Контрольные / 3- 0_Математические основы теории систем

Федеральное агентство образования

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

(ТУСУР)

Кафедра компьютерных систем в управлении

и проектировании (КСУП)

«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ»

Автор учебно-методического пособия: А. Г. Карпов

Томск 2002

контрольная работа №3

Выполнил студент группы

« 30 » сентября 2008 г.

Юрга 2008

В каких случаях возможна линеаризация нелинейных уравнений?

Линеаризация нелинейных уравнений возможна, в тех случаях, если зависимость коэффициентов от времени очень слаба или отсутствует совсем, если это уравнение можно разложить в ряд Тейлора и ограничить его линейными приращениями переменных, такая операция применима только к непрерывно-дифференцируемым нелинейностям.

В чем различия и что общего между исходным нелинейным уравнением и линеаризованным?

Линеаризованное уравнение описывает ту же самую систему, что и нелинейное, но оно имеет следующие отличия:

1) линеаризованное уравнение линейное.

2) линеаризованное уравнение приближенное, причем это приближение тем точнее, чем меньше отклонения переменных от установившихся значений;

3) поскольку при выводе линеаризованного уравнения использовалось разложение в ряд Тейлора, такая операция применима только к непрерывно-дифференцируемым нелинейностям. Такие нелинейности называются линеаризуемыми. А нелинейные функции, не удовлетворяющие этому условию, называются существенно нелинейными;

4) линеаризованное уравнение составлено относительно отклонений, а не самих сигналов. Такого рода уравнения называются уравнениями в отклонениях или в вариациях;

Как записывается общее решение однородного линейного дифференциального уравнения в случае некратных и кратных корней характеристического уравнения?

Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид . Если какой - то корень (например j -й) имеет кратность k, то линейно независимыми будут решения и общее решение запишется в виде:

Некоторые из корней s_i могут быть комплексными, поэтому решения можно представить в иной форме. Поскольку коэффициенты уравнения (a₀sⁿ + … + a_n) y(t) = 0. действительные числа, то для каждого комплексного корня должен быть комплексно сопряженный, то есть для корня s_i= + j (  и  - действительные числа) всегда найдется корень s_i+1= - j. Тогда соответствующий вклад этих корней в решение можно представить в виде :

.

В реальной системе y₀(t) - действительная функция времени, а следовательно, произвольные постоянные А и В - действительные числа. Это означает, что с_i и с_i+1 должны быть комплексно сопряженными. Последнее выражение может быть записано и в виде косинуса с фазовым сдвигом где связи произвольных постоянных очевидны .

К каким вынуждающим функциям применим метод неопределенных коэффициентов при решении неоднородных дифференциальных уравнений?

Данный метод применяется в том случае, если вынуждающая функция f(t) имеет конечное число линейно независимых производных. Функция f(t) в этом случае может быть многочленом целой положительной степени t или состоять из комбинации экспоненциальной, синусоидальной или гиперболической функций. Суть метода состоит в следующем: предполагаемое решение y_н(t) представляет собой линейную комбинацию составляющих f(t) и их производных, при этом каждый элемент этой линейной комбинации входит с неопределенными коэффициентами. Далее предполагаемое решение подставляется в уравнение (a₀sⁿ + a₁s^n-1 + … + a_ns + a_n)y = f(t), а неопределенные коэффициенты выбираются таким образом, чтобы это уравнение удовлетворялось при всех значениях t.

В том случае, когда отдельные члены f(t) в точности совпадают по виду с какой-либо составляющей решения y₀(t) однородного уравнения, процедура решения предполагает в общем случае умножение на t соответствующих составляющих в выражении для y_н(t). Подобная схема сохраняется, когда член f(t) содержит дополнительный множитель tⁿ. Если какой-нибудь член f(t) соответствует кратному корню характеристического уравнения (например, кратности m), то соответствующий член в y_н(t) следует умножить на t^m.

В чем состоит необходимое и достаточное условие линейной независимости n решений однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка?

Уравнение (a₀sⁿ + … + a_n) y(t) = 0 называют однородным дифференциальным уравнением. Оно может иметь не более, чем n линейно независимых решений. Необходимое и достаточное условие линейной независимости n решений этого уравнения состоит в отличие от нуля определителя Вронского или вронскиана:

где у₁… у_n - решения уравнения. Общее решение уравнения представляется в виде: y₀ = с₁у₁ + с₂у₂ … + с_nу_n, где с_i i { 1,2,…n} - произвольные постоянные. Это уравнение означает, что если известны n решений уравнения (a₀sⁿ +…+ a_n) y(t)=0, то произвольное его решение можно представить в виде линейной комбинации этих n решений.

К каким функциям не применимо преобразование Фурье?

Функция может быть разложена в ряд Фурье везде кроме точек разрыва.

- прямое преобразование Фурье. Для существования этого интеграла требуется абсолютная интегрируемость функции f(t) , то есть выполнение условия:

- обратное преобразование Фурье. Для существования этого интеграла достаточно абсолютной интегрируемости функции - изображения F(j).

Для существования ряда Фурье необходимо чтобы функция времени была однозначной, содержать конечное число максимумов, минимумов и разрывов.

Как получить из преобразования Лапласа преобразование Фурье?

- преобразование Лапласа.

Так как при фиксированном с функцию F(s) = F(с + j) можно рассматривать как результат преобразования Фурье функции ₁(t) =(t)e^-сt, то применяя к функции F(с + j) обратное преобразование Фурье, получим . Умножив правую и левую части последнего выражения на e^сt/j и сделав обратную замену с + j = s, получим - преобразование Фурье.

Что такое передаточная функция системы?

Передаточная функция системы W(s) есть отношение изображений по Лапласу выхода системы Y(s) к её входу R(s) при нулевых начальных условиях:

Функции W(s) и W_H(s) являются рациональными дробями, которые известными методами могут быть разложены на элементарные дроби.

Как связаны оператор сдвига E и разностный оператор ?

Определим оператор сдвига Е: Е{у(k)}=у(k+1). Последовательное применение этого оператора дает в общем случае Еⁿ{у(k)}=у(k+n) где nN₀.

Разностный оператор  можно определить как у(k) = у(k+1) – у(k). Оператор, определяемый этой формулой называют еще правым разностным оператором, и он задает так называемую первую прямую разность функции у(k), в отличие от используемого иногда левого разностного оператора , определяемого выражением  у(k) = у(k) – у(k-1) и задающего первую обратную разность функции у(k). Выражение у(k) = у(k+1) – у(k)с учетом выражения Е{у(k)}=у(k+1) можно записать в виде у(k) = (Е-1)у(k), где операторы  и Е связаны соотношением  = Е –1.

Разности второго, третьего и более высокого порядков определяются по очевидным формулам: ²у(k) = ( у(k)) = у(k+2) – 2у(k+1) + у(k), ³у(k) =(²у(k))=у(k+3)–3у(k+2)+3у(k+1)-у(k) или, в общем случае, где через обозначены биномиальные коэффициенты. С учетом уравнений Еⁿ {у( k )}=у( k+n ) и  у(k)=у(k)–у(k-1) из выражения получим:

Операторы  и Е являются линейными операторами.

В какой форме записывается общее решение однородного разностного уравнения в случае некратных и кратных корней характеристического уравнения?

у₀(k)=с₁у₁(k)+с₂у₂(k)+…+с_nу_n(k) - Общее решение однородного уравнения, где с_i – постоянные, не зависящие от k.

у_H (k) = ₁(k)у₁(k) +…+ _n(k)у_n(k) - Частное решение.

Однородное разностное уравнение n-ого порядка содержит n линейно независимых решений. Если а₀  0 и а_n  0, то независимые решения уравнения можно обозначить через у₁(k), у₂(k), …у_n(k).

Поскольку уравнение линейное, то его решением будет и линейная комбинация независимых решений у_i(k).

Если все корни характеристического уравнения различны и обозначены через z₁, z₂,… z_n, то общее решение уравнения получит вид: у₀(k)=с₁z₁^k+с₂z₂^k+…+с_nz_n^k

При различных z_i отдельные решения у_i = z_i^k независимы. Если же, например, корень z₁ имеет кратность m, то составляющая общего решения, соответствующая этому корню, равна:

у₀₁(k) = с₁z₁^k + с₂ k z₁^k + с₃ k² z₁^k +…+с_mk^m-1z₁^k.

Что такое факториальный многочлен?

Факториальный многочлен m = го порядка определяется как

(k)^(m) = k(k-1)(k-2)…(k-m+1), где m – положительное целое число.

Как связаны дискретное преобразование Лапласа и z-преобразование?

Дискретное преобразование Лапласа обладает одним недостатком, который существенно ограничивает его применение для исследования дискретных во времени систем это наличие экспоненты в степени переменной s. То есть дискретное преобразование Лапласа не является дробно-рациональной функцией s, а появление множителя e^-Ts может привести к большим трудностям в вычислении обратного преобразования Лапласа. Желательно было бы преобразовать F^*(s) к такой форме, чтобы это стало дробно-рациональным выражением относительно некоторой новой переменной. Выбор такой переменной очевиден: это . Из формулы видно, что z – это комплексная переменная, действительная и мнимая часть которой определяется следующим образом:

где s =  + j.

Z - преобразование некоторой непрерывной функции f(t) можно определить как ее дискретное преобразование Лапласа:

Для вычисления z - преобразования можно применить формулы:

- Если задана функция f(t) или f(kT)

- Если задана функция f(t)

- используется при частотном исследовании дискретных сигналов и при доказательстве некоторых теорем.

Что такое импульсная передаточная функция системы?

- определяет передаточную функцию дискретной системы. Импульсная передаточная функция устанавливает непосредственную связь между преобразованиями от входного и выходного сигналов предварительно невозбужденной системы. Эту функцию можно записать так:

Какие методы существуют для нахождения обратного z-преобразования?

Метод разложения на простые дроби. Этот метод при небольшой модификации соответствует методу разложения на простые дроби в преобразовании Лапласа.

Метод разложения в степенной ряд. Из определения z - преобразования следует, что обратное z - преобразование может быть получено разложением изображения F(z) в бесконечный ряд по степени z^-1:

Метод, основанный на использовании формулы обращения. Для обратного z - преобразования можно получить интеграл обращения, аналогичный интегралу обратного преобразования Лапласа:

- интеграл обратного преобразования Лапласа

- интеграл обращения