Министерство образования Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ

УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

А.Г. Карпов

Математические основы

теории систем

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

ВЫПОЛНИЛ:

ПРОВЕРИЛ:__________________

2004

Контрольная работа №2

1. Перечислите операции над автоматными отображениями.

Объединение: S_C = S_AS_B

Автоматное отображение S_C(q₁, x), индуцированное автоматом C, есть продолжение автоматных отображений S_A(q₁,x) и S_B(q1,x) на множество X^*.

1. Пересечение: S_C = S_A S_B

2. Произведение: S_K = S_AS_B

S_K(z) = S_K(x  u) = S_A(x)  S_B(u) = y  v = s,

xX^*, uU^*, yY^*, vV^*, sS^* - слова в соответствующих алфавитах,

x  u - декартово произведение слов.

3. Сплетение: S_M = S_A  S_B

S_M(z) = S_M(xu) = S_A(x)  S_B(u) = y  v = s,

xu – сплетение слов.

4. Суперпозиция: S_N = S_A  S_B

S_N(x) = S_B(y) = S_B(S_A(x).

2. Понятие вероятностного автомата. Как задать вероятностный автомат?

Множество всех автоматов можно разделить на два класса: детерминированные и стохастические. Детерминированный (неслучайный) автомат обладает тем свойством, что его состояние в текущий момент времени однозначно определяется состоянием в предшествующий момент времени и буквами входного и выходного алфавита в текущий момент времени. В то время как в стохастическом (вероятностном) автомате переход из состояния в состояние происходит случайным образом. Рассмотрим вероятностные автоматы без выходов.

Вероятностный автомат можно задать совокупностью объектов:

A = <X, Q, q₁Q, (q, x)>

X = {x₁…x_m} – входной алфавит,

Q = {q₁…q_n} – алфавит состояний, q₁ – начальное состояние автомата,

(q, x) – двуместная функция, задающая отображение множества QX в множество матриц P = {P_i}, i = {1… m}. Эта функция (q, x) называется таблицей переходных вероятностей. Для каждой пары (q, x) такой таблицы имеет место:

(q, x) = {p₁(q, x), p₂(q, x),… p_n(q, x)}, где p_i(q, x) означает вероятность перехода в состояние q₁ из состояния q по входной букве x и, следовательно, является неотрицательной величиной p_i(q, x)  0 и удовлетворяет условию нормировки: .

3. Что такое комбинационный автомат?

Автомат называется комбинационным, если для любого входного символа xX и любых состояний q_i, q_j  Q выполняется равенство:

(q_i, x) = (q_j, x),

то есть выход автомата не зависит от его состояния и определяется только его входом. В таком автомате все состояния эквивалентны и минимальный комбинационный автомат имеет только одно состояние. Функция переходов в нём вырождена, а поведение такого автомата задаётся функцией выходов с одним аргументом (x_i) = y_i.

4. Что необходимо для структурного синтеза автомата?

   1. Функциональная модель

   2. Элементный базис, т.е. множество элементов, с помощью которых будет производиться синтез.

   3. Синтаксис структур – правила взаимных соединений элементов, выделяющие из всевозможных структур класс допустимых (правильных)

Элементный базис + синтаксис структур = базис синтеза

5. Что входит в состав элементного базиса?

   1. Логические элементы – элементарные комбинационные логические автоматы, функциональные свойства которых представляются достаточно полными логическими функциями: дизъюнкция, конъюнкция, отрицание, функция Шеффера, импликация, стрелка Пирса, и т.д.

2. Элементы памяти – элементарные логические автоматы. Наиболее простые и распространённые – элемент задержки и триггер. Элемент задержки – элементарный синхронный автомат, функции которого сводятся к задержке на один такт значения одной логической переменной. То есть значение выхода в момент времени t равно значению входа в момент времени t-1.Триггер – асинхронный автомат с двумя внутренними состояниями, которые могут фиксироваться и в каждое из которых при определённых условиях автомат можно перевести.

6. Понятие правильной синхронной сети.

Возьмём некоторую совокупность автоматных элементов. Выделим из множества входных полюсов P всех элементов некоторое подмножество XP, а из множества Q всех выходных полюсов некоторое подмножество Y. Отобразим разность P\X в Q и будем считать, что это отображение задаёт множество связей между элементами множества P с одной стороны и множества Q – c другой стороны. Полученную таким образом структуру будем называть сетью, элементы множества X – её входными полюсами, а элементы множества Y – её выходными полюсами. При небольшом числе элементов в сети можно пользоваться графическим представлением, в иных случаях удобнее задавать сеть в форме некоторого списка, содержащего перечень элементов и связей между ними.

Если сеть можно рассматривать как структуру автомата, то такая сеть называется правильной. Правильная синхронная сеть – это сеть из логических элементов и элементов задержки (блоков), если:

1. к каждому входному полюсу блока присоединён не более, чем один выходной полюс (однако допускается присоединение выходного полюса блока к нескольким входным полюсам, то есть разветвление выходов)

2. в каждом контуре обратной связи, то есть в каждом цикле, есть хотя бы один элемент задержки.

Входными полюсами правильной синхронной сети будут полюса, не присоединённые ни к каким выходным полюсам блоков, а выходными полюсами – только те, которое не подсоединены ни к каким входным полюсам.

Любой автомат можно представить правильной синхронной сетью.

7. Канонические уравнения сети.

Возьмём произвольную правильную синхронную логическую сеть (ПЛС) G. Удалив из неё элементы задержки, получим линейно – упорядоченную сеть (ЛУС) G₀ без задержек, которая является логическим комбинационным автоматом. Входами G₀ являются: во-первых, входы G, а во-вторых, выходы z₁…z_k элементов задержки G, выходы G₀ – это выходы G м входы z₁^',…,z_k элементов задержки G. Таким образом, входной набор G₀ имеет вид (x₁,…x_m, z₁,…z_k), а выходной набор – (y₁,…y_n, z₁^’,…,z_k^’). Если теперь набор (x₁(t),…x_m(t)) считать входным сигналом x(t) сети G, набор (y₁(t),…y_n(t)) – выходным сигналом y(t) сети G, а набор (z₁(t),…z_k(t)) – состоянием q(t) сети G и учесть, что (z₁^’(t),…z_k^’(t)) = (z₁(t+1),…z_k(t+1)) = q(t+1), то получим, что сеть G₀ вычисляет две системы логических функций от набора x(t)  q(t) – систему (z₁^’(t),…z_k^’(t)) = q(t+1), то есть функцию переходов , и систему (y₁(t),…y_n(t)), то есть функцию выхода . Эти две системы называются каноническими уравнениями сети G.

8. Проблемы кодирования состояний в асинхронных автоматах.

При таком кодировании могут возникнуть проблемы, связанные с практической реализацией и конструктивными особенностями элементов памяти (триггеров).Каждый из реальных элементов памяти обладает инерционностью (ненулевое время срабатывания), причём эта инерционность не является постоянной и одинаковой для всех элементов. Это не учитывается в абстрактной модели автомата. Вследствие этого при переходе автомата из одного состояния в другое может реализоваться некоторая последовательность элементарных переходов (соответствующих изменениям состояния отдельных элементов памяти), при которой автомат проходит через некоторое множество промежуточных состояний и которая в общем случае непредсказуема. Последующие действия автомата будут определяться уже значениями функции переходов на достигнутых промежуточных состояниях.

Таким образом, дальнейшее поведение автомата может оказаться в зависимости от того, какой из элементов памяти быстрее среагирует на прикладываемое к нему воздействие. Элементы как бы состязаются в быстроте реакции, чем и обусловлено название соответствующего явления – состязание между элементами памяти. Если, в конце концов, автомат приходит в намеченное матрицей переходов состояние, то состязания можно считать не опасными, в противном случае их следует рассматривать как опасные. Чтобы поведение автомата не отличалось от заданного матрицей переходов, необходимо устранить все опасные состязания между элементами.

9. Какая из программ, предназначенных для реализации комбинационного автомата, лучше – бинарная или операторная?

Сложность бинарных программ по числу команд асимптотически равна сложности операторных программ, но в отличие от операторных программ бинарные имеют два преимущества – это отсутствие промежуточной памяти и более высокое быстродействие. Поэтому, бинарная программа лучше.

10. Какие недостатки и преимущества у канонического метода синтеза автоматов по сравнению с декомпозиционным методом синтеза?

Каноническая метод синтеза сыграл большую роль в развитии методов синтеза, но в практическом применении менее удобен, чем декомпозиционный.

Преимущества декомпозиционного метода синтеза автоматов по сравнению с каноническим следующие:

1. не требуется строить сложные кодированные таблицы переходов;

2. решается проблема оптимального кодирования внутренних состояний автомата, приводящего к минимальной комбинационной части автомата;

3. декомпозиционный метод позволяет строить оптимальную или близкую к ней функциональную схему автомата при использовании элементарных автоматов со многими устойчивыми состояниями и логическими элементами в недвоичной логике. То есть, этой метод позволяет осуществлять синтез автоматов при использовании элементарного базиса, использующего логику более высокого порядка по сравнению с двоичной.