6. К каким функциям не применимо преобразование Фурье?

Прямое преобразование Фурье функции f(t) есть интеграл вида

, которая получается при помощи предельного перехода от суммы ряда Фурье к интегралу по всей частотной оси (Т   ).

Для разложимости функции в ряд Фурье пока не найдены необходимые и достаточные условия. Для разложимости почти всюду на отрезке, достаточна интегрируемость функции вместе с ее р (р>1) степенью. Рассмотрим два класса функций, представимых рядом Фурье - кусочно-монотонные и кусочно-гладкие. Для этих классов необходимо, чтобы функция f(t) удовлетворяла условиям Дирихле — кусочно-непрерывная, ограниченная, с конечным числом экстремумов на периоде. Подразумевается также, что она периодическая и имеет в любой точке периода конечные производные хотя бы с одной стороны (условие Дини). Кроме того, чтобы преобразование Фурье было определено для функции , необходимо чтобы вышеуказанный интеграл сходился абсолютно (являлся т.н. интегралом Лебега -). Менее сильное условие — равенство Парсеваля -

Поскольку в подинтегральном выражении присутствует множитель , модуль которого равен единице, интеграл Фурье сходится лишь для быстро сходящихся функций. Для того чтобы расширить класс функций, для которых возможно интегральное преобразование, вместо чисто мнимого показателя -jt , можно взять полное комплексное число с вещественной частью, не равной нулю, в результате получим преобразование Лапласа, для которого существование интеграла обеспечивается условием (М и s₀ — некоторые положительные числа).

В случае, если функция времени представляет собой дискретный набор значений, определение прямого интеграла Фурье также не имеет смысла. Но можно представить дискретную функцию времени в виде суммы «дельта-функций». Если дискретность функции имеет постоянный шаг по времени dt и бесконечна по времени, то прямое преобразование Фурье даст непрерывный периодический спектр, с периодом по частоте Fs = 1/dt.

7. Как получить из преобразования Лапласа преобразование Фурье?

Преобразование Лапласа имеет ядро преобразования в отличие от ядра преобразования Фурье — . Наличие вещественной части в показателе существенно расширяет класс функций, для которых определено преобразование Лапласа. Отображение Лапласа определено для комплекснозначных функций, для которых , где М, s₀ - константы, s₀0 — порядок роста функции. При этом интеграл преобразования Лапласа, может сходиться не при всех значениях p.

Для функций с порядком роста s₀=0, преобразование Лапласа вырождается в преобразование Фурье. Отсюда, преобразование Лапласа — это Фурье-преобразование функции , где множитель улучшает функцию , делая для нее возможным Фурье-преобразование.

8. Что такое передаточная функция системы?

Математическое описание системы обычно строится на составлении систем дифференциальных уравнений. Особенно важно, что поведение объектов самой различной природы описывается одними и теми же уравнениями, что позволяет использовать одни и те же методы их решения для самых различных технических задач. Однако часто непосредственное решение таких уравнений сложно, поэтому используют прикладные методы операционного исчисления. Наиболее распространенным является преобразование Лапласа, дающее возможность взаимно-однозначного перехода от дифференциальных уравнений к алгебраическим. Это существенно облегчает их решение, а кроме того позволяет ввести понятие передаточной функции. При этом система рассматривается как черный ящик, по определенному закону преобразующий входные сигналы Х(t) в выходные Y(t) :

или

где p^k — оператор, обозначающий дифференцирование соответствующей функции времени k раз.

Операторный вид дифференциального уравнения системы:

, где М(р) — полином, учитывающий ненулевые начальные условия (можно назвать его состоянием объекта в начальный момент времени):

Во многих практических задачах начальные условия нулевые, либо сводятся к ним.

Отношение изображений по Лапласу выходной функции к входной при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией системы ,

она полностью определяет динамические свойства объекта, и задача исследования и расчета многих систем начинается с ее определения. Понятие передаточной функции широко используется в теории автоматического регулирования, проектировании электронных устройств и обеспечивает легкий переход из операторной формы в частотную или временную область и обратно.