIQ, NUVNO PROWESTI ANA- LIZ POLU^ENNOGO RE[ENIQ S TO^KI ZRENIQ FIZI^ESKOGO SMYSLA. pO SU]E- STWU, \TO SLEDU@]IJ (I NEOBHODIMYJ!) \TAP MATEMATI^ESKOGO MODELIRO- WANIQ { INTERPRETACIQ (ISTOLKOWANIE) REZULXTATA ISSLEDOWANIQ MATE- MATI^ESKOJ MODELI. |TOT \TAP, KAK PRAWILO, WKL@^AET W SEBQ I WERIFIKACI@ MODELI { KONTROLX PRAWILXNOSTI MODELI NA OSNOWE SRAWNENIQ REZULXTATA S DRUGIMI IZWESTNYMI FAKTAMI, W ^ASTNOSTI, S \KSPERIMEN- TALXNYMI DANNYMI.

wSE UKAZANNYE \TAPY WZAIMOSWQZANY { PRI POSTROENII MATEMATI^E- SKOJ MODELI MY APRIORI ORIENTIRUEMSQ NA PREDPOLAGAEMYJ METOD RE-

[ENIQ MATEMATI^ESKOJ ZADA^I I NA KA^ESTWENNYE SWOJSTWA POLU^AEMOGO RE[ENIQ (NAPRIMER, TO^NOE ANALITI^ESKOE RE[ENIE, PRIGODNOE DLQ GLU- BOKIH ISSLEDOWANIJ ZAWISIMOSTEJ OT RAZLI^NYH PARAMETROW, ILI ^ISLEN- NYJ REZULXTAT DLQ NEPOSREDSTWENNOGO PRIMENENIQ W KONSTRUIROWANII).

1.2.pRINCIP EDINSTWA I MNOVESTWENNOSTI MODELEJ

rASSMOTRIM PROSTOJ MEHANI^ESKIJ PRIMER. pUSTX GRUZ MASSY m KO-

LEBLETSQ W GORIZONTALXNOJ PLOSKOSTI POD DEJSTWIEM PRUVINY NULEWOJ MASSY S VESTKOSTX@ k. pREDPOLOVIM, ^TO PROTIWODEJSTWU@]IE SILY (NAPRIMER, SILA TRENIQ) PRENEBREVIMO MALY, A NAS INTERESU@T HARAK- TER I ^ASTOTA KOLEBANIJ.

pUSTX OSX x NAPRAWLENA WDOLX LINII KOLEBANIJ, A NA^ALO OTS^ETA SOOTWETSTWUET RAWNOWESNOMU POLOVENI@ GRUZA (RIS. 1).

rIS. 1

5

tOGDA W L@BOJ TO^KE x NA GRUZ DEJSTWUET SILA F = kx. sOGLASNO WTOROMU ZAKONU nX@TONA (F = ma , a { USKORENIE) SOSTOQNIE RASSMATRI-

WAEMOJ SISTEMY MOVET BYTX OPISANO DIFFERENCIALXNYM URAWNENIEM

NA^ALXNYH USLOWIJ. iNTERPRETACIQ REZULXTATA NE PREDSTAWLQET SLOVNO- STI { GRUZ SOWER[AET GARMONI^ESKIE KOLEBANIQ S CENTROM W TO^KE x = 0,

S PROIZWOLXNOJ AMPLITUDOJ I S ^ASTOTOJ !0 =

p

uRAWNENIE (1) QWLQETSQ MATEMATI^ESKOJ MODELX@ OPISANNOGO PRO- CESSA. tREBOWANIE PROSTOTY, O^EWIDNO, WYPOLNENO { TRUDNO PREDSTAWITX SEBE MODELX E]E PRO]E. oDNAKO S ADEKWATNOSTX@ DELO OBSTOIT SU]E- STWENNO SLOVNEE: IZ URAWNENIQ (1) NIKAK NE SLEDUET SPOSOB WY^ISLENIQ AMPLITUDY KOLEBANIJ. dALEE, W REALXNOJ SISTEME KOLEBANIQ ZATUHA@T (POSTORONNQQ WYNUVDA@]AQ SILA OTSUTSTWUET!), NO IZ RE[ENIQ (2), NA- PROTIW, SLEDUET POSTOQNSTWO AMPLITUDY. dOPU]ENY I DRUGIE UPRO]E- NIQ (NAPRIMER, LINEJNOSTX REAKCII PRUVINY). eSLI MY ZAHOTIM U^ESTX WLIQNIE (PREDPOLOVITELXNO MALYH) PROTIWODEJSTWU@]IH SIL, TO, PRI- NQW GIPOTEZU WQZKOGO TRENIQ (SILA TORMOVENIQ PROPORCIONALXNA SKORO- STI), POLU^IM WMESTO (1) URAWNENIE

S MALYM KO\FFICIENTOM TRENIQ f . tEM SAMYM MY POSTROILI E]E OD- NU MODELX RASSMATRIWAEMOGO PROCESSA { ONA BOLEE ADEKWATNAQ, NO I BO- LEE SLOVNAQ, ^EM MODELX (1), KOTORAQ \WKLADYWAETSQ" W MODELX (3) PRI f = 0. w PRINCIPE, SU]ESTWUET BES^ISLENNOE MNOVESTWO MATEMATI^E- SKIH MODELEJ ODNOGO I TOGO VE REALXNOGO OB_EKTA, PRI^EM DALEKO NE WSE ONI WLOVENY DRUG W DRUGA.

wMESTE S TEM IMEET MESTO I OBRATNAQ KARTINA: RAZLI^NYE REALXNYE

OB_EKTY ILI RAZLI^NYE SODERVATELXNYE MODELI MOGUT IMETX ODNU I TU VE MATEMATI^ESKU@ MODELX. nAPRIMER, ZARQD q = q(t) W ZAMKNUTOM KON- TURE, POSLEDOWATELXNO SODERVA]EM SOPROTIWLENIE R, INDUKTIWNOSTX L I EMKOSTX C (TAKOJ KONTUR OBY^NO NAZYWA@T KOLEBATELXNYM), UDOWLE-

TWORQET URAWNENI@

6

s MATEMATI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ URAWNENIE (4) SOWPADAET S URAWNENIEM

(3) S TO^NOSTX@ DO PEREOBOZNA^ENIJ. pRIDAWAQ DRUGOJ FIZI^ESKIJ SMYSL WHODQ]IM W URAWNENIQ (3) I (4) PEREMENNYM I KONSTANTAM, MY POLU- ^IM OB]EE MODELXNOE URAWNENIE, OPISYWA@]EE WSEWOZMOVNYE LINEJNYE OSCILLQTORY. pO\TOMU WMESTO ISSLEDOWANIJ KOLEBANIJ SLOVNOJ MEHA-

NI^ESKOJ SISTEMY MY MOVEM PROWESTI IZMERENIQ W SOOTWETSTWU@]IM OBRAZOM PODOBRANNOJ \LEKTRI^ESKOJ CEPI, IME@]EJ TAKU@ VE MATEMA- TI^ESKU@ MODELX. nA \TOM OSNOWANO DEJSTWIE RAZLI^NYH ANALOGOWYH USTROJSTW, W TOM ^ISLE WY^ISLITELXNYH, PRINCIPIALXNO OTLI^A@]IH- SQ OT CIFROWYH |wm. iTAK, SU]ESTWUET MNOVESTWO REALXNYH OB_EKTOW, OPISYWAEMYH ODNOJ I TOJ VE MATEMATI^ESKOJ MODELX@.

sFORMULIROWANNYE W DWUH PREDYDU]IH ABZACAH OSNOWOPOLAGA@]IE PRINCIPY INOGDA FORMULIRU@TSQ KAK OB]IJ PRINCIP MNOVESTWEN-

NOSTI I EDINSTWA MODELEJ.

1.3.oSNOWNYE TREBOWANIQ K MODELI

wAVNEJ[IM TREBOWANIEM, PRED_QWLQEMYM K MODELI, QWLQETSQ TREBO- WANIE EE ADEKWATNOSTI, T. E. PRAWILXNOGO SOOTWETSTWIQ IZU^AEMOMU RE- ALXNOMU OB_EKTU a OTNOSITELXNO WYBRANNOJ SISTEMY S EGO SWOJSTW. pOD \TIM PREVDE WSEGO PONIMAETSQ

1)PRAWILXNOE KA^ESTWENNOE OPISANIE RASSMATRIWAEMYH SWOJSTW OB_EK- TA: NAPRIMER, NA OSNOWANII ISSLEDOWANIQ MODELI SDELATX PRAWILX- NYJ WYWOD O NAPRAWLENII IZMENENIQ KAKIH-LIBO KOLI^ESTWENNYH HARAKTERISTIK \TIH SWOJSTW, O IH WZAIMOSWQZI, O HARAKTERE KOLEBA- NIJ OB_EKTA, OB USTOJ^IWOSTI EGO SOSTOQNIQ ILI \WOL@CII I T.P.

kROME TOGO, W TREBOWANIE ADEKWATNOSTI OBY^NO WHODIT I

2)PRAWILXNOE KOLI^ESTWENNOE OPISANIE \TIH SWOJSTW S NEKOTOROJ RA- ZUMNOJ TO^NOSTX@.

w SOOTWETSTWII S TEM, STAWITSQ USLOWIE 2) ILI NET, GOWORQT SOOT-

WETSTWENNO O KOLI^ESTWENNYH ILI KA^ESTWENNYH MODELQH. wMESTO KOLI^ESTWENNOJ ADEKWATNOSTI GOWORQT TAKVE O TO^NOSTI MODELI.

nEMALOWAVNO TAKVE TREBOWANIE PRAWDOPODOBNOSTI MODELI. oNO TESNO SWQZANO S TREBOWANIEM ADEKWATNOSTI, ODNAKO DALEKO NE \KWIWA- LENTNO EMU. pOKAVEM \TO NA PROSTOM PRIMERE. rASSMOTRIM URAWNENIE OKISLITELXNO-WOSSTANOWITELXNOJ REAKCII, HORO[O IZWESTNOE IZ [KOLX-

NOGO KURSA HIMII

+3 +6

Cr2(SO4)3 + 3H2O2 + 10NaOH ! 3Na2SO4 + 2Na2CrO4 + 8H2O: (5)

7

|TO DOWOLXNO TO^NAQ KOLI^ESTWENNAQ MODELX, NO KAK KA^ESTWENNAQ NE WY- DERVIWAET NIKAKOJ KRITIKI. dELO W TOM, ^TO URAWNENIE (5) ABSOL@TNO NEPRAWDOPODOBNO, TAK KAK PREDPOLAGAET, ^TO W ODNOJ TO^KE STALKIWA@TSQ SRAZU 4 (!) MOLEKULY { ODNA MOLEKULA SULXFATA HROMA (3) I 3 MOLEKULY PEREKISI WODORODA, NE S^ITAQ 10 MOLEKUL EDKOGO NATRA (MOVNO, KONE^NO, PROSTO S^ITATX, ^TO REAKCIQ PROHODIT W SILXNO]ELO^NOJ SREDE). pO\TO- MU MODELX (5) QWLQETSQ PO SU]ESTWU, \^ERNYM Q]IKOM" { MY ZNAEM, ^TO PROISHODIT NA \WHODE" I ^TO POLU^AETSQ NA \WYHODE", TOGDA KAK ISTIN- NYJ MEHANIZM REAKCII OSTAETSQ NEIZWESTNYM (W SILU WYSOKOJ SKOROSTI REAKCII W RASTWORE, PRISU]EJ MNOGIM NEORGANI^ESKIM REAKCIQM, MOVNO PREDPOLOVITX, ^TO ONA NOSIT CEPNOJ HARAKTER). kRITERIJ PRAWDOPODO-

BIQ WESXMA POLEZEN DLQ OTBRAKOWKI NEREALXNYH GIPOTEZ PRI RAZRABOTKE MATEMATI^ESKIH MODELEJ, OSOBENNO W SFERE GUMANITARNYH NAUK, GDE KO- LI^ESTWENNYE KRITERII POKA NE W SOSTOQNII OBESPE^ITX NADEVNU@ OCEN- KU ADEKWATNOSTI.

sLEDU@]IM WAVNYM TREBOWANIEM QWLQETSQ TREBOWANIE DOSTATO^NOJ PROSTOTY. nA PERWYJ WZGLQD, \TO TREBOWANIE PRQMO PROTIWORE^IT ADE- KWATNOSTI { ^EM MODELX SLOVNEE, TEM BOLEE PODROBNO ONA OPISYWAET RE- ALXNYJ OB_EKT, TAK KAK MY MOVEM U^ESTX BOLX[EE ^ISLO FAKTOROW. tAK, MODELX (3) BOLEE ADEKWATNA, ^EM MODELX (1): MY MOVEM UTO^NITX WLIQNIE

MALOGO TRENIQ NA ^ASTOTU KOLEBANIJ

wMESTE S TEM ^ASTO WOZNIKA@T SLU^AI, KOGDA USLOVNENIE MODELI OD- NOWREMENNO SNIVAET EE ADEKWATNOSTX. rASSMOTRIM ZADA^U O KOLEBANII MAQTNIKA. eSLI PRENEBRE^X POTERQMI NA TRENIE, ONA PRIWODIT K URAWNE-

NI@

w PREDPOLOVENII MALOSTI AMPLITUDY KOLEBANIJ (WELI^INY OTKLONENIQ MAQTNIKA OT TO^KI RAWNOWESIQ) OBY^NO POLAGA@T sin y y, W REZULXTATE ^EGO POLU^AEM TO^NU@ KOPI@ URAWNENIQ (1). oDNAKO TO^NOSTX TAKOJ LI- NEARIZOWANNOJ MODELI OKAZYWAETSQ W RQDE SLU^AEW QWNO NEDOSTATO^NOJ. i W URAWNENIE DOBAWLQ@T WTOROJ ^LEN RAZLOVENIQ FUNKCII sin y W RQD tEJLORA

A ESLI REZULXTAT PO-PREVNEMU NEUDOWLETWORITELEN, TO I TRETIJ

8

wNIMATELXNOE RASSMOTRENIE POLU^IW[IHSQ MODELEJ PRIWODIT NAS K WY- WODU, ^TO MODELX (7) NI^EM NE PRO]E MODELI (6), TAK KAK RE[ENIE OBOIH URAWNENIJ MOVNO ZAPISATX ^EREZ \LLIPTI^ESKIE FUNKCII. mODELX VE

(8) OKAZYWAETSQ ZNA^ITELXNO SLOVNEE { OB]EE RE[ENIE PREDSTAWIMO ^E- REZ GIPER\LLIPTI^ESKIE INTEGRALY, KOTORYE IZU^ENY QWNO NEDOSTATO^NO DLQ ISPOLXZOWANIQ W PRILOVENIQH. a PO ADEKWATNOSTI MODELI (7) I (8) QWNO USTUPA@T MODELI (6): KAK PO TO^NOSTI (MODELX (6) U^ITYWAET REALX- NU@ TRAEKTORI@ DWIVENIQ KONCA MAQTNIKA), TAK I PO KA^ESTWENNYM HA- RAKTERISTIKAM (W MODELI (6) WTORAQ PROIZWODNAQ PROPORCIONALXNA FUNK- CII, OGRANI^ENNOJ NA WSEJ PRQMOJ, ^TO SOOTWETSTWUET DEJSTWITELXNOSTI, TOGDA KAK W MODELQH (7) I (8) \TO USLOWIE NE WYPOLNQETSQ). lEGKO WIDETX, ^TO K NEKORREKTNYM MODELQM (7) I (8) MY PRIHODIM IZ-ZA [ABLONNOSTI MY[LENIQ { ALGEBRAI^ESKIE FUNKCII KAVUTSQ PREDPO^TITELXNEE, ^EM TRANSCENDENTNYE.

oPI[EM WKRATCE DRUGIE TREBOWANIQ K MODELQM. sWOJSTWO POLNOTY MATEMATI^ESKOJ MODELI SOSTOIT W TOM, ^TO \TA MODELX DAET PRINCIPI-

ALXNU@ WOZMOVNOSTX S POMO]X@ MATEMATI^ESKIH METODOW POLU^ITX WSE INTERESU@]IE NAS UTWERVDENIQ. tAK, MODELX (1) POLNA, ESLI NAS INTERE- SUET TOLXKO ^ASTOTA KOLEBANIJ. eSLI NAS INTERESUET E]E I AMPLITUDA, TO \TA MODELX BUDET NEPOLNOJ. sWOJSTWO PRODUKTIWNOSTI SLEDUET IZ DOSTUPNOSTI ISHODNYH DANNYH { PARAMETROW I ZAWISIMOSTEJ, KOTO- RYE MY ZADAEM APRIORI. eSLI MY NE MOVEM REALXNO IZMERITX I TEM SAMYM ZADATX ISHODNYE DANNYE, TO RE[ENIE ZADA^I MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ DAST NAM OTWET NA WOPROS { KAKIMI SWOJSTWAMI MOGUT OBLADATX OB_EKTY RASSMATRIWAEMOGO KLASSA, NO OPISANIE KONKRETNOGO OB_EKTA MOVET OKAZATXSQ ZATRUDNITELXNYM. tREBOWANIE ROBASTNOSTI

OZNA^AET USTOJ^IWOSTX OTNOSITELXNO POGRE[NOSTEJ W ISHODNYH DANNYH ILI W WYBORE OCENO^NYH [KAL. pROWERKA NA ROBASTNOSTX MOVET BYTX ODNIM IZ WAVNYH KOMPONENTOW WERIFIKACII MODELI.

nAKONEC, VELATELXNYM (HOTQ I NEOBQZATELXNYM) QWLQETSQ SWOJSTWO NAGLQDNOSTI MATEMATI^ESKOJ MODELI. pOD \TIM PODRAZUMEWAETSQ NEPO- SREDSTWENNYJ SODERVATELXNYJ SMYSL EE KOMPONENT, ^TO POZWOLQET W RQ-

DE SLU^AEW ISPOLXZOWATX \TU INFORMACI@ DLQ BOLEE USPE[NOGO RE[ENIQ MODELXNOGO URAWNENIQ. zAMETIM, ^TO WSQKAQ HORO[AQ MODELX QWLQETSQ DLQ TALANTLIWOGO ISLEDOWATELQ ISTO^NIKOM NOWYH IDEJ, A W RQDE SLU- ^AEW I REZULXTATOW, POLU^ENIE KOTORYH PRI RAZRABOTKE \TOJ MODELI NE PLANIROWALOSX. tAKIMI REZULXTATAMI STALI IZWESTNYE W ISTORII NAUKI OTKRYTIQ\NA KON^IKE PERA". |TOT RAZDEL MY ZAKON^IM SLOWAMI AKADEMI- KA a. n. tIHONOWA: \OPYT POKAZYWAET, ^TO WO MNOGIH SLU^AQH PRAWILXNO WYBRATX MODELX { ZNA^IT RE[ITX PROBLEMU BOLEE ^EM NAPOLOWINU" [3].

9

1.4.kLASSIFIKACIQ MODELEJ

1.sTRUKTURNYE I FUNKCIONALXNYE MODELI. oBY^NO W MATEMA-

TI^ESKOJ MODELI OTRAVAETSQ STRUKTURA (USTROJSTWO) REALXNOGO OB_EK- TA, INTERESU@]IE NAS SWOJSTWA I WZAIMOSWQZI KOMPONENTOW. tAKAQ MO- DELX NAZYWAETSQ STRUKTURNOJ. eSLI VE MODELX OTRAVAET TOLXKO TO, KAK OB_EKT FUNKCIONIRUET, W ^ASTNOSTI, KAK REAGIRUET NA WNE[NIE WOZ- DEJSTWIQ, ONA NAZYWAETSQ FUNKCIONALXNOJ ILI INA^E \^ERNYM Q]I- KOM". ~ASTO W \TOM SLU^AE ISHODNYMI DANNYMI QWLQETSQ \SIGNAL NA WHODE", OB_EKTOM MODELIROWANIQ { \SIGNAL NA WYHODE". pRIMER \^ERNOGO Q]IKA" PRIWEDEN W P. 2.

2.dISKRETNYE I NEPRERYWNYE MODELI. hORO[O IZWESTNO, ^TO RAZLI^NYE REALXNYE PEREMENNYE MOGUT BYTX DWUH OSNOWNYH TIPOW { DIS- KRETNYE, KOGDA TO^KA, OTWE^A@]AQ ZADANNOMU ZNA^ENI@ PEREMENNOJ, WSE- GDA IMEET OKRESTNOSTX, NE SODERVA]U@ NIKAKIH DRUGIH ZNA^ENIJ \TOJ PEREMENNOJ, I NEPRERYWNYE, KOGDA PEREMENNAQ PRINIMAET WSE ZNA^ENIQ IZ NEKOTOROGO INTERWALA. zNA^ENIQ DISKRETNOJ PEREMENNOJ MOVNO PERE- NUMEROWATX, TOGDA KAK ZNA^ENIQ NEPRERYWNOJ PEREMENNOJ IME@T MO]- NOSTX KONTINUUMA. tO^NO TAK VE I MODELI { KAK SODERVATELXNYE, TAK I MATEMATI^ESKIE { MOGUT BYTX LIBO DISKRETNYMI, LIBO NEPRERYWNYMI, HOTQ MEVDU \TIMI TIPAMI NIKAKOGO PRINCIPIALXNOGO BARXERA NET. dELO W TOM, ^TO PRI NEPOSREDSTWENNOJ RABOTE S MODELX@ (UTO^NENII ILI WI- DOIZMENENII) DISKRETNAQ KARTINA MOVET STATX NEPRERYWNOJ I OBRATNO. o^EWIDNO, TO VE MOVET PROIZOJTI I W PROCESSE RE[ENIQ MATEMATI^E- SKOJ ZADA^I (PRI \TOM ESTESTWENNO PROISHODIT I SMENA MATEMATI^ESKOGO

APPARATA: KONE^NYE RAZNOSTI ! PROIZWODNYE, KONE^NYE SUMMY ! INTEGRALY). kLASSI^ESKIM PRIMEROM \DUALIZMA" DISKRETNOGO I NEPRE- RYWNOGO QWLQETSQ MODELIROWANIE VIDKOSTI PO lAGRANVU I PO |JLERU {

W PODHODE lAGRANVA KAVDAQ ^ASTICA W OTDELXNOSTI HARAKTERIZOWALASX SWOIM NABOROM KOORDINAT I SKOROSTEJ xn(t); yn(t); zn(t); xn(t); yn(t); zn(t),

TOGDA KAK W PODHODE |JLERA VIDKOSTX RASSMATRIWALASX KAK SPLO[NAQ SREDA I HARAKTERIZOWALASX POLEM SKOROSTEJ v(x; y; z). lAGRANVEW POD- HOD BEZUSLOWNO PRO]E, NO PRIWODIT K O^ENX BOLX[OMU (W IDEALE { BES- KONE^NOMU) NABORU MODELXNYH URAWNENIJ. w \JLEROWOM PODHODE ^ISLO URAWNENIJ IZMERQETSQ EDINICAMI, NO WOZNIKAET PRINCIPIALXNAQ NELI- NEJNOSTX IZ-ZA NALI^IQ SUBSTANCIONALXNOJ ^ASTI W POLNOJ PROIZWODNOJ

PO WREMENI

da = @a + (vr)a: dt @t

pEREHOD OT DISKRETNOJ MODELI K NEPRERYWNOJ NAZYWAETSQ OSREDNENIEM, OBRATNYJ { DISKRETIZACIEJ. oSREDNENIE PRIMENQETSQ TAKVE W NEPRERYW-

10