Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

(ТУСУР)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3

по дисциплине «Математические основы теории систем»

(Учебное пособие «Математические основы теории систем, часть 2»,

автор Карпов А.Г., 2002 г.)

Контрольная работа №3

1. В каких случаях возможна линеаризация нелинейных уравнений?

Так как операция линеаризации проводится с помощью разложения в ряд Тейлора, то она применима только к непрерывно дифференцируемым (линеаризуемым) нелинейностям и возможна только при достаточно малых отклонениях величин и при отсутствии разрывов в функции F в окрестностях интересующей нас точки.

2. В чем различия и что общего между исходным нелинейным уравнением и линеаризованным?

Различия:

1. Линеаризованное уравнение приближенно. При разложении в ряд Тейлора члены ряда высоких порядков малости отбрасываются. Геометрически это равносильно замене всех нелинейных зависимостей исходного дифференциального уравнения отрезками прямых линий и их линейной композицией.

2. Линеаризованное уравнение составлено относительно отклонений, а не самих сигналов (уравнение в отклонениях). Это позволяет интересующую нас точку считать номинальным, установившимся режимом системы, и получить нулевые начальные условия в данной точке.

3. Линеаризованное уравнение линейно, и операции над ним проще. К линеаризованной системе применим принцип суперпозиции, при которой реакция системы на несколько одновременных входных воздействий сводится к сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. Это позволяет проводить структурную декомпозицию системы и проводить анализ элементов структуры по отдельности.

Общее:

1. Форма линеаризованного и нелинеаризованных уравнений совпадают.

2. Они описывают один и тот же объект (систему).

3. Как записывается общее решение однородного линейного дифференциального уравнения в случае некратных и кратных корней характеристического уравнения?

Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения является линейной композицией частных решений.

Для действительных некратных корней частными решениями являются:

и общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

.

Для какого-либо кратного корня (кратность k):

.

В случае комплексных корней, каждой паре комплексно-сопряженных корней

кратности n, соответствуют 2n частных решений:

Общее количество этих частных решений будет соответствовать степени дифференциального уравнения, и эти решения линейно независимы, а постоянные коэффициенты при них находятся из начальных условий.

4. К каким вынуждающим функциям применим метод неопределенных коэффициентов при решении неоднородных дифференциальных уравнений?

Метод неопределенных коэффициентов может быть применен в том случае, если вынуждающая функция f(t) имеет конечное число линейно независимых производных. Функция f(t) в этом случае может быть многочленом целой положительной степени t или состоять из комбинации экспоненциальной, синусоидальной или гиперболической функций.

5. В чем состоит необходимое и достаточное условие линейной независимости n решений однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка?

Необходимым и достаточным условием независимости функций y₁...y_n на некотором отрезке, является тождественное неравенство нулю определителя Вронского на этом отрезке. Определитель Вронского представляет собой определитель квадратной матрицы вида

Если решения y₁, y₂ дифференциального уравнения линейно независимы на некотором отрезке, то определитель Вронского, составленный для этих решений, не обращается в нуль ни в одной точке этого отрезка. И наоборот, если y₁, y₂ линейно зависимы на отрезке, то определитель Вронского на этом отрезке тождественно равен нулю.