Контрольные / 4- 0_Математические основы теории систем-2

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

(ТУСУР)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4

по дисциплине «Математические основы теории систем»

(Учебное пособие «Математические основы теории систем, часть 2»,

автор Карпов А.Г., 2002 г.)

Контрольная работа №4

1. Чем отличается минор от алгебраического дополнения?

Минор M_ij элемента a_ij , определителя D, так же как и алгебраическое дополнение (другое название — адьюнкта) этого элемента A_ij, являются определителем меньшего на 1 порядка, полученного вычеркиванием строки и столбца, которым принадлежит этот элемент. Различие заключается в том, что алгебраическое дополнение является коэффициентом в разложении исходного определителя при элементе a_ij, и имеет знак, определяемый позицией элемента (-1)^i+j .

Таким образом, алгебраическое дополнение по сути "дополняет" понятие минора знаком, позволяющее производить алгебраические операции с определителем:

A_ij=(-1)^i+j M_ij .

Дополнительное свойство адьюнкты, как элемента разложения определителя-полинома— является частной производной определителя по элементу a_ij:

2. Что такое дефект матрицы и как он связан с рангом?

Дефект матрицы является мерой независимости строк или столбцов матрицы. Это выражается в том, что между строками или столбцами матрицы имеется линейная зависимость, т.е. некоторые строки или столбцы могут быть выражены через линейную комбинацию остальных. Определитель такой матрицы равен нулю, поскольку с помощью линейных преобразований всегда можно обратить такие строки/столбцы в нулевые, а количество таких строк/столбцов определяет число, называемое дефектом или кратностью вырождения. Дуальной дефекту характеристикой является ранг матрицы, равный порядку наибольшего не равного нулю минора матрицы. Для квадратной матрицы ее ранг r, дефект q и размерность матрицы n связаны — n = r + q .

Для определения дефекта (и ранга) можно использовать разные способы, на мой взгляд наиболее простой способ— с помощью умножения на некоторые коэффициенты и сложения между собой строк/столбцов, матрица приводится к треугольному либо диагональному виду, количество элементов на главной диагонали не равных нулю, является рангом матрицы, а количество строк и столбцов, окаймляющих полученную квадратную матрицу - дефект исходной матрицы. Подобный прием используется при решении СЛАУ методом Гаусса.

Другой способ - переходя от миноров меньшего порядка, и найдя отличный от нуля, вычислять окаймляющие его миноры, т.е. миноры, полученные добавлением соседних строки и столбца, до тех пор, пока не ранг минора не сравнится с размерностью матрицы, либо все окаймляющие миноры окажутся равными нулю.

3. Что такое след матрицы?

Следом (Trace) матрицы А (другое название - шпур матрицы), определенным для квадратных матриц n x n, называется сумма ее диагональных элементов:

Для матриц одинаковой размерности А и В можно определить следующие свойства следа матрицы:

Но самое главное, след матрицы оказывается равен сумме ее собственных значений.

4. В чем заключается процедура ортогонализации Грамма-Шмидта?

Доказано, что в любом эвклидовом пространстве существует ортонормированный базис - система попарно ортогональных векторов длиной равной единице. В линейной алгебре такие базисы играют роль прямоугольной системы координат в аналитической геометрии. Для того, чтобы построить ортонормированный базис в n-мерном эвклидовом пространстве, отталкиваясь от некоторого исходного базиса, используют алгоритм, называемый процессом (процедурой) ортогонализации Грама-Шмидта.

Оригинальный вариант этой процедуры, переводящий некоторый базис в ортонормированный базис :

В практических применениях удобнее использовать ненормированные промежуточные вектора нового ортогонального базиса , а нормировку их провести в конце, придя к ортонормированному базису е. (этот процесс описан в методичке):

Геометрически эта процедура аналогична последовательному векторному вычитанию из вектора старого базиса проекций этого вектора на уже определенные вектора нового базиса.

5. Что такое собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы А?

Матрицу А порядка n можно рассматривать как некоторый линейный оператор в некотором базисе n-мерного пространства — например отображающий вектор-столбец х в вектор-столбец Ах. Так же, как вектор отождествляется со столбцом своих координат, оператор отождествляется со своей матрицей. Оказывается, в общем случае n направлений в этом пространстве таковы, что операция Ах над векторами х, лежащими в этих направлениях, отображает их на себя же, с некоторым скалярным действительным коэффициентом — Ах=х.

При этом число  называют собственным значением (собственным числом) линейного оператора А, а любой ненулевой вектор, лежащий в этом (собственном) направлении называют собственным вектором. Множество всех собственных значений линейного оператора называют спектром оператора, и он тесно связан с характеристическим уравнением этого оператора

, где представляет собой матричную форму записи однородной СЛАУ. Если существует ненулевое решение этой СЛАУ — столбец координат собственного вектора х, значит матрица имеет нулевой определитель, и  является корнем характеристического уравнения. Соответственно каждому собственному значению сопоставляется его кратность, равная кратности корня, а возможные комплексные корни характеристического уравнения в качестве собственных чисел не рассматривают.

6. Как строится модальная матрица, соответствующая матрице А?

Для каждого из собственных чисел матрицы можно получить вектор решения , удовлетворяющий системе уравнений.

Уравнение однородное, поэтому его решениями будут также векторы , где - произвольный скаляр. То есть уравнение однозначно задает лишь направление каждого из . Из вектор-столбцов или пропорциональных им и строится модальная матрица. При различных собственных числах столбцы модальной матрицы можно полагать равными или пропорциональными любому ненулевому столбцу матрицы . Это следствие . Поскольку столбцы присоединенной матрицы линейно зависимы для каждого значения , то выбор конкретного определяет только один столбец модальной матрицы.

7. Что такое эквивалентные матрицы?

   Обозначим ранг матрицы A через r (A). Если r (A) = r( B), то матрицы A и B называются эквивалентными, то есть можно считать, что две матрицы эквивалентные, если одна из матриц получается в результате выполнения ряда элементарных операций над другой матрицей.

8. В чем заключается необходимое и достаточное условие положительной определенности квадратичных форм?

Квадратичная форма будет являться положительно определенной, если она положительна при всех , исключая . Конгруэнтные преобразования не меняют положительной определенности формы, поэтому из соотношения следует, что квадратичная форма будет положительно определенной, если является неособенной матрицей и число ее положительных членов равно ее рангу().

Из уравнения видно, что квадратичная форма положительно определена только в том случае, когда все собственные числа матрицы положительные

9. Сформулируйте теорему Кэли-Гамильтона?

Эта теорема касается весьма важного и полезного свойства характеристического полинома D() и используется при нахождении различных функций от матрицы А.

Формулировка: всякая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Согласно этой теореме любую функцию квадратной матрицы

можно вычислить через характеристический полином

где - корни характеристического уравнения матрицы А

С помощью теоремы Кэли – Гамильтона можно понижать порядок многочленов, находить обратную матрицу, возводить матрицу в произвольную положительную целую степень, вычислять функции от матриц.

10. Что такое матрицант и как он вычисляется?

Если элементы матрицы А ограничены на отрезке интегрирования, то бесконечный ряд сходится равномерно и абсолютно к некоторой квадратной матрице G(А), называемой матрицантом:

G(А) = E + Q(А) + Q(АQ(А)) + Q(АQ(АG(А))) +….

Основное свойство матрицанта заключается в том, что

Это свойство нетрудно доказать, если взять производную по t от обеих частей выражения G(А) = E + Q(А) + Q(АQ(А)) + Q(АQ(АG(А))) +….