13. Что такое импульсная передаточная функция системы?

Формально импульсная передаточная функция может быть определена как отношение характеристических полиномов левой и правой части разностного уравнения, если сделать формальную замену операторов сдвига Eⁿ или разности ⁿ некоторой переменной rⁿ:

Более строго, импульсная передаточная функция, — это отношение z-отображения выходной функции к z-отображению входной функции предварительно невозбужденной системы (нулевые начальные условия). Является дискретным вариантом обычной передаточной функции.

14. Какие методы существуют для нахождения обратного z-преобразования?

Поскольку Z-преобразование является периодической функцией (с периодом T), обратное преобразование является поиском последовательности f[kT]=f[n], аппроксимирующей исходную функцию f(t). Кроме того, обязательным условием является указание области сходимости, так как одному и тому же z-преобразованию, определенному в различных областях сходимости, соответствуют разные последовательности.

Существует два общих метода поиска этой последовательности:

1. Контурное интегрирование.

Умножим обе части исходного выражения для Z-преобразования

на и проинтегрируем результат по контуру в комплексной плоскости:

если контур интегрирования включает в себя все особые точки F_z(z), и лежит в области сходимости, можно поменять порядок интегрирования и суммирования в правой части:

согласно интегральной формуле Коши, интеграл в скобках равен

Отсюда

Естественно, контур интегрирования должен быть внутри области сходимости.

Согласно теореме о вычетах, этот интеграл равен сумме вычетов функции относительно всех особых точек, попадающих внутрь контура интегрирования:

,

где n — общее количество особых точек (включая кратные полюсы), r — кратность i-го полюса

2. Разложение на элементарные дроби.

Если представляет собой дробно-рациональную функцию, удобнее всего разложить ее на элементарные дроби, и по имеющимся таблицам (либо с помощью интегрирования) провести почленное обращение.

Так, если известны все нули z_i и полюсы p_i функции, ее можно представить в виде

(M<N)

для которой

3. Разложение в степенной ряд.

Это частный метод, позволяющий найти несколько членов последовательности, но не позволяющий получить общую формулу для любого члена последовательности f(kT).

Особенно просто обращение находится, если можно разложить по степеням z^-1, т.к. из определения Z- преобразования, его можно представить рядом Тейлора вида , и в большинстве случаев достаточно разделить числитель интересующего нас члена ряда на соответствующую ему степень z