Контрольные / 4- 0_Математические основы теории систем

Федеральное агентство образования

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

(ТУСУР)

Кафедра компьютерных систем в управлении

и проектировании (КСУП)

«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ»

Автор учебно-методического пособия: А. Г. Карпов

Томск 2002

контрольная работа №4

Выполнил студент группы

« 1 » октября 2008 г.

Юрга 2008

Чем отличается минор от алгебраического дополнения?

Алгебраическое дополнение элемента a_ij–это минор элемента a_ij, взятый со знаком (-1)^i+j, то есть алгебраическое дополнение C_ij=(-1)^i+j M_ij.

Что такое дефект матрицы и как он связан с рангом?

Вырожденность или дефект матрицы определяется следующим образом: если строки или столбцы особенной матрицы линейно связаны одним соотношением, то вырожденность матрицы простая (дефект равен единице). Если таких соотношений q, то матрица имеет вырождение кратности q (или дефект равен q).

Рангом r матрицы А является наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы А. Если размерность матрицы (n n), то r = n-q.

Существует правило вырожденности Сильвестра, которое гласит, что дефект произведения двух матриц не меньше дефекта каждой из них и не выше суммы дефектов матриц.

Что такое след матрицы?

Сумма диагональных элементов квадратной матрицы равна сумме ее собственных значений:

Сумма диагональных элементов матрицы носит название следа матрицы и обозначается TrА (первые буквы англ. trace – след).

Введя обозначение T_k = TrА^k, можно записать формулу, связывающую коэффициенты a_i характеристического уравнения с T_k рекуррентным соотношением, известным как формула Бохера:

a₁ = -T₁,

a₂ = -1/2 (a₁T₁ + T₂),

a₃= -1/3 (a₂T₁ + a₁T₂ + T₃),

………

a_n = -1/n (a_n-1T₁ + …+ T_n).

В чем заключается процедура ортогонализации Грама-Шмидта?

Ортогонализация Грама – Шмидта – это процедура построения ортонормированного базиса из n линейно независимых векторов.

Пусть задано множество {x₁, x₂, …x_n} линейно независимых векторов и требуется построить ортонормированный базис В качестве первого вектора выбираем произвольный вектор x_i, например, полагаем у₁=х₁. Из исходной системы выбираем второй вектор х₂. Пусть у₂=х₂-ky₁, где k выбирается из условия ортогональности у₂ и у₁, то есть таким образом, чтобы <y₁,y₂> = <y₁,x₂> - k<y₁,y₁> = 0.

Из последнего условия:

Получим:

y₁.

Аналогично записываем выражение для третьего вектора:

у₃ = х₃ - k₂y₂ - k₁y₁,

где k₁ и k₂ определяются из условий ортогональности: <y₃,y₁> = 0 и <y₃,y₂> = 0.

Из этих условий получаем уравнения:

<y₁,x₃> = k₂<y₁,y₂> + k₁<y₁,y₁> = k₁<y₁,y₁>,

<y₂,x₃> = k₂<y₂,y₂> + k₁<y₂,y₁> = k₂<y₂,y₂>,

Окончательно имеем:

Обобщая последнюю формулу, для j-го вектора имеем следующее:

Нормируя векторы у_i, получаем ортонормированный базис:

Что такое собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы А?

Если в пространстве V_n, в результате преобразования уравнения у=Ах, существует такой вектор х, который переходит в вектор у, имеющий такое же направление, как и вектор х, то должно выполняться уравнение у = х = Ах, где  - некоторый скаляр, являющийся коэффициентом пропорциональности, А – квадратная невырожденная матрица (nn). Задача определения значения _i и соответствующих им векторов х_i, удовлетворяющих этому уравнению, известна как задача о собственных значениях (характеристических числах). Векторы х_i, являющиеся решением этого уравнения, называются собственными или характеристическими векторами, соответствующими собственным значениям _i.

Как строится модальная матрица, соответствующая матрице А?

Для каждого из n собственных чисел _i матрицы А можно получить вектор решения х_i, удовлетворяющий системе уравнений

[_iЕ - А] х_i = 0, i{1,2,…n}.

Так как уравнение однородное, его решениями будут также векторы k_iх_i, где k_i – произвольный скаляр. То есть уравнение однозначно задает лишь направление каждого из х_i. Из вектор-столбцов х_i или пропорциональных им образуем матрицу, которую часто называют модальной матрицей. При различных собственных числах столбцы модальной матрицы можно полагать равными или пропорциональными любому ненулевому столбцу матрицы Аdj [_iЕ - А]. Это следует из того, что Rang [_iЕ - А] = n-1. Поскольку столбцы присоединенной матрицы линейно зависимы для каждого значения _i, то выбор конкретного _i определяет только один столбец модальной матрицы.

Что такое эквивалентные матрицы?

Свойство матриц иметь одинаковый ранг является рефлексивным, симметричным и транзитивным. Следовательно, можно говорить об эквивалентности двух матриц, если у них одинаковый ранг (естественно, размерности таких матриц должны совпадать). Можно считать, что две матрицы эквивалентные, если одна из матриц получается в результате выполнения ряда элементарных операций над другой матрицей.

В чем заключается необходимое и достаточное условие положительной определенности квадратичных форм?

Квадратичная форма Q(х)= <х,Ах> называется положительно определенной, если она положительна при всех х, исключая х=0. Конгруэнтные преобразования не меняют положительной определенности формы, поэтому квадратичная форма будет положительно определенной, если и только если А является неособенной матрицей, и индекс формы (то есть число положительных членов) равен ее рангу, т.е. p = r = n. Квадратичная форма положительно определена в том и только в том случае, когда все собственные числа матрицы А положительные _i>0 (i=1,2,…n). Любое из этих условий может быть использовано при определении положительной определенности квадратичной формы.

Сформулируйте теорему Кэли-Гамильтона?

Теорема Кэли-Гамильтона: Всякая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению.

Теорема Кэли-Гамильтона используется при нахождении различных функций от матрицы А.

Что такое матрицант и как он вычисляется?

Если при разложении в ряд Неймана:

х(t) = [E + Q(А) + Q(АQ(А)) + Q(АQ(АQ(А))) + …]х(t₀),

элементы матрицы А ограничены на отрезке интегрирования, то бесконечный ряд сходится равномерно и абсолютно к некоторой квадратной матрице G(А), называемой матрицантом:

G(А) = Е + Q(А) + Q(АQ(А)) + Q(АQ(АG(А))) +….

Основное свойство матрицанта заключается в том, что:

Матрицант G(А) представляет собой искомую переходную матрицу состояния нестационарной системы: Ф(t, t₀) = G(А)

Если матрица А постоянна, то: