9. Как связаны оператор сдвига e и разностный оператор ∆?

Определенный для дискретных систем оператор сдвига Е определяет следующее значение функции в ряду , а правый разностный оператор – разность между текущим и следующим значением . Связь между оператором сдвига и разностным оператором принимает вид

;

В результате имеется аналогия между дискретной и непрерывной функциями времени:

, где Т – шаг дискретизации, постоянный для данной системы (1 в дискретном времени). Системы разностных уравнений играют такую же роль в описании дискретных систем, что и дифференциальные уравнения в описании систем и цепей непрерывного времени.

10. В какой форме записывается общее решение однородного разностного уравнения в случае некратных и кратных корней характеристического уравнения?

Рассмотрим однородное разностное уравнение порядка n:

Его решением будет линейная комбинация n независимых решений :

где с_i — постоянные, определяемые из начальных условий.

Проведя формальную замену в исходном уравнении, получим характеристический многочлен:

Найдя его корни , получим общее решение в виде

, если все корни действительны и различны,

в случае кратных корней (m, l - кратности соответствующих корней).

В случае нулевых корней, их не учитывают, поскольку при этом порядок характеристического полинома больше порядка разностного уравнения.

11. Что такое факториальный многочлен?

Операции дифференцирования и интегрирования многочленов в конечных разностях удобно определять с помощью операции факториальной степени, определяемой так:

В отличие от обычных степеней, дающих сложные разности

факториальные степени имеют свойства, позволяющие легко представлять обычные степени и их разности в виде факториальных многочленов, вида , а обычные многочлены — в виде суммы факториальных многочленов:

Кроме того, с помощью факториальных многочленов легче находить аналитические выражения для частичных сумм вида , т.н. телескопирующие функции, разность которых . В методичке эта функция определена в операторной форме как , и является аналогом интегрирования .

Общая формула телескопирования факториального многочлена

имеет вид :

Например для функции х² имеем факториальный многочлен :

и телескопирующую функцию

12. Как связаны дискретное преобразование Лапласа и z-преобразование?

Дискретное преобразование Лапласа является функциональным преобразованием решетчатых функций и определяется соотношением

где f(n) может быть получена в виде счетной последовательности значений непрерывной функции путем выборки с шагом дискретизации Т — f(t) f(кT) f(n), а s=kT= + jx — комплексное число, называемое параметром преобразования. По аналогии с обычным, интегральным преобразованием Лапласа, называют оригиналом, а — изображением решетчатой функции.

Дискретное преобразование Лапласа является аналогом обычного прямого преобразования Лапласа (для непрерывных функций), и существует соотношение между отображением решетчатой функции и отображением соответствующей непрерывной функции :

Однако для поиска обратного отображения, когда необходимо найти оригинал решетчатой функции по его изображению, возникают трудности из-за наличия иррационального множителя .—

Если сделать замену переменной , преобразование становится дробно-рациональной функцией переменной z, и получаем операцию Z- преобразования,

являющейся степенным рядом, сходящимся абсолютно и равномерно, в общем случае, некотором кольце комплексной плоскости . Например, если , то ряд сходится при |z|>e^a, а для единичного скачка , область сходимости лежит вне единичной окружности (при |z|=1 получаем дискретное преобразование Фурье!).

Можно сказать, что z- преобразование является обобщением дискретных преобразований (для — дискретное преобразование Фурье, — дискретное преобразование Лапласа)

Обращение этого преобразования в общем случае имеет вид

, где С- любой замкнутый контур, включающий в себя все особые точки функции F_z(z). Вычисление оригинала часто удается произвести с помощью вычетов, но особенно просто, если F_z (z) может быть разложено по степеням 1/z.